Cho tập A={0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 3?
Nếu $5$ chữ số không nhất thiết phải khác nhau thì giải như sau :
Chia tập $A$ thành $3$ tập không giao nhau :
$X=\left \{ 0;3;6 \right \}$ ; $Y=\left \{ 1;4 \right \}$ ; $Z=\left \{ 2;5 \right \}$
Các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng $\overline{abcde}$
Xét $7$ trường hợp sau :
$1)$ $5$ chữ số (cs) đều thuộc $X$
+ Chọn $a$ : $2$ cách
+ Mỗi vị trí còn lại : có $3$ cách
$\Rightarrow$ TH $1$ có $2.3^4=162$ số
$2)$ $3$ cs thuộc $X$; $1$ cs thuộc $Y$ ; $1$ cs thuộc $Z$
$\alpha )$ Nếu $a\in X$
+ Chọn thêm $2$ vị trí thuộc $X$ : $C_{4}^{2}=6$ cách
+ Chọn $1$ vị trí thuộc $Y$ : $2$ cách
+ Điền số vào $3$ vị trí thuộc $X$ : $2.3^2=18$ cách
+ Điền số vào $2$ vị trí còn lại : $2.2=4$ cách
$\beta )$ Nếu $a\notin X$
+ Chọn $3$ vị trí thuộc $X$ : $C_{4}^{3}=4$ cách
+ Chọn $1$ vị trí thuộc $Y$ : $2$ cách
+ Điền số vào $3$ vị trí thuộc $X$ : $3^3=27$ cách
+ Điền số vào $2$ vị trí còn lại : $2.2=4$ cách
$\Rightarrow$ TH $2$ có $6.2.18.4+4.2.27.4=1728$ số
$3)$ $1$ cs thuộc $X$; $2$ cs thuộc $Y$; $2$ cs thuộc $Z$
Làm tương tự $\Rightarrow$ TH $3$ có $6.2.2^4+4.6.3.2^4=1344$ số
$4)$ $2$ cs thuộc $X$ ; $3$ cs thuộc $Y$
Tương tự, TH $4$ có $4.2.3.2^3+6.3^2.2^3=624$ số
$5)$ $2$ cs thuộc $X$ ; $3$ cs thuộc $Z$
Tương tự, TH $5$ có $624$ số
$6)$ $4$ cs thuộc $Y$ ; $1$ cs thuộc $Z$
TH $6$ có $5.2^5=160$ cách
$7)$ $1$ cs thuộc $Y$ ; $4$ cs thuộc $Z$
TH $7$ cũng có $160$ số
Vậy có $162+1728+1344+624.2+160.2=4802$ số
(Đáp án kia không đúng đâu)
Công đoạn 2, chọn số a có 9 cách chọn (vì a ≠ 0 nên a chỉ được chọn một trong 9 số 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
Công đoạn 3, chọn số b có 10 cách chọn (vì b chọn tuỳ ý nên b có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
Công đoạn 4, chọn số c có 10 cách chọn (vì c chọn tuỳ ý nên c có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
Công đoạn 5, chọn số d có 10 cách chọn (vì d chọn tuỳ ý nên d có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
Tổng kết, theo quy tắc nhân ta có Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: 1.9.10.10.10 = 9000 (số).
Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: \(\overline {abcd} \) và a, b, c, d ∈ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d.
Để \(\overline {abcd} \) chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d.
+ Trường hợp 1: d = 0.
Chọn a ∈ A \ {0}, a có 9 cách chọn.
Chọn 2 số b, c ∈ A \ {0; a} và sắp thứ tự chúng, nên có \(A_8^2 = 56\)cách chọn.
Do đó có: 9 . 56 = 504 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 0.
+ Trường hợp 2: d = 5.
Chọn a ∈ A \ {0; 5}, a có 8 cách chọn.
Chọn 2 số b, c ∈ A \ {5; a} và sắp thứ tự chúng, nên có \(A_8^2 = 56\)cách chọn.
Do đó có: 8 . 56 = 448 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 5.
Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 504 + 448 = 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.
Answers ( )
dantam
2021-07-12T12:54:51+00:00
Số tự nhiên: $\overline{abcde}$ ($a\ne 0$)
Các số tự nhiên có thể được chọn là từ 0 đến 9.
– Nếu $e=0$:
Có 9 cách chọn a.
Có 8 cách chọn b.
Có 7 cách chọn c.
Có 6 cách chọn d.
$\Rightarrow 9.8.7.6=3024$ cách chọn
– Nếu $e=5$:
Có 8 cách chọn a.
Có 7 cách chọn b.
Có 6 cách chọn c.
Có 5 cách chọn d.
$\Rightarrow 8.7.6.5=1680$ cách chọn
Vậy tất cả có $3024+1680=4704$ số