Có bao nhiêu số nguyên x + 25 thỏa mãn

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} – 16}}{{343}} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{{{x^2} – 16}}{{27}}$?

A. 193.

B. 92.

C. 186.

D. 184.

Lời giải:

adsense

Chọn D

TXĐ: $D = \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} – 16}}{{343}} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\frac{{{x^2} – 16}}{{27}}\\ \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7.\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{x^2} – 16} \right) – 3} \right] < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{x^2} – 16} \right) – 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3\\ \Leftrightarrow \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7 – 1} \right){\rm{.lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{x^2} – 16} \right) < 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}7 – 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} – 16} \right) < \frac{{3\left( {{{\log }_3}7 – {{\log }_7}3} \right)}}{{{{\log }_3}7 – 1}}\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} – 16} \right) < 3\left( {1 + {{\log }_7}3} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {{x^2} – 16} \right) < {\log _7}{21^3}\\ \Leftrightarrow {x^2} – 16 < {21^3}\\ \Leftrightarrow – \sqrt {9277} < x < \sqrt {9277} \end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có $x \in \left\{ { – 96; – 95;…; – 5;5;…;95;96} \right\}$. Vậy có 184 số nguyên x thỏa mãn.

Ta có: $\sqrt {{{\log }_3}\left( {x + 25} \right) – 2} .\left( {{2^{{x^3}}} – {2^{ – x}}{{.4}^{3 – 2x}}} \right) < 0$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {x + 25} \right) – 2 > 0\\{2^{{x^3}}} – {2^{ – x}}{.4^{3 – 2x}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 25 > {3^2}\\{2^{{x^3}}} < {2^{6 – 5x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 16\\{x^3} < 6 – 5x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > – 16\\x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow – 16 < x < 1$

Kết hợp với điều kiện $\left( * \right)$ta được $x \in \left( { – 16;1} \right)$

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { – 15; – 14;…;0} \right\}$$ \Rightarrow $ có 16 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn.

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x<25$ thỏa mãn $\left[\left(\log _3 3 x\right)^2-4 \log _3 x\right]\left(4^x-18.2^x+32\right) \geq 0$ ?
A. 22 .
B. 23 .
C. 24 .
D. 25 .

Lời giải

$
\left[\left(\log _3 3 x\right)^2-4 \log _3 x\right]\left(4^x-18.2^x+32\right) \geq 0(1)
$
+ĐK: $0<x<25 ; x \in Z$
$
\begin{aligned}
& (1) \Leftrightarrow\left[\left(\log _3 x\right)^2-2 \log _3 x+1\right]\left(4^x-18.2^x+32\right) \geq 0 \\
& \Leftrightarrow\left(\log _3 x-1\right)^2\left(4^x-18.2^x+32\right) \geq 0
\end{aligned}
$
$
\begin{aligned}
& +T H 1: \log _3 x-1=0 \Leftrightarrow x=3(t m) \\
& +T H 2: \log _3 x-1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3 \\
& (1) \Leftrightarrow 4^x-18.2^x+32 \geq 0 \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ 2 ^ { x } \geq 2 ^ { 4 } } \\
{ 2 ^ { x } \leq 2 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x \geq 4 \\
x \leq 1
\end{array} \& 0<x<25 ; x \in Z \Rightarrow x \in\{1 ; 4 ; 5 ; \ldots ; 24\}\right.\right.
\end{aligned}
$

Đáp án B.

15/6/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x<25$ thỏa mãn $\left[\left(\log _{3} 3 x\right)^{2}-4 \log _{3} x\right]\left(4^{x}-18.2^{x}+32\right) \geq 0$ ?
A. 22.
B. 23.
C. 24.
D. 25.

Lời giải

${\left[\left(\log _{3} 3 x\right)^{2}-4 \log _{3} x\right]\left(4^{x}-18.2^{x}+32\right) \geq 0(1) }$
$+Đ K: 0<x<25 ; x \in Z$
$(1) \Leftrightarrow\left[\left(\log _{3} x\right)^{2}-2 \log _{3} x+1\right]\left(4^{x}-18.2^{x}+32\right) \geq 0$
$\Leftrightarrow\left(\log _{3} x-1\right)^{2}\left(4^{x}-18.2^{x}+32\right) \geq 0$
$+T H 1: \log _{3} x-1=0 \Leftrightarrow x=3(t m)$
$+T H 2: \log _{3} x-1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3$ (1) $\Leftrightarrow 4^{x}-18.2^{x}+32 \geq 0$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2^{x} \geq 2^{4} \\ 2^{x} \leq 2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq 4 \\ x \leq 1\end{array} \& 0<x<25 ; x \in Z \Rightarrow x \in\{1 ; 4 ; 5 ; \ldots ; 24\}\right.\right.$
Vậy có 23 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài ra.

Đáp án B.

Click để xem thêm...