Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết tứ giác nội tiếp cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
I. Lý thuyết tứ giác nội tiếp
a. Định nghĩa tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
Ví dụ: Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp \(\left( O \right)\) và \(\left( O \right)\) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Hình 1
Định lý
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^\circ .
- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^\circ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Ví dụ: Trong hình 1, tứ giác nội tiếp ABCD có \( \widehat A + \widehat C = 180^\circ ;\widehat B + \widehat D = 180^\circ .\)
b. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\) .
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc \(\alpha\) .
Chú ý : Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.
II. Các dạng toán thường gặp về tứ giác nội tiếp
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp:
Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau :
Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\) .
Cách 2. Chúng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc \(\alpha\) .
Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.
Cách 4. Tìm được một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác.
Dạng 2: Chứng minh các góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song, hệ thức giữa các cạnh…
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.
III. Bài tập về tứ giác nội tiếp
Trên đường tròn tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó. Trên dây AB lấy hai điểm E và H. Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D. Chứng minh EHCD là một tứ giác nội tiếp.
Lời giải:
S là điểm chính giữa của cung \(\overparen{AB}\).
\( \Rightarrow \overparen{SA} = \overparen{SB} \)(1)
\(\widehat {DEB} = \displaystyle {1 \over 2}(sđ \overparen{DCB} + sđ \overparen{AS}) \)(tính chất góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) (2)
\(\widehat {DCS} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{DAS}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {DCS} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DA} + sđ \overparen{SA})\) (3)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {DEB} + \widehat {DCS} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DCB} + sđ \overparen{AS} + sđ \overparen{DA} + sđ \overparen{SA})\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra: \(\widehat {DEB} + \widehat {DCS} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DCB} + sđ \overparen{BS} + sđ \overparen{SA} + sđ \overparen{DA}) = \displaystyle {{360^\circ } \over 2} = 180^\circ \)
Hay \(\widehat {DEH} + \widehat {DCH} = 180^\circ \)
Vậy: tứ giác EHCD nội tiếp được trong một đường tròn.
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong Toán hình 9 chương 3 bài 7 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
**************
Trên đây là tổng hợp lý thuyết tứ giác nội tiếp và các dạng bài thường gặp bao gồm các kiến thức cần nắm và cách làm các dạng bài tập liên quan mà Đọc tài liệu đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh. Ngoài ra đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục tại doctailieu.com. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!
Bản để inLý thuyết: Tứ giác nội tiếp
Tứ giác nội tiếp
Mục lục 1. Định nghĩa [edit] 2. Định lí [edit] 3. Định lí đảo [edit] 4. Dấu hiệu nhận biết [edit] Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Ví dụ:Định nghĩa [edit]
Tứ giác \(ABCD\) ở hình a) được là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(O\) vì cả bốn đỉnh \(A\ B,\ C\) và \(D\) đều nằm trên đường tròn \((O).\)
Tứ giác \(MNPE\) ở hình b) không phải là tứ giác nội tiếp vì có một đỉnh \(E\) không nằm trên đường tròn.
Như vậy, chỉ cần ít nhất một đỉnh của tức giác không thuộc đường tròn thì tứ giác không phải là tứ giác nội tiếp đường tròn đó.
Chú ý:
- Đường tròn \((O)\) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD.\)
- Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn nên mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều có đường tròn ngoại tiếp.
Định lí [edit]
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối bằng \(180^{\circ}.\)
Chứng minh:
Xét tứ giác \(ABCD\) có bốn đỉnh nằm trên đường tròn \((O).\) Ta cần chứng minh:
\(\widehat{A} + \widehat{C} =180^{\circ}\) và \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}.\)
Ta có:
+) \(\widehat{A}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BCD}\) \(\Rightarrow \widehat{A} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BCD}.\)
+) \(\widehat{C}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BAD}\) \(\Rightarrow \widehat{C} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BAD}.\)
Do đó:
\(\widehat{A} + \widehat{C} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BCD}+ \dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BAD}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}= \dfrac{1}{2} (sđ \stackrel\frown{BCD}+ sđ \stackrel\frown{BAD} )\)
\(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}=\dfrac{1}{2} . 360^{\circ}\)
\(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}=180^{\circ}.\ \square\)
Lập luận tương tự, ta cũng có: \(\widehat{B} + \widehat{D}=180^{\circ}.\ \square\)
Định lí đảo [edit]
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^{\circ}\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Chứng minh:
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}.\) Ta cần chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn.
Ta đã biết: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn.
Vì \(A,\ B,\ C\) là ba điểm phân biệt không thẳng hàng nên ta có thể vẽ được đường tròn tâm \(O\) qua ba điểm \(A,\ B,\ C.\) Khi đó dây \(AC\) chia đường tròn thành hai cung \(AnC\) và \(AmC.\)
Lại có, mọi điểm nằm trên cung \(AmC\) đều nhìn cạnh \(AC\) một góc bằng \(180^{\circ}- \widehat{B}.\)
Theo giả thiết, \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}\) nên \(\widehat{D} =180^{\circ} - \widehat{B}.\)
Do đó điểm \(D\) nằm trên cung \(AmC.\)
Vậy tứ giác \(ABCD\) có cả bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn \((O).\ \square\)
Dấu hiệu nhận biết [edit]
Các tứ giác có một trong các đặc điểm sau đây đều là tứ giác nội tiếp:
1. Tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông.
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn (hay tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm).
Vì \(OA=OB=OC=OD\) nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn.
3. Tứ giác có tổng số đo của hai góc đối nhau bằng \(180^{\circ}.\)
Vì \(\widehat{A} + \widehat{C} =180^{\circ}\) nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn.
4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn xuống cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau.
Tứ giác \(ABCD\) có hai góc \(\widehat{A_1}, \widehat{B_1}\) cùng nhìn cạnh \(DC\) và\(\widehat{A_1}= \widehat{B_1}\) nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
5. Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện.
Tứ giác \(ABCD\) có góc ngoài \(\widehat{D_1} =\widehat{B}\) nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
Thẻ từ khoá:
- Đường tròn ngoại tiếp
- tứ giác nội tiếp
- dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
◄ Luyện tập: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn
Chuyển tới... Chuyển tới... Diễn đàn Lý thuyết: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Luyện tập: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Lý thuyết: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Luyện tập: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Thực hành: Nhận biết các tỷ số lượng giác góc nhọn Lý thuyết: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông Luyện tập: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông Lý thuyết: Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời Luyện tập: Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời Lý thuyết: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài kiểm tra: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán thực tế Chương 1 Link vào học Lý thuyết: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn Luyện tập: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn Lý thuyết: Đường kính và dây của đường tròn Luyện tập: Đường kính và dây của đường tròn Link vào học Lý thuyết: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Luyện tập: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Lý thuyết: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Luyện tập: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Lý thuyết: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Luyện tập: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn Lý thuyết: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Luyện tập: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Lý thuyết: Vị trí tương đối của hai đường tròn Luyện tập: Vị trí tương đối của hai đường tròn Luyện tập: Đường tròn Bài kiểm tra: Đường tròn Tài liệu ôn tập Link vào học Lý thuyết: Góc ở tâm. Số đo cung Luyện tập: Góc ở tâm. Số đo cung Lý thuyết: Liên hệ giữa cung và dây Luyện tập: Liên hệ giữa cung và dây Lý thuyết: Góc nội tiếp Thực hành: Góc nội tiếp Luyện tập: Góc nội tiếp Lý thuyết: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Thực hành: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Luyện tập: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Lý thuyết: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn Thực hành: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Luyện tập: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn Thực hành: Nhận xét tính chất của tứ giác nội tiếp Luyện tập: Tứ giác nội tiếp Lý thuyết: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp Luyện tập: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp Lý thuyết: Độ dài đường tròn, cung tròn Minh họa độ dài đường tròn Luyện tập: Độ dài đường tròn, cung tròn Lý thuyết: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Minh họa cách tính diện tích Hình tròn Luyện tập: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn Lý thuyết: Góc với đường tròn Bài kiểm tra: Góc với đường tròn Bài kiểm tra 45 phút Lý thuyết: Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ Luyện tập: Hình trụ Lý thuyết: Hình nón - Hình nón cụt Luyện tập: Hình nón - Hình nón cụt Lý thuyết: Hình cầu Luyện tập: Hình cầu Toán thực tế chương 4 Lý thuyết: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu Bài kiểm tra: Hình trụ - Hình nón - Hình cầu
Thực hành: Nhận xét tính chất của tứ giác nội tiếp ►