Số nghiệm nguyên của bất phương trình log2(x-1)≤2là: A. 4. B. 3. C. 5. D. Vô số. A. 10 B. 9 C. 8 D. 11 Lời giải Chọn C Điều kiện: x > 0 Phương trình  Đặt thì phương trình trở thành: Do đó Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8. Bài tập 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .A. m ∈ (0; +∞) B. C. D. m ∈ (–∞; 0) Lời giải Chọn C Điều kiện: x > 0 ⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m + 1) log2 x – 2 < 0 (1) Đặt t = log2 x .Vì x ∈ nên . Do đó t ∈ (1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 <0 (2) Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2 Khi đó cần Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0 Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được Bài tập 3. Cho bất phương trình: 9x + (m – 1)․3x + m > 0 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀ x > 1 .A. B. C. D. Lời giải Chọn A Đặt t = 3x Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2 + (m – 1)․t + m > 0 nghiệm đúng ∀ t ≥ 3 nghiệm đúng ∀ t > 3 Xét hàm số Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và Yêu cầu bài toán tương Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng (256; +∞)A. 7 B. 10 C. 8 D. 9 Lời giải Chọn C Điều kiện: Với điều kiện trên bất phương trình trở thành H95 Đặt t = log2 x thì t > 8 vì x ∈ (256; +∞) Đặt Yêu cầu bài toán Xét hàm số trên khoảng (8; +∞) Ta có ⇒ f(t) luôn nghịch biến trên khoảng (8; +∞) Do đó Mà m ∈ [0; 10] nên m ∈ {3; 4; …; 10}. Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.A m ≥ 6 B m > 6 C m ≤ 6 D m < 6 Lời giải Chọn C. Điều kiện của bất phương trình: x > 0 Ta có log2 (5x – 1)․log2 (2.5x – 2) ≥ m ⇔ log2 (5x – 1)․[1+ log2 (5x – 1)] ≥ m (1) Đặt t = log2 (5x – 1), với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó (1) trở thành m ≤ t2 + t (2) Xét hàm số f(t) = t2 + t trên [2; +∞) ta có f’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞). Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6. Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?A. 6 B. 4 C. 9 D. 1 Lời giải Chọn D. Điều kiện x2 – 3x + m ≥ 0 (*) Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn (*). Bài tập 7. Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.A. 7 B. 8 C. 9 D. 6 Lời giải Chọn A Điều kiện của bất phương trình là x > 0. Khi đó: Đặt t = log2 x. Ta có: Trả lại ẩn ta có . Kết hợp với điều kiện x > 0 ta có hoặc hoặc x > 2 Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10. Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + (m – 1)․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?A. m ≤ 3 B. m ≥ 1 C. –1 ≤ m ≤ 4 D. m ≥ 0 Lời giải Chọn B. Bất phương trình ⇔ m․4x + 4(m – 1)․2x + m – 1 > 0 ⇔ m(4x + 4․2x + 1) > 1 + 4․2x ⇔ Đặt 2x = t (t > 0). Khi đó . Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0. Đặt Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f (0) = 1 Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m(2x + 1) > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝA. m ∈ (–∞; 0] B. m ∈ (0; +∞) C. m ∈ (0; 1) D. m ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞) Lời giải Chọn A Ta có: Đặt 2x = t (t > 0). Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ (0; +∞) Đặt Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0. Bài tập 10. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .A. m ∈ (0; +∞) B. C. D. m ∈ (–∞; 0) Lời giải Chọn C Điều kiện: x > 0 ⇔ (1 + log2 x)2 – 2(m – 1) log2 x – 2 < 0 (1) Đặt t = log2 x. Vì nên . Do đó t ∈ (1) thành (1 + t)2 – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 < 0 (2) Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ f(t) = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2 Khi đó cần Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0 Khảo sát hàm số f(t) trong (0; +∞) ta được Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:A. 12,3 B. 12 C. 12,1 D. 12,2 Lời giải Chọn C Điều kiện: 0 < x ≠ 1. Ta có 24x6 – 2x5 + 27x4 – 2x3 + 1997x2 + 2016 = (x3 – x2)2 + (x3 – 1)2 + 22x6 + 26x4 +1997x2 + 2015 > 0, ∀x Do đó bất phương trình đã cho tương đương với Đặt , ta có bất phương trình Đặt . Ta có Dấu bằng xảy ra khi Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 có nghiệm thực.A. m ≥ 2 B. m ≤ 3 C. m ≤ 5 D. m ≥ 1 Lời giải Chọn D Ta có 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 ⇔ (2x)2 – 2m․2x + 3 – 2m ≤ 0 Đặt 2x = t (t > 0) Ta có bất phương trình tương đương với Xét trên (0; +∞) Bảng biến thiên Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1. Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ (1; 64).A. m ≤ 0 B. m ≥ 0 C. m < 0 D. m > 0 Lời giải Chọn B Ta có Đặt log2 x = t, khi x ∈ (1; 64) thì t ∈ (0; 6) Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –t2 –t (*) Xét hàm số f(t) = –t2 –t với t ∈ (0; 6) Ta có f’(t) = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ (0; 6) Ta có bảng biến thiên: Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ (1; 64) khi và chỉ khi bất phương trình (*) đúng với mọi t ∈ (0; 6) ⇔ m ≥ 0. Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞)?A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Lời giải Chọn D Điều kiện xác định Hàm số xác định trên [32; +∞) Đặt t = log2 x. Khi x ≥ 32, ta có miền giá trị của t là [5; +∞). Bất phương trình có dạng: Xét hàm số trên [5; +∞) có nên hàm số nghịch biến trên [5; +∞) Do và f (5) = 3 nên ta có 1 < f(t) ≤ 3 Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞) khi và chỉ bất phương trình có nghiệm duy nhất trên [5; +∞) Khi đó: . Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn. Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?A. 6 B. 4 C. 9 D. 1 Lời giải Chọn D Điều kiện: x2 + 3x + m ≥ 0 (*) Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn (*). Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 (5x – 1)․log2 (2․5x – 2) ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.A. m ≥ 6 B. m > 6 C. m ≤ 6 D. m < 6 Lời giải Chọn C Điều kiện của bất phương trình: x > 0 Ta có log2 (5x – 1)․log2 (2․5x – 2) ≥ m ⇔ log2 (5x – 1)․[1 + log2 (5x – 1)] ≥ m (1) Đặt t = log2 (5x – 1), với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó (1) trở thành m ≤ t2 + t (2) Xét hàm số f(t) = t2 + t trên [2; +∞) ta có f’(t) = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞) Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6 Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + (m – 1)․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?A. m ≤ 3 B. m ≥ 1 C. –1 ≤ m ≤ 4 D. m ≥ 0 Lời giải Chọn B Bất phương trình ⇔ m․4x + 4(m – 1)․2x + m – 1 > 0 ⇔ m (4x + 4․2x + 1) > 1 + 4․2x ⇔ Đặt 2x = t (Điều kiện t > 0 ). Khi đó Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0 Đặt Hàm số nghịch biến trên (0; +∞). Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f (0) = 1 Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m(2x + 1) > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝA. m ∈ (–∞; 0] B. m ∈ (0; +∞) C. m ∈ (0; 1) D. m ∈ (–∞; 0) ∪ (1; +∞) Lời giải Chọn A Ta có: Đặt t = 2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ (0; +∞) Đặt Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0. |
