Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 9

Chuyên đề: Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối – Toán lớp 9

Bài viết này Timgiasuhanoi.com chia sẻ với các em học sinh lớp 9 chuyên đề phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối với các dạng bài tập cơ bản có ví dụ bài tập minh họa.

Các em cần nắm chắc lý thuyết và xem các ví dụ bên dưới để hiểu rõ hơn về dạng bài tậpphương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1) Nhắc lại giá trị tuyệt đối

$ \displaystyle \left| \text{x} \right|=\left\{ \begin{array}{l}\text{x khi x}\ge \text{0}\\\text{-x khi x 0}\end{array} \right.$
Ví dụ:
a)$ \left| 8 \right|=8;\left| -10 \right|=10$
$ \displaystyle b)\left| 2x+1 \right|=\left\{ \begin{array}{l}2x+1\,\,\,khi\,\,\,2x+1\ge 0\\-(2x+1)\,\,khi\,\,\,2x+1<0\end{array} \right.$

2) Các dạng phương trình tuyệt đối

2.1) Giải phương trình:$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{b (b}\ge \text{0)}$,$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x) }$
a) Cách giải phương trình:$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{b (b}\ge \text{0)}\text{,}$
$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{b }\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| \text{A(x)} \right|=\text{b}\\\left| \text{A(x)} \right|=-\text{b}\end{array} \right.$
Ví dụ:
Giải phương trình:$ \left| \text{3x+1} \right|=5$
Giải
$ \left| \text{3x+1} \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{3x+1}=5\\\text{3x+1}=-5\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{x=}\frac{\text{4}}{\text{3}}\\\text{x=-2}\end{array} \right.$
b) Cách giải phương trình:$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x) }$
Cách 1:$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x) }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{B(x)}\ge \text{0}\\\text{A(x)=}\pm \text{B(x)}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{B(x)}\ge \text{o}\\\left[ \begin{array}{l}\text{A(x)=B(x)}\\\text{A(x)=-B(x)}\end{array} \right.\end{array} \right.$
Cách 2:$ \left| \text{A(x)} \right|=\text{B(x)}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)}\ge \text{0}\\\text{A(x)=B(x)}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)0}\\\text{-A(x)=B(x)}\end{array} \right.\end{array} \right.$
Ví dụ: Giải phương trình:$ \left| 3\text{x+2} \right|=5\text{x-1}$
Giải
$ \left| 3\text{x+2} \right|=5\text{x-1}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\text{3x+2}\ge \text{0}\\\text{3x+2=5x-1}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\text{3x+20}\\\text{-3x-2=5x-1}\end{array} \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\text{x}\ge \text{-}\frac{\text{2}}{\text{3}}\\\text{x=}\frac{\text{3}}{\text{2}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\text{x-}\frac{\text{2}}{\text{3}}\\\text{x=-}\frac{\text{1}}{\text{8}}\end{array} \right.\end{array} \right.$
2.2) Giải phương trình dạng:$ \left| \text{A}(\text{x)} \right|=\left| \text{B(x)} \right|$
Cách giải:$ \left| \text{A(x)} \right|=\left| \text{B(x)} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{A(x)=B(x)}\\\text{A(x)=-B(x)}\end{array} \right.$
Ví dụ: Giải phương trình:$ \left| \text{2-3x} \right|=\left| 5-2\text{x} \right|$
Giải
$ \left| \text{2-3x} \right|=\left| 5-2\text{x} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{2-3x=}5-2\text{x}\\\text{2-3x=-(}5-2\text{x)}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\text{x=-3}\\\text{x=}\frac{\text{7}}{\text{5}}\end{array} \right.$
2.3) Giải phương trình:$ \left| \text{A(x)} \right|+\left| \text{B(x)} \right|=\text{b}$
Cách giải 1:
– Bước 1: Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối
– Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng
Ví dụ: Giải phương trình:$ \left| \text{x+1} \right|+\left| \text{x-1} \right|=10$
Giải
– Bước 1: Lập bảng phá dấu$ \left| {} \right|$

– Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng

• x<-1: -2x=10 ⇔ x=-5 thoả đk x<-1
• $ -1\le \text{x}\le \text{1:2=10}$ Vô nghiệm
• x>1: 2x=10⇔ x=5 thoã đk x>1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=5 và x=-5
Cách giải 2: Đưa về 4 trường hợp sau
TH1: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)}\ge \text{0}\\\text{B(x)}\ge \text{0}\end{array} \right.$ ta giải phương trình A(x) + B(x) =b
TH 2: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)}\ge \text{0}\\\text{B(x)0}\end{array} \right.$ Ta giải phương trình A(x) – B(x) =b
TH 3: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)0}\\\text{B(x)}\ge \text{0}\end{array} \right.$ Ta giải phương trình – A(x) + B(x) = b
TH 4: $ \left\{ \begin{array}{l}\text{A(x)0}\\\text{B(x)0}\end{array} \right.$ Ta giải phương trình sau –A(x) – B(x) = b
Ví dụ: Giải phương trình:$ \left| \text{x+1} \right|+\left| \text{x-1} \right|=10$ (*)
Giải
TH 1:$ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+1}\ge \text{0}\\\text{x-1}\ge \text{0}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x}\ge -1\\\text{x}\ge \text{1}\end{array} \right.\Rightarrow x\ge 1$
Phương trình(*) tương đương với phương trình x+1+x-1=10⇔ x=5 thoã x≥ 1
TH 2:$ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+1}\ge \text{0}\\\text{x-10}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x}\ge \text{-1}\\\text{x1}\end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le \text{x1}$
(*) ⇔$ \Leftrightarrow \text{x+1-x+1=10}\Leftrightarrow \text{2=10}$Vô nghiệm
TH 3:$ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+10}\\\text{x-1}\ge \text{0}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x-1}\\\text{x}\ge \text{1}\end{array} \right.$ : Không xảy ra
TH 4:$ \left\{ \begin{array}{l}\text{x+10}\\\text{x-10}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\text{x-1}\\\text{x1}\end{array} \right.\Rightarrow \text{x-1}$
(*) $ \Leftrightarrow -(\text{x+1)-(x-1)=10}\Leftrightarrow -\text{2x=10}\Leftrightarrow \text{x=-5}$ thoã đk x<-1
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x=5 và x=-5

• Một số bài tập điển hình ôn thi học kì Toán 9 có đáp án

• 24 bài tập về phép biến đổi đồng nhất

• Ôn tập và bồi dưỡng Toán lớp 9 với 10 chuyên đề

• Bài tập nâng cao chương 1 – Hình học 9

• Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp trong đường tròn (Hình ảnh)

• Nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

• Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

75 lượt xem

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài tập Toán 9: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được  GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Giá trị tuyệt đối

1. Giá trị tuyệt đối là gì?

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x được xác định như sau:

Ví dụ:

|45| = 45 (Vì 45 > 0)

|-12| = - (- 12) = 12 (Vì -12 < 0)

2. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

a) Giá trị tuyệt đối của mọi số đều dương.

|x| ≥ 0 với mọi x thuộc R

|x| = 0 <=> x = 0

|x|> 0 <=> x > 0

b) Hai số bằng nhau hoặc đối nhau sẽ có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

Ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau là hai số đối nhau hoặc bằng nhau.

c) Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và cũng đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.

d) Trong hai số âm, số nào nhỏ hơn thì số đó có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Nếu x < y < 0 thì |x| > |y|

e) Trong hai số dương, số nào nhỏ hơn thì số đó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn.

Nếu 0 < x < y thì |x| < |y|

f) Giá trị tuyệt đối của một tích chính bằng tích các giá trị tuyệt đối.

|x . y| = |x|.|y|

g) Giá trị tuyệt đối của một thương chính bằng thương của hai giá trị tuyệt đối.

h) Bình phương giá trị tuyệt đối của một số chính bằng bình phương của số đó.

|x|2 = x2

k) Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của tổng hai số. Dấu sẽ bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

|x| + |y|≥ |x + y| và |x| + |y| = |x + y| <=> x.y ≥ 0

B. Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng 1: Giải phương trình dạng |f(x)| = k (với k là hằng số không âm)

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Khi đó:

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

Dạng 2: Giải phương trình dạng |f(x)| = |g(x)|

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x), g(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Khi đó:

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

Dạng 3: Giải phương trình dạng |f(x)| = g(x)

Phương pháp giải

Đối với bài toán này ta có hai cách giải

Cách 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x), g(x) xác định (nếu cần)

Bước 2: Xét hai trường hợp:

+ Nếu f(x) ≥ 0 thì phương trình có dạng f(x) = g(x) => Suy ra nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1)

+ Nếu f(x) ≤ 0 thì phương trình có dạng f(x) = -g(x) => Suy ra nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

Cách 2:

Bước 1: Đặt điều kiện để f(x), g(x) xác định (nếu cần) và g(x) ≥ 0

Bước 2: Khi đó: 

Bước 3: Kiểm tra điều kiện từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.

C. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của phương trình x ≠ 2

Ta có thể chọn một trong hai cách giải sau:

Cách 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Cách 2: Đưa phương trình về dạng |f(x)| = |g(x)|

Biến đổi tương đương phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải

a)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 1

b)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 3

Ví dụ 3: Giải các phương trình

Hướng dẫn giải

Ta có thể chọn một trong hai cách giải sau:

Cách 1:

Trường hợp 1: Nếu x + 4 ≥ 0 => x ≥ -4

Khi đó phương trình có dạng:

x + 4 + 3x = 5

=> 4x = 1

=>

Vậy phương trình có nghiệm

Trường hợp 2: Nếu x + 4 < 0 => x < -4

Khi đó phương trình có dạng:

-(x + 4) + 3x = 5

=> 2x = 9

=>

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng

Điều kiện

Khi đó phương trình được biến đổi như sau:

Vậy phương trình có nghiệm

-----------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!