Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:
a) \(mx + 6 \le 2x + 3m\)
b) \(\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\)
c) \(\left( {{m^2} + 9} \right)x + 3 \ge m\left( {1 - 6x} \right)\)
Hướng dẫn:
a) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x < 3m - 6\)
Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x \le 0\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)
Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)
Kết luận
\(m = 2\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\)(có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)).
\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x < 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\))
\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x > 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( {3; + \infty } \right)\))
b) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x > 4 - {m^2}\)
Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x > 0\)suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} = - m - 2\)
Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} = - m - 2\)
Kết luận
\(m = 2\) bất phương trình vô nghiệm
\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x > - m - 2\)
\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x < - m - 2\)
c) Bất phương trình tương đương với \({\left( {m + 3} \right)^2}x \ge m - 3\)
Với \(m = - 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge - 6\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
Với \(m \ne - 3\) bât phương trình tương đương với \(x \ge \frac{{m - 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\)
Kết luận
\(m = - 3\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
\(m \ne - 3\) bât phương trình có nghiệm là \(x \ge \frac{{m - 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\).
DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Ví dụ 1:
Giải các hệ bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 > 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 2x - 3\\3x < x + 5\\\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\end{array} \right.\)
Hướng dẫn:
a) Hệ bất phương trình tương đương với
\(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 > 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 7\\x < \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với
\(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{{22}}{7}\\x < \frac{7}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\)
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là \(x < \frac{7}{4}\)
d) Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < \frac{5}{2}\\x \ge \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\)
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là \(\frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\).
Ví dụ 2:
Tìm \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m\left( {mx - 1} \right) < 2}\\{m\left( {mx - 2} \right) \ge 2m + 1}\end{array}} \right.\) có nghiệm.
Hướng dẫn:
Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.\)
Với \(m = 0\) ta có hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.\) suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm
Với \(m \ne 0\) ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\)
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\)
Vậy \(m < \frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.
DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
Ví dụ:
Cho bất phương trình \(\sqrt {x - 1} (x - 2m + 2) \ge 0\)
a) Giải bất phương trình khi \(m = 2\)
b) Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Hướng dẫn:
a) Khi \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(\sqrt {x - 1} (x - 2) \ge 0\)
Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1} = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 1 \right\} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\).
b) Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1} = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2m + 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2m - 2\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)
+ TH1: \(2m - 2 > 1 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2m - 2}\end{array}} \right.\)
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\} \cup [2m - 2; + \infty )\).
Do đó mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình (*)
\( \Leftrightarrow \left[ {2;3} \right] \subset S \Leftrightarrow 2m - 2 \le 2 \Leftrightarrow m \le 2\)
Suy ra \(\frac{3}{2} < m \le 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH2: \(2m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)
Suy ra \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH3: \(2m - 2 < 1 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)
Suy ra \(m < \frac{3}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là \(m \le 2\).
1. Bất phương trình bậc hai
- Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình dạng $a{x^2} + bx + c < 0$ (hoặc $a{x^2} + bx + c \le 0,$ $a{x^2} + bx + c > 0,$ $a{x^2} + bx + c \ge 0$), trong đó $a,\,\,b,\,\,c$ là những số thực đã cho, $a \ne 0.$
- Giải bất phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c < 0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ cùng dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a < 0$) hay trái dấu với hệ số $a$ (trường hợp $a > 0$).
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng \(0\).
- Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.
Dạng 2: Giải bất phương trình tích.
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
- Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng
Phương pháp:
Sử dụng một số tính chất:
- Nếu \(\Delta < 0\) thì tam thức bậc hai cùng dấu với \(a\).
- Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.
Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai
Phương pháp:
- Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.
- Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.
I. Định nghĩa về bất phương trình
1. Dạng tổng quát
f(x)g(x),f(x)≤g(x),f(x)≥g(x)
Ví dụ cho BPT4.x+2>0nghiệm đúng với mọi số thựcx>−0.5. Ta có tập nghiệm: x∈R|x|>−0.5=(0.5;∞)
2. Phương pháp giải bất phương trình lớp 10
* Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Là bất phương trình dạng:a.x+b>0
Trường hợpa # 0
- Nếua> 0, tập nghiệm là:
- Nếua< 0, tập nghiệm là:
Trường hợpa=0
- Nếub> 0, Phương trình vô số nghiệm.
- Nếub< 0, Phương trình vô nghiệm.
* Cách giải bất phương trình bậc 2một ẩn
Là BPT dạng:a.x2 + b.x + c > 0 với a # 0
ĐặtΔ = b2 − 4.a.c. Ta có các trường hợp sau:
- Nếu Δ < 0:
- a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là:∅.
- a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: R.
- Nếu Δ = 0:
- a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực củax. Tập nghiệm là:∅.
- a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực củax. Tập nghiệm là:
- Nếu Δ > 0, gọix1, x2(x1 < x2)là hai nghiệm củaphương trình bậc haia.x2 + b.x + c = 0với
Khi đó:
- Nếua> 0 thì tập nghiệmlà:(−∞;x1)∪(x2;+∞)
- Nếua< 0 thì tập nghiệmlà:(x1; x2)
II. Ví dụ về bất phương trình
Bài 1: Giải bất phương trình chứa căn sau:
Vậy nghiệm của BPT là x = 0 hoặcx = 98
Bài 2:Tìm m để bất phương trìnhcó nghiệm duy nhất:
III. Các bài tập giải bất phương trình lớp 10
Trong phần 2, chúng tôi xin giới thiệu các dạng bài tập vận dụng cáccông thức giải bất phương trình lớp 10. Các bài tập cũng được chia ra : bpt bậc nhất, bậc hai và các phương trình chứa dấu GTTĐ và chứa ẩn dưới dấu căn.
1. Bài tập về Bất phương trình:
Bài 1/ BPT bậc nhất
Bài 5/ BPT qui về bậc hai có chứa căn thức
Giải các phương trình sau:
2. Bài tập về phương trình
3. Bài tập tổng hợp các dạng
Trên đây là cáccông thức giải bất phương trình lớp 10và kèm theo là các dạng bài tập giải bất phương trình lớp 10. Để làm tốt dạng toán giải bất phương trình, trước hết các em học sinh cần phải nắm vững các quy tắc xét dấu của tam thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó, dựa vào các công thức mà tài liệu đã giới thiệu, các em có thể áp dụng để giải các bất phương trình phức tạp hơn. Giải bất phương trình là một dạng toán rất quan trọng và theo suốt chúng ta trong chương trình toán THPT. Do đó, nó luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra một tiết và đề thi học kì lớp 10 nên các em cần đặc biệt lưu ý trong quá trình ôn tập. Hy vong, với các công thức mà Toploigiai giới thiệu, các bạn học sinh lớp 10 sẽ thành thạo việc giải bất phương trình và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra sắp tới.