Bài viết giúp bạn cũng cố, nắm chắc lý thuyết đồng biến nghịch biến của hàm số. Giải một dạng toán phổ biến "Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên một khoảng". Cho hàm số xác định trên khoảng , với mọi . Khi đó :
- đồng biến trên khi và chỉ khi .
- nghịch biến trên khi và chỉ khi .
2) Mối quan hệ giữa tính đơn điệu(đồng biến,nghịch biến) của hàm số và dấu của đạo hàm.
- Nếu thì đồng biến trên .
- Nếu thì nghịch biến trên .
II-Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K là
* Phương pháp giải :
- Bước 1. Tính . Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên thì .
- Bước 2. Thường gặp y' là một tam thức bậc hai nên ta dựa vào các nhận xét sau để tìm :
+ Bất phương trình
+ Bất phương trình
* Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Tìm để hàm số đồng biến trên . Lời giải :
- Ta có
- Hàm số đồng biến trên khi :
Ví dụ 2: Tìm để hàm số nghịch biến trên Lời giải :
- Ta có
- Hàm số đồng biến trên khi
Chọn B.
Ví dụ 3 : Với những giá trị nào của thì hàm số luôn đồng biến trên tập số thực. Lời giải :
Ta có . Vì hệ số của còn phụ thuộc nên ta xét hai trường hợp sau :
- Trường hợp 1 : Với ta có nên hàm số nghịch biến trên (vì ) và đồng biến trên Do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Trường hợp 2 : Với , để hàm số đồng biến trên tập số thực khi
- Chọn C.
III-Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K là tập con của
1) Phương pháp "Cô lập tham số m" :
* Phương pháp giải :
Cho hàm số có đạo hàm trên K.
- Bước 1. Tính . Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên K thì .
- Bước 2. Đưa bất phương trình về dạng hoặc (ta gọi đây là bước cô lập m)
- Bước 3. Tìm dựa vào hai nhận xét sau :
* Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 : Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên Lời giải :
- .
- Hàm số đồng biến trên khoảng khi
. Ví dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên Lời giải :
- .
- Để hàm số nghịch biến trên khoảng ta có
- Xét hay hàm số đồng biến trên , do đó :
- Chọn C.
Ví dụ 3 : Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng Lời giải :
- Ta có .
- Hàm số đồng biến trên khi
- với
- Ta có .
- Bảng biến thiên của
- Từ bảng biến thiên ta có Chọn A.
Ví dụ 4 : Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng Lời giải :
- Ta có .
- Hàm số đồng biến trên khi
- Chọn B.
2) Phương pháp sử dụng bảng biến thiên giải dạng toán tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng:
Đây là phương pháp tương đối dài dòng và phức tạp nhưng lại giải quyết được hầu hết các trường hợp, đặc biệt là những bài toán mà chúng ta không thể cô lập được tham số m.
* Phương pháp giải :
- Bước 1. Tính Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên K thì
- Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số dựa vào dấu
- Bước 3. Từ bảng biến thiên và đề bài kết luận giá trị của
* Chú ý :
- Nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu của một tam thức bậc hai thì ta phải xét hai trường hợp và
- Khi sử dụng phương pháp này ta thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một số liên quan. Khi đó ta có thể đưa bài toán đến việc vận dụng định lý Vi-et bằng cách sử dụng các kết quả sau :
* Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số nghịch biến trên Lời giải :
Ta có
Để hàm số nghịch biến trên ta có .
*Trường hợp 1 :
- Nếu thì (tam thức bậc hai có thì cùng dấu với hệ số ).
- Vậy không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
*Trường hợp 2 :
- Nếu thì có hai nghiệm phân biệt .Ta có bảng biến thiên như sau
- Dựa vào bảng biến thiên để hàm số nghich biến trên ta phải có .
- Chọn C
Ví dụ 2 : Tìm để hàm số đồng biến trên Lời giải :
Ta có
Hàm số đồng biến trên khi .
*Trường hợp 1 :
- Nếu thì . Do đó hàm số đồng biến trên nên cũng đồng biến trên
- Vậy thỏa yêu cầu bài toán (1)
*Trường hợp 2 :
- Nếu thì có hai nghiệm phân biệt Ta có bảng biến thiên như sau
- Dựa vào bảng biến thiên để hàm số đồng biến trên thì , có nghĩa là có hai nghiệm thỏa
- Kết hợp với điều kiện ta có (2)
Từ (1) và (2) ta có Chọn A.
Lời bình : Đây là các ví dụ mà chúng ta không thể cô lập được m, vì vậy buộc ta phải dựa vào "bảng biến thiên" để giải quyết. Như vậy khi giải quyết bài toán dạng này cần linh hoạt sử dụng các phương pháp trên vì mỗi phương pháp đều có điểm mạnh và điểm yếu của nó.
| 
