Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành dạng tích của nhiều đa thức. Đây là một kĩ thuật cực kì hữu ích giúp bạn làm nhanh các bài toán rút gọn phân thức sau này. Show
Vậy có những cách phân tích đa thức thành nhân tử nào? Hãy cùng tìm hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay dùng như:
 1-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chungCách làm:A.B + A.C = A(B + C) Như vậy, cách làm trên chính là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Mẹo phân tích đa thức thành nhân tử đầu tiên chính là xem có nhân tử chung nào hay không hoặc có thể tạo ra nhân tử chung không. Video bài giảng: Phân tích đa thức 15x³ − 5x² + 10x thành nhân tử. Giải: Ta nhận thấy ba đơn thức thành phần có điểm chung là đều chứa 5x. Vậy ta đặt 5x làm nhân tử chung. Ta có: 15x³ − 5x² + 10x = 5x.3x² − 5x.x + 5x.2 = 5x(3x² − x + 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x² − x = x(x − 1) b) 5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y) Ta đặt x − 2y là nhân tử chung. 5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y) = (x − 2y)(5x² − 15x) c) 3(x − y) − 5x(y − x) Chú ý: tính chất A = −(−A) Ta thấy có x − y và y − x, muốn có chung nhân tử x − y ta làm như sau: 3(x − y) − 5x(y − x) = 3(x − y) + 5xy(x − y) = (x − y)(3 + 5xy) Tìm x sao cho 3x² − 6x = 0. Giải: Đầu tiên ta phân tích đa thức thành nhân tử: 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 Tích trên bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0. Ta có x = 0 hoặc x − 2 = 0. Vậy x = 0 hoặc x = 2. Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chungBài 39.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 3x − 6y = 3(x − 2y); b) c) 14x² − 21xy² + 28x²y² = 7x(2x − 3y² + 4xy²) d) e) 10x(x − y) − 8y(y − x) = 10x(x − y) + 8y(x − y) = 2(x − y)(5x + 4y) Bài 40.Tính giá trị của biểu thức: a) 15. 91,5 + 150.0,85 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100= 1500 b) x(x − 1) − y(1 − x) tại x = 2001 và y = 1999. Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: x(x − 1) − y(1 − x) = x(x − 1) + y(x − 1) = (x − 1)(x + y) = (2001 − 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Bài 41.Tìm x, biết: a) 5x(x − 2000) − x + 2000 = 0 Đầu tiên ta phải phân tích đa thức thành nhân tử,. Vì chưa có nhân tử chung, ta phải làm xuất hiện nhân tử chung. 5x(x − 2000) − x + 2000 = 5x(x − 2000) − (x − 2000) = (x − 2000)(5x − 1) = 0 ⇔ x = 2000 hoặc 5x − 1 = 0 ⇔ x = 2000 hoặc x = 1/5 b) x³ − 13x = 0 ⇔ x(x² − 13) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x² = 13 ⇔ x = 0 hoặc x = ±√13 Bài 42.Chứng minh rằng chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên). Giải: Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: 2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thứcCách làm:Dùng những hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi đa thức về dạng tích nhiều đa thức. Vậy để sử dụng phương pháp này để phân tích đa thức thành nhân tử, ta phải thuộc những hằng đằng thức đáng nhớ và nhận ra dạng của nó. (A + B)² = A² + 2AB + B² (A − B)² = A² − 2AB + B² A² − B² = (A − B)(A + B) (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ (A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³ A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thứcPhân tích đa thức thành nhân tử: a) x² − 4x + 4 = x² − 2.2x + 2² = (x − 2)² b) x² − 4x + 4 − y² = (x − 2)² − y² = (x − 2 − y)(x − 2 + y) c) 1 − 8x³ = 1³ − (2x)³ = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x²). a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ + 3x² + 3x + 1 Ta nhận ra đa thức trên có dạng lập phương của một tổng nên ta có: x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³ b) Tính nhanh: 105² − 25 Ta nhận thấy đa thức trên có dạng A² − B² nên ta có: 105² − 25 = 105² − 5² = (105 − 5)(105 + 5) = 100.110 = 11000 Chứng minh rằng (2n + 5)² − 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n. Giải: Muốn chứng minh một đa thức chia hết cho một số nào đó, ta chỉ cần phân tích đa thức thