31. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2 Bài giải: Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\). Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm2 nên ta được: \(\frac{(x + 3)(y + 3)}{2}= \frac{xy}{2} + 36\) Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm2 nên ta được: \(\frac{(x - 2)(y- 4)}{2} = \frac{xy}{2} - 26\) Ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 \hfill \cr xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 3y = 63 \hfill \cr 4x + 2y = 60 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 6x + 6y = 126 \hfill \cr 12x + 6y = 180 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6x = - 54 \hfill \cr 6x + 6y = 126 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 9 \hfill \cr y = 12 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm. Bài 32 trang 23 sgk Toán 9 tập 2 32. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ? Bài giải: Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > 0)\). \(y\) (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > 0)\). Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể. Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau \(4\frac{4}{5}\) giờ = \(\frac{24}{5}\) giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\frac{5}{24}\) bể. Ta được: \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{5}{24}\) (1) Trong 9 giờ cả vòi một chảy được \(\frac{9}{x}\) bể. Trong \(\frac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\frac{6}{5}\)( \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\)) bể. Theo đề bài vòi thứ nhất chảy 9h sau mở vòi hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ thì đầy bể nên ta có: \(\frac{9}{x}+\frac{6}{5}(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y})=1\) \( \Leftrightarrow {{51} \over x} + {6 \over y} = 5\) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \matrix{ {1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {24}} \hfill \cr {{51} \over x} + {6 \over y} = 5 \hfill \cr} \right.\) Giải hệ ta được: \(x=12,y=8\) Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau 8 giờ bể sẽ đầy. Bài 33 trang 24 sgk Toán 9 tập 2 33. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Bài giải: Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(x\) giờ, người thứ hai trong \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 0, y > 0\). Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai \(\frac{1}{y}\) công việc, cả hai người cùng làm chung thì được \(\frac{1}{16}\) công việc. Ta được \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{1}{16}\). Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được \(\frac{3}{x}\) công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được \(\frac{6}{y}\) công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay \(\frac{1}{4}\) công việc. Ta được \(\frac{3}{x}\) + \(\frac{6}{y}\) = \(\frac{1}{4}\) Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} & & \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\). Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗiĐề bài Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên \(3\) cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36\) cm2, và nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì diện tích của tam giác giảm đi \(26\) cm2 Video hướng dẫn giải Phương pháp giải - Xem chi tiết B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. B2: Giải hệ phương trình. B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời. Chú ý: Tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông \(a,\ b\) có diện tích là: \(S=\dfrac{1}{2}ab\). Lời giải chi tiết Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 2, y > 4\). \(\Rightarrow\) Diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: \(S=\dfrac{1}{2}xy\) \((cm^2)\). Độ dài hai cạnh sau khi tăng mỗi cạnh thêm \(3\) cm là: \((x+3)\) (cm) và \((y+3)\) (cm). \(\Rightarrow\) Diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) \) \((cm^2)\) Vì diện tích lúc này tăng thêm \(36\) cm2 so với ban đầu, nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36\) (1) + Nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì độ dài 2 cạnh sau khi giảm là: \((x-2)\) (cm) và \((y-4)\) (cm) \(\Rightarrow\) Diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x-2)(y-4)\) \((cm^2)\) Lúc này diện tích tam giác giảm \(26\) \(cm^2\) so với ban đầu, nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\) (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36 & & \\ \dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26 & & \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y -xy = 72-9 & & \\ xy - 4x - 2y - xy= - 52 -8& & \end{matrix}\right.\) |
