31. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2
Bài giải:
Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).
Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm2 nên ta được:
\(\frac{(x + 3)(y + 3)}{2}= \frac{xy}{2} + 36\)
Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm2 nên ta được:
\(\frac{(x - 2)(y- 4)}{2} = \frac{xy}{2} - 26\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 \hfill \cr xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 3y = 63 \hfill \cr 4x + 2y = 60 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 6x + 6y = 126 \hfill \cr 12x + 6y = 180 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6x = - 54 \hfill \cr 6x + 6y = 126 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 9 \hfill \cr y = 12 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm.
Bài 32 trang 23 sgk Toán 9 tập 2
32. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?
Bài giải:
Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > 0)\).
\(y\) (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > 0)\).
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.
Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau \(4\frac{4}{5}\) giờ = \(\frac{24}{5}\) giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\frac{5}{24}\) bể.
Ta được: \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{5}{24}\) (1)
Trong 9 giờ cả vòi một chảy được \(\frac{9}{x}\) bể.
Trong \(\frac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\frac{6}{5}\)( \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\)) bể.
Theo đề bài vòi thứ nhất chảy 9h sau mở vòi hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ thì đầy bể nên ta có:
\(\frac{9}{x}+\frac{6}{5}(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y})=1\)
\( \Leftrightarrow {{51} \over x} + {6 \over y} = 5\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{ {1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {24}} \hfill \cr {{51} \over x} + {6 \over y} = 5 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ ta được: \(x=12,y=8\)
Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau 8 giờ bể sẽ đầy.
Bài 33 trang 24 sgk Toán 9 tập 2
33. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Bài giải:
Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(x\) giờ, người thứ hai trong \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai \(\frac{1}{y}\) công việc, cả hai người cùng làm chung thì được \(\frac{1}{16}\) công việc.
Ta được \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{1}{16}\).
Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được \(\frac{3}{x}\) công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được \(\frac{6}{y}\) công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay \(\frac{1}{4}\) công việc.
Ta được \(\frac{3}{x}\) + \(\frac{6}{y}\) = \(\frac{1}{4}\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} & & \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\).
- ĐKXĐ : x≠1
⇔ -4x(x-1)-(x-1)=0
⇔ (x-1)(-4x-1)=0
⇔ x-1=0 hoặc -4x-1=0
⇔ x=1 (loại) hoặc x= (nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={}
- ĐKXĐ : x≠1 ;x≠2 và x≠3
⇒ 3x-9+2x-4=x-1
⇔ 5x-x=-1+13
⇔ 4x=12
⇔ x=3 (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
- ĐKXĐ : x≠-2
⇔ x(x-1)(x+2)=0
⇔ x=0 ; x-1=0 hoặc x+2=0
⇔ x=0 (nhận ); x=1 (nhận) hoặc x=-2 (loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={ 0 ;1 }.
- ĐKXĐ : à
⇔ x(x+4)-3(x+4)=0
⇔ (x+4)(x-3)=0
⇔ x+4=0 hoặc x-3=0
⇔ x=-4 (nhận) hoặc x=3 (loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={-4}