§3. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 28. Tìm các giới hạn sau : Giải 29. Tính đạo hàm của các hàm số sau : Giải 30. Chứng minh rằng hàm số y = $sin^{6}$x + $cos^{6}$x + 3$sin^{2}$x$cos^{2}$x có đạo hàm bằng 0. Giải 31. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : Giải 32. Chứng minh rằng : a) Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y' - $y^{2}$ - 1 = 0 b) Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y + 2$y^{2}$ + 2 = 0 Giải a) y' = 1 + $tan^{2}$x. Do đó y' - $y^{2}$ - 1 = (1 + $tan^{2}$x) - $tan^{2}$x - 1 = 0 b) y' = -2(1 + $cot^{2}$2x). Do đó y' + 2$y^{2}$ + 2 = - 2(1 + $cot^{2}$2x) + 2$cot^{2}$2x + 2 = 0 33. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau : Giải 34. Tính f'($\pi$) nếu Giải Với mọi x sao cho cosx - xsinx $\neq$ 0, ta có : 35. Giải phương trình y' = 0 trong mỗi trường hợp sau : a) y = sin2x - 2cosx ; b) y = 3sin2x + 4cos2x + 10x ; c) y = $cos^{2}$x + sinx ; d) y = tanx + cotx. Giải a) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = 2cos2x + 2sinx = 2(1 - 2$sin^{2}$x) + 2sinx Vậy y' = 0 ⇔ 2$sin^{2}$x - sinx - 1 = 0 b) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = 6cos2x – 8sin2x + 10 Vậy y' = 0 ⇔ 4sin2x – 3cos2x = 5 Vì nên có số $\alpha$ sao choThay vào (1), ta được : c) Với mọi x $\in$ R, ta có : y' = - 2cosxsinx + cosx = cosx(1 - 2sinx) y' = 0 ⇔ cosx(1 - 2sinx) = 0 ⇔ cosx = 0 hoặc 1 - 2sinx = 0 Vậy đáp số là 36. Cho hàm số f(x) = 2$cos^{2}$(4x - 1). Chứng minh rằng với mọi x ta có $\mid$ f'(x) $\mid$ $\leq$ 8. Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra. Giải Với mọi x $\in$ R, ta có: f'(x) = 2.2cos(4x - 1). [-sin(4x - 1)]4 = - 8sin2(4x - 1) Suy ra $\mid$(f'(x)$\mid$ = 8 $\mid$sin2(4x - 1)$\mid$ $\leq$ 8. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 37. Cho mạch điện như hình vẽ. Lúc đầu tụ điện có điện tích $Q_{0}$. Khi đóng khóa K, tụ điện phóng điện qua cuộn dây, điện tích q của tụ điện phụ thuộc vào thời gian t theo công thức q(t) = $Q_{0}$sin$\omega$t, trong đó, $\omega$ là tốc độ góc. Biết rằng cường độ I(t) của dòng điện tại thời điểm t được tính theo công thức I(t) = q'(t). Cho biết $Q_{0}$ = $10^{-8}$C và $\omega$ = $10^{6}$$\pi$ rad/s. Hãy tính cường độ của dòng điện tại thời điểm t = 6s (tính chính xác đến $10^{-5}$mA). Giải Cường độ dòng điện tại thời điểm t là : I(t) = q'(t) = $Q_{0}$$\omega$cos$\omega$t Khi $Q_{0}$ = $10^{-8}$C và $\omega$ = $10^{6}$$\pi$ rad/s thì cường độ dòng điện tại thời điểm t = 6s là : 38. Cho hàm số y = $cos^{2}$x + msinx (m là tham số) có đồ thị là (C). Tìm m trong mỗi trường hợp sau: a) Tiếp tuyến của (C) tại điểm với hoành độ x = $\pi$ có hệ số góc bằng 1. b) Hai tiếp tuyến của (C) tại các điểm có hoành độ song song với nhau hoặc trùng nhau.Giải Đặt f(x) = $cos^{2}$x + msinx, ta có : f'(x) = - sin2x + mcosx a) Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = $\pi$ là : f($\pi$) = -sin2$\pi$ + mcos$\pi$ = -m. Vậy f'($\pi$) = 1 ⇔ m = - 1 b) Điều kiện của bài toán có nghĩa là Ta có :C. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số sau không phụ thuộc vào x: Đáp số : y' = 0 2. Giải phương trình y' = 0 với y = 3cosx + 4sinx + 5x 3. Tính đạo hàm của :
Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải – Toán lớp 11 1. Lý thuyết a) Giới hạn: limx→0sinxx=1 b) Công thức đạo hàm của hàm số lượng giác
