1. Hoán vị Show Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi cách sắp thứ tự của \(n\) phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó. Định lí Số các hoán vị của \(n\) phần tử khác nhau đã cho (\(n ≥ 1\)) được kí hiệu là \(P_n\) và bằng: \(P_n = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n!\) Ví dụ: Tính số cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc. Hướng dẫn: Mỗi cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của \(6\) phần tử. Vậy số cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc là \({P_6} = 6! = 720\). 2. Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử khác nhau từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho. Chú ý Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập \(n\) của \(n\) phần tử đó. Định lí Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \(A_n^k\) và bằng \(A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!} \) \((1 ≤ k ≤ n)\) Với quy ước \(0! = 1\). Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \(4\) chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\)? Hướng dẫn: Mỗi số tự nhiên gồm \(4\) chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy \(4\) chữ số từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(7\) phần tử. Vậy số các số cần tìm là \(A_7^4 = 840\) số. 3. Tổ hợp Định nghĩa Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp \(n\) phần tử đã cho (\(0 ≤ k ≤ n\)) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập \(0\) của n phần tử bất kỳ là tập rỗng). Định lí Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là \(C_n^k\) và bằng \(C_n^k = \frac{n!}{k! (n - k)!}\) = \(\frac{A^k_{n}}{k!}\), (\(0 ≤ k ≤ n\)) Ví dụ: Một bàn học sinh có \(3\) nam và \(2\) nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra \(2\) bạn để làm trực nhật? Hướng dẫn: Mỗi cách chọn ra \(2\) bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập \(2\) của \(5\) phần tử. Vậy số cách chọn là: \(C_5^2 = 10\) (cách) Định lí Với mọi \(n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n\), ta có: a) \(C_n^k = C_n^{n-k}\) b) \(C_n^k + C_n^{k+1}\) = \(C_{n+1}^{k+1}\). 4. Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phương pháp chung: - Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình. - Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận. Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phương pháp chung: - Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình. - Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.  Loigiaihay.com
Nhìn vào bức hình trên để đổi chỗ, thêm bớt hoặc chọn vài cầu thủ tiêu biểu trong đội bóng Cho tập hợp A gồm n phần tử (n >= 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Chỉnh hợpCho tập hợp A gồm n phần tử (n >= 1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Tổ hợpGiả sử A có n phần tử (n >= 1). Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Nhận xét
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp
Hiện nay, có rất nhiều các bạn học sinh không nắm được chắc các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Chính vì vậy, trong bài viết dưới đây chúng tôi sẽ chia sẻ tới các bạn công thức tính tổ hợp, chỉnh hơp, hoán vị và các dạng bài tập để các bạn cùng tham khảo nhé Công thức hoán vịCho tập hợp A, gồm n phần tử (n ≥ 1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn Công thức hoán vị: Pn = n! = n(n – 1)…2.1 Hoán vị lặp là gì?Giả sử một tập hợp có k phần tử được đánh số từ 1 đến k. Một cách sắp xếp k phần tử đó sao cho phần tử thứ i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện n(i) lần và n(1)+n(2)+…+n(k)=n được gọi là một hoán vị lặp của k phần tử. Số hoán vị lặp là: Công thức chỉnh hợpTrong toán học, chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức sau: Chỉnh hợp không lặpCho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n ) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Khi k = n thì Ann = pn = n! Chỉnh hợp lặpCho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Akn = nk Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm: Công thức tổ hợpTổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam. Công thức tổng hợp là: Tổ hợp không lặpCho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A. Công thức tính tổ hợp chập k của n: Tính chất: Tổ hợp lặpCho tập A = a1, a2,…,an và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợpBài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợpVí dụ 1: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị. Vậy có P5 = 5! = 120 (cách). Ví dụ 2: Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời? Lời giải Ông X chỉ mời 1 trong 2 người đó và mời thêm 4 trong số 9 người còn lại: 2.C49 = 252. Ông X không mời ai trong 2 người đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người kia: C59 = 126 Suy ra 2.C49 + C59 = 2.126 + 126 = 252 + 126 = 378 cách Ví dụ 3: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9} a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Lời giải: a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: Để có số n ta phải chọn đồng thời a1, a2, a3, a4 trong đó: Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm. b. Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là trong đó: Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số. Ví dụ 4: Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1 cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ (n + 5) điểm trên. Giá trị của n là Lời giải Để tạo thành một tam giác cần 3 điểm phân biệt Sau khi đọc xong bài viết về công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị mà chúng tôi đã trình bày chi tiết phía trên có thể giúp các bạn áp dụng vào làm bài tập nhé
Đánh giá bài viết XEM THÊMBài tập toán lớp 1 cơ bản từ học kỳ 1 – kỳ 2, các dạng bài tập có lời giải |
