Hàm số lượng giác được xem như là một trong những kiến thức nền tảng của môn Toán ở cấp bậc trung học phổ thông. Chỉ khi làm chủ được kiến thức ở phần này, các em mới có thể “phá đảo” được các dạng bài tập lượng giác từ cơ bản đến nâng cao. Để tìm hiểu một cách chi tiết hơn về hàm số lượng giác, các em hãy đọc ngay bài viết bên dưới đây từ Marathon Education nhé!
Các công thức lượng giác toán 10
Ở cuối chương trình toán lớp 10, các em sẽ được làm quen với hàm số lượng giác. Đây được xem là phần kiến thức “khó nhai”, gây không ít rắc rối cho nhiều thế hệ học sinh.
Điều đầu tiên các em cần làm là ghi nhớ các công thức lượng giác từ cơ bản đến nâng cao. Có như vậy, khi gặp những dạng bài tập về hàm số lượng giác, các em mới vận dụng một cách nhuần nhuyễn được. Dưới đây là bảng tổng hợp một số một số công thức lượng giác cơ bản cần nhớ.
Công thức lượng giác toán 10 cơ bản
1. Bảng giá trị lượng giác của một số cung và góc đặc biệt
2. Hệ thức cơ bản
Một vài hệ thức cơ bản mà các em cần phải “thuộc nằm lòng” như:
\begin{aligned} & sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \ & tan\alpha.cot\alpha = 1\left( \alpha {=}\mathllap{/\,} k \frac{\pi}{2} \right), k \in\Z \ & 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \left(\alpha {=}\mathllap{/\,} \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \Z \right) \ & 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} ( \alpha {=}\mathllap{/\,} k\pi, k \in \Z) \ & tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \ ; \ cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha} \end{aligned}
3. Cung liên kết
Đối với những góc có mối liên kết đặc biệt, điển hình như bù nhau, đối nhau, phụ nhau, hơn kém pi hoặc hơn kém pi/2, các em có thể áp dụng câu sau đây để ghi nhớ dễ dàng hơn: “cos đối, sin bù, tan hơn kém pi, phụ chéo”.
- Hai góc đối nhau:
- cos(–x) = cosx
- sin(–x) = –sinx
- tan(–x) = –tanx
- cot(–x) = –cotx
- Hai góc bù nhau:
- sin (π – x) = sinx
- cos (π – x) = –cosx
- tan (π – x) = –tanx
- cot (π – x) = –cotx
- Hai góc hơn kém π:
- sin (π + x) = –sinx
- cos (π + x) = –cosx
- tan (π + x) = tanx
- cot (π + x) = cotx
- Hai góc phụ nhau:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
- Hai góc hơn kém π/2:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
\>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung
4. Công thức cộng
Công thức cộng cũng là một trong những công thức cơ bản của hàm số lượng giác. Để dễ ghi nhớ những công thức này, các em có thể học thuộc mẫu câu sau đây: “sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ, tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số một trừ tan tan”.
\begin{aligned} & sin(a \pm b) = sina.cosb\plusmn sinb.sina \ & cos(a\pm b) = cosa.cosb \pm sina.sinb \ & tan(a\pm b) = \frac{tana\pm tanb}{1\pm tana.tanb} \end{aligned}
5. Công thức nhân đôi
\begin{aligned} &sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha \ &\begin{aligned} cos2\alpha &=cos^2\alpha-sin^2\alpha\ &=2cos^2\alpha-1\ &=1-2sin^2\alpha &\end{aligned}\ &tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-2tan^2\alpha}\ &cot2\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{2cot\alpha} \end{aligned}
6. Công thức nhân ba
\begin{aligned} &sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha\ &cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha\ &tan3\alpha=\frac{3tan\alpha-tan^3\alpha}{1-3tan^2\alpha} \end{aligned}
7. Công thức hạ bậc
\begin{aligned} \begin{matrix} sin^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2} & cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2} \ sin^3\alpha=\frac{3sin\alpha-sin3\alpha}{4} & cos^3\alpha=\frac{3cos\alpha+cos3\alpha}{4} \end{matrix} \end{aligned}
8. Công thức tính tổng và hiệu của sin x và cos x
\begin{aligned} &sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\ &sinx-cosx=\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ &cosx-sinx=\sqrt{2}sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}
9. Công thức chia đôi
\begin{aligned} &Đặt\ t=tan\frac{x}{2} \ (với \ t ≠\pi+k2\pi, \ k\in\Z)\ &sinx=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ \ \ \ \ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} \ \ \ \ \ \ \ tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{aligned}
10. Công thức biến đổi tổng thành tích
\begin{aligned} &cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}\ &cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}\ &sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}\ &sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2} \end{aligned}
11. Công thức biến đổi tích thành tổng
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
0
Công thức lượng giác toán 10 nâng cao
Bên cạnh đó, Marathon Education cũng sẽ giới thiệu cho các em một số công thức hàm số lượng giác nâng cao. Những công thức này không xuất hiện trong sách giáo khoa. Nhưng để giải quyết được các dạng toán lượng giác nâng cao liên quan đến chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức hay giải phương trình lượng giác, các em học sinh nên tham khảo các công thức này.
1. Công thức kết hợp với hằng đẳng thức đại số
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
1
2. Công thức hạ bậc
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
2
3. Công thức liên quan đến tổng và hiệu của các giá trị lượng giác
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
3
4. Công thức thường được sử dụng trong tam giác
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
4
Lý thuyết hàm số lượng giác lớp 11
Ở chương trình lớp 11, hàm số lượng giác 11 sẽ bao hàm nhiều kiến thức mới mẻ hơn, liên quan đến các hàm số sin, hàm số cos, hàm số tang và côtang. Cụ thể như sau:
Hàm số lượng giác y = sinx
Nguyên tắc để thành lập hàm số này là: Tương ứng mỗi số thực x, ta có số thực sinx.
sin: R → R
x → y = sin x
được gọi là hàm số sin
- Hàm số sin ký hiệu là y = sinx.
- Tập xác định của hàm số là R.
- Hàm số sin là hàm số lẻ.
Ta có, sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] như sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
5
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
6
Hàm số lượng giác y = cosx
Hàm số côsin có ký hiệu là y = cosx. Ứng với một số thực x xác định, ta thu được một giá trị cosx.
Tập xác định của hàm số côsin là R.
Ngược lại với hàm số sin, đây là hàm số chẵn.
Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cosx:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
7
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
8
Hàm số lượng giác y = tanx
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}
9
Hàm số tang là hàm số lẻ.
Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
0
Hàm số lượng giác y = cotx
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
1
Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx:
- Ta có, hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; π). Vì thế, khi tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π), song song với trục hoành từng đoạn có độ dài bằng nhau và bằng π, ta được đồ thị hàm số y = cotx trên D.
Bài tập về hàm số lượng giác
Bài tập 1: Bài 1a trang 4 SGK Đại số và Giải tích lớp 11
Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm các giá trị lượng giác sinx và cosx sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
2
Lời giải chi tiết:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
3
Bài tập 2: Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích lớp 11
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
4
Lời giải chi tiết:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
5
Bài tập 3: Bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích lớp 11
Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|
Lời giải chi tiết:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
6
Bài tập 4: Bài 5 và Bài 7 trang 18 SGK Đại số và Giải tích lớp 11
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
7
Lời giải chi tiết:
Đồ thị của hàm số y = cosx:
\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}
8
Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education
Hàm số lượng giác là kiến thức cơ bản cần nắm vững nếu muốn thành thạo kỹ năng “phá đảo chuyên đề lượng giác”. Hy vọng thông qua các thông tin mà Marathon chia sẻ trong bài viết, các em sẽ thu thập thêm cho mình nhiều kiến thức mới mẻ.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!