Thí dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a. 3x$^2$ - x - 2 ≤ 0. b. x$^2$ - 9x + 14 > 0.a Ta có ngay: 3x$^2$ - x - 2 ≤ 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits_{{x_1} = 1\,\,va\,\,{x_2} = - \frac{2}{3}}^{3{x^2} - x - 2 = 0\,\,co\,2\,nghiem} $ -$\frac{2}{3}$ ≤ x ≤ 1.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = [-$\frac{2}{3}$; 1].
b Ta có ngay: x$^2$ - 9x + 14 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x > 7\\x < 2\end{array} \right.$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; 2) ∪ (7; +∞).
Thí dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a. -2x$^2$ + x + 1 ≤ 0. b. -x$^2$ + 6x - 14 > 0.
c. 4x$^2$ - 12x + 10 < 0. d. x$^2$ + 2x + 1 ≤ 0.a. Ta biến đổi bất phương trình về dạng: 2x$^2$ - x - 1 ≥ 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1/2\end{array} \right..$.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = (-∞; -$\frac{1}{2}$) ∪ (1; +∞).
Lưu ý: Như vậy, để tránh nhầm lẫn ta luôn chuyển bất phương trình về dạng có hệ số a dương. b. Ta biến đổi bất phương trình về dạng:
x$^2$ - 6x + 14 > 0 $\mathop \Leftrightarrow \limits^{\Delta ' = - 5 < 0} $ ∀x ∈ $\mathbb{R}$
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = $\mathbb{R}$. c . Ta có: Δ’ = 36 - 40 = -4 < 0 ⇒ Bất phương trình vô nghiệm.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = ø. d. Ta có biến đổi: (x + 1)$^2$ ≤ 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T = {-1}.
Chú ý: Với bài toán "Giải và biện luận bất phương trình bậc hai" ta thực hiện như sau:
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 (nếu có).
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0, thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Tính Δ (hoặc Δ') rồi lập bảng xét dấu chung cho a và Δ (hoặc Δ').
- Bước 2: Dựa vào bảng ta xét các trường hợp xảy ra.
- Bước 3: Kết luận.
Thí dụ 3. Giải và biện luận các bất phương trình:
a. x$^2$ + 2x + 6m > 0. b. 12x$^2$ + 2(m + 3)x + m ≤ 0.a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có Δ' = 1 - 6m. Xét ba trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu Δ' < 0 ⇔ m > $\frac{1}{6}$ ⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
- Trường hợp 2: Nếu Δ' = 0 ⇔ m = $\frac{1}{6}$ ⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{$ - \frac{1}{2}$} ⇒ nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$ \{-1}.
- Trường hợp 3: Nếu Δ' > 0 ⇔ m < $\frac{1}{6}$.
Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_1$ = -1 – $\sqrt {1 - 6m} $ và x$_2$ = -1 + $\sqrt {1 - 6m} $.
Dễ thấy, x$_1$ < x$_2$ do đó ta có bảng xét dấu: ⇒ nghiệm của bất phương trình là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.
Kết luận:
- Với m > $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
- Với m = $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$\{-1}.
- Với m < $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.
Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng: (x + 1)$^2$ > 1 - 6m.
Khi đó:
- Với 1 - 6m < 0 ⇔ m > $\frac{1}{6}$, nghiệm của bất phương trình là ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
- Với 1 - 6m = 0 ⇔ m = $\frac{1}{6}$, bất phương trình có dạng: (x + 1)$^2$ > 0 ⇔ x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ -1.
Vậy, nghiệm của bất phương trình là tập $\mathbb{R}$\{-1}.
- Với 1 - 6m > 0 ⇔ m < $\frac{1}{6}$, bất phương trình có dạng: $\left| {x + 1} \right| > \sqrt {1 - 6m} $ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x + 1 > \sqrt {1 - 6m} \\x + 1 < - \sqrt {1 - 6m} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x > - 1 + \sqrt {1 - 6m} \\x < - 1 - \sqrt {1 - 6m} \end{array} \right..$
Vậy, nghiệm của bất phương trình là tập $\left( { - \infty ;\,\, - 1 - \sqrt {1 - 6m} } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt {1 - 6m} ;\,\, + \infty } \right).$ b. Với f(x) = 12x$^2$ + 2(m + 3)x + m, ta có a = 12 và Δ' = (m - 3)$^2$ ≥ 0.
Khi đó, ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu Δ' = 0 ⇔ m = 3, suy ra f(x) ≥ 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là x = -$\frac{b}{a}$ = -$\frac{1}{2}$.
- Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0 ⇔ m ≠ 3, suy ra: f(x) = 0 ⇔ x$_1$ = -$\frac{1}{2}$ và x$_2$ = -$\frac{m}{6}$.
Xét hai khả năng sau:
- Khả năng 1: Nếu x$_1$ < x$_2$ ⇔ m < 3.
Khi đó, ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là T = (-$\frac{1}{2}$; -$\frac{m}{6}$).
- Khả năng 2: Nếu x$_1$ > x$_2$ ⇔ m > 3.
Khi đó, ta có bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là T = (-$\frac{m}{6}$; -$\frac{1}{2}$).
Kết luận:
- Với m = 3, bất phương trình có tập nghiệm T = {-$\frac{1}{2}$}.
- Với m < 3, bất phương trình có tập nghiệm T = (-$\frac{1}{2}$; -$\frac{m}{6}$).
- Với m > 3, bất phương trình có tập nghiệm T = (-$\frac{m}{6}$; -$\frac{1}{2}$).
Thí dụ 4. Giải và biện luận bất phương trình: (m - 1)x$^2$ - 2(m + 1)x + 3(m - 2) > 0. (1)
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1, khi đó: (1) ⇔ – 4x - 3 > 0 ⇔ x < –$\frac{3}{4}$.
Trường hợp 2: Nếu m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.
Ta có: a = m – 1, Δ’ = (m + 1)$^2$ - 3(m – 2)(m – 1) = -2m$^2$ + 11m – 5.
Bảng xét dấu:
- Với m < 1/2, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$⇒ f(x) < 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ (1) vô nghiệm.
- Với m = 1/2, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$⇒ f(x) ≤ 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ (1) vô nghiệm.
- Với 1/2 < m < 1, ta có a < 0 và Δ’ > 0.
Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{m + 1 - \sqrt {\Delta '} }}{{m - 1}}\,\,\& \,\,{x_2} = \frac{{m + 1 + \sqrt {\Delta '} }}{{m - 1}}$.
Trường hợp này a < 0 nên x$_2$ < x$_1$ do đó: ⇒ nghiệm của (1) là x$_2$ ≤ x ≤ x$_1$.
- Với 1 < m < 5, ta có a > 0 và Δ’ > 0: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.$⇒ f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$
Trường hợp này a > 0 nên x$_2$ > x$_1$ do đó:
⇒ nghiệm của (1) là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.
- Với m = 5, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.$⇒ $\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0,\,\forall x \ne 3/2\\f(x) = 0\,khi\,x = 3/2\end{array} \right.$⇒ nghiệm của (1) là ∀x ≠ $\frac{3}{2}$.
- Với m > 5, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$⇒ f(x) > 0, ∀x ∈ $\mathbb{R}$ ⇒ (1) đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
Kết luận:
- Với m ≤ 1/2, thì (1) vô nghiệm.
- Với 1/2 < m < 1, nghiệm của (1) là x$_2$ ≤ x ≤ x$_1$.
- Với 1 < m < 5, nghiệm của (1) là x < x$_1$ hoặc x > x$_2$.
- Với m = 5, nghiệm của (1) là ∀x ≠ $\frac{3}{2}$.
- Với m > 5, thì (1) đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$.
Thí dụ 5. Cho phương trình: (m - 2)x$^2$ + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0. (1)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
a. Vô nghiệm. b. Có nghiệm.
c. Có đúng một nghiệm. d. Có hai nghiệm phân biệt.Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2.
(1) ⇔ 0.x$^2$ + 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2.
Trường hợp 2: Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. Khi đó:
a. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $\Delta ' < 0$ ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 < 0 ⇔ m$^2$ - 4m + 3 > 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.$.
Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi m < 1 hoặc m > 3. b. Để (1) có nghiệm điều kiện là: Δ’ ≥ 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 ≥ 0 ⇔ m$^2$ - 4m + 3 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 3.
Vậy, bất phương trình có nghiệm khi 1 ≤ m ≤ 3. c. Để (1) có đúng một nghiệm điều kiện là: Δ’ = 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 3.
Vậy, bất phương trình có đúng một nghiệm khi m ∈{1, 2, 3}. d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: Δ’ > 0 ⇔ -m$^2$ + 4m - 3 > 0 ⇔ 1 < m < 3.
Vậy, bất phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m ∈(1; 3)\{2}.
Thí dụ 6. Cho phương trình: x$^2$ + 2(m - 1)x + m - 1 = 0. (1)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
1. Vô nghiệm.
2. Có hai nghiệm phân biệt x$_1$, x$_2$ thoả mãn:
a. x$_1$, x$_2$ trái dấu. b. x$_1$, x$_2$ cùng dấu.
c. x$_1$, x$_2$ dương. d. x$_1$, x$_2$ không dương.1. Để (1) vô nghiệm điều kiện là: $\Delta ' < 0$ ⇔ (m - 1)$^2$ - m + 1 < 0 ⇔ m$^2$ - 3m < 0 ⇔ 0 < m < 3.
Vậy, bất phương trình vô nghiệm khi 0 < m < 3. 2. Ta lần lượt:
a. Để (1) có hai nghiệm trái dấu điều kiện là: a.f(0) < 0 ⇔ m - 1 < 0 ⇔ m < 1.
Vậy, với m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Để (1) có hai nghiệm cùng dấu điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 0\end{array} \right.\\m > 1\end{array} \right.$ ⇔ m > 3.
Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài. c. Để (1) có hai nghiệm phân biệt dương (0 < x$_1$ < x$_2$) điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m > 0\\m - 1 > 0\\1 - m > 0\end{array} \right.$, vô nghiệm.
Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.
Lưu ý: Nếu biết nhận xét rằng S và P trái dấu thì khẳng định ngay vô nghiệm. d. Để (1) có hai nghiệm phân biệt không dương (x$_1$ < x$_2$ ≤ 0) điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P \ge 0\\ S < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 3m > 0\\ m - 1 \ge 0\\ 1 - m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} m > 3\,\,hoac\,\,m < 0\\ m \ge 1\\ m > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3$.
Vậy, với m > 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.
|