2. Các dạng bài tập Dạng 1. Tính đạo hàm của các hàm chứa hàm số lượng giác Phương pháp giải: - Áp dụng các công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác. - Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 5sin x – 3cos x b) y = sin(x2 – 3x + 2) c) y=1+2tanx d) y = tan 3x – cot 3x e) y=tan2x−13cot4x+sinx Lời giải a) Ta có: y' = 5cos x + 3sin x b) Ta có: y' = (x2 – 3x + 2)’.cos(x2 – 3x + 2) = (2x – 3).cos(x2 – 3x + 2). c) Ta có: y'=1+2tanx'21+2tanx=2cos2x21+2tanx=1cos2x1+2tanx. d) Ta có các cách thực hiện sau: Cách 1: Ta có ngay: y'=3cos23x+3sin23x=3sin23x.cos23x=314sin26x=12sin26x. Cách 2: Ta biến đổi: y=sin3xcos3x−cos3xsin3x=sin23x−cos23xcos3x.sin3x=−2cos6xsin6x =−2cot6x ⇒y'=12sin26x. e) y'=(tan2x)'−13(cot4x)'+sinx'=2cos22x+43sin24x+cosx2sinx Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y=sin23x+1cos2x b) y=1+sinx1+cosx c) y=tanx2+2x+1 d) y=(sinx+cosx)3cosx−13sinx Lời giải a) y'=2sin3x.sin3x'−cos2x'cos4x=2sin3x.3cos3x−2cosx.cosx'cos4x=6sin3xcos3x+2cosx.sinxcos4x=3sin6x+2sinxcos3x b) y'=(1+sinx)'(1+cosx)−(1+cosx)'(1+sinx)(1+cosx)2 =cosx(1+cosx)+sinx(1+sinx)(1+cosx)2=cosx+sinx+1(1+cosx)2 c) y'=tanx2+2x+1'=x2+2x+1'cos2x2+2x+1 =2x+1xcos2x2+2x+1=2xx+1xcos2x2+2x+1 d) y'=(sinx+cosx)'3cosx−13sinx+(sinx+cosx)3cosx−13sinx' =(cosx−sinx)3cosx−13sinx+(sinx+cosx)−3sinx−13cosx =3cos2x−103sinxcosx+13sin2x−3sin2x−103sinxcosx−13cos2x =83cos2x−83sin2x−203sinxcosx =83cos2x−103sin2x Dạng 2. Chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0. b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + 2y2 + 2 = 0. Lời giải a) Trước tiên, ta có: y'=1cos2x. Khi đó, ta có: y'−y2−1 =1cos2x−tan2x−1=1cos2x−1cos2x=0 (đpcm) b) Trước tiên, ta có: y'=−2sin22x. Khi đó, ta có: y'+2y2+2=−2sin22x+2cot22x+2 =−2sin22x+2sin22x=0 (đpcm) Ví dụ 2: Giải phương trình y’ = 0 trong mỗi trường hợp sau: a) y = sin 2x – 2cos x. b) y = 3sin 2x + 4cos 2x + 10x. Lời giải a) Trước tiên, ta có: y' = 2cos 2x + 2sin x. Khi đó, phương trình có dạng: 2cos2x+2sinx=0 ⇔cos2x=−sinx=cosx+π2 ⇔2x=x+π2+2kπ2x=−x−π2+2kπ ⇔x=π2+2kπx=−π6+2kπ3,k∈ℤ. b) Trước tiên, ta có: y’ = 6cos 2x – 8sin 2x + 10. Khi đó, phương trình có dạng: 6cos2x−8sin2x+10=0⇔4sin2x−3cos2x=5 ⇔45sin2x−35cos2x=1 Đặt 45=cosa và 35=sina, do đó ta được: sin2xcosa−cos2x.sina=1⇔sin(2x−a)=1 ⇔2x−a= π2+2kπ⇔x=a2+ π4+kπ, k∈ℤ. 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Hàm số y = cotx có đạo hàm là: A. y’ = - tan x B. y'=−1cos2x C. y'=−1sin2x D. y’ = 1 + cot2x Câu 2. Hàm số y=−32sin7x có đạo hàm là: A. −212cosx B. −212cos7x C. 212cos7x D. 212cosx Câu 3. Hàm số y=sinπ6−3x có đạo hàm là: A. 3cosπ6−3x B. −3cosπ6−3x C. cosπ6−3x D. −3sinπ6−3x. Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là: A. y’ = 3cos 2x – sin 3x B. y’ = 3cos 2x + sin 3x C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x Câu 5. Hàm số y = x tan2x có đạo hàm là: A. tan2x+2xcos2x B. 2xcos22x C. tan2x+2xcos22x D. tan2x+xcos22x. Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x.cos5x có biểu thức nào sau đây? A. 30cos3x.sin5x B. – 8cos8x + 2cos2x C. 8cos8x – 2cos2x D. – 30cos3x + 30sin5x Câu 7. Hàm số y=sinxx có đạo hàm là: A. y'=xsinx−cosxx2 B. y'=xcosx−sinxx2 C. y'=xcosx+sinxx2 D. y'=xsinx+cosxx2 Câu 8. Hàm số y=12cotx2 có đạo hàm là: A. −x2sinx2 B. xsin2x2 C. −xsinx2 D. −xsin2x2 Câu 9. Hàm số y = tan x – cot x có đạo hàm là: A. y'=1sin22x B. y'=4cos22x C. y'=4sin22x D. y'=1cos22x Câu 10. Đạo hàm của hàm số y=sinx+cosxsinx−cosx có biểu thức dạng a(sinx−cosx)2. Vậy giá trị a là: A. a = 1 B. a = – 2 C. a = 3 D. a = 2 Câu 11. Cho hàm số y=sin2+x2. Đạo hàm y' của hàm số là A. 2x+22+x2cos2+x2 B. −x2+x2cos2+x2 C. x2+x2cos2+x2 D. (x+1)2+x2cos2+x2 Câu 12. Đạo hàm của hàm số y=sin22x.cosx+2x là A. y'=2sin2x.cosx−sinx.sin22x−2x B. y'=2sin2x.cosx−sinx.sin22x−2x C. y'=2sin4x.cosx+sinx.sin22x−1xx D. y'=2sin4x.cosx−sinx.sin22x−1xx Câu 13. Cho hàm số y=fx=sin35x.cos2x3. Giá trị đúng của f'π2bằng A. −36 B. −34 C. −33 D. −32 Câu 14. Cho hàm số y = cos2x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;π) A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm Câu 15. Cho hàm số y = sin 2x + x. Số nào sau đây là nghiệm của phương trình y’ = 0 trong khoảng (−π;π) A. −π6 và π6 B. −π3 và π3 C. −π6 và 7π12 D. −π3 và π6 BẢNG ĐÁP ÁN
|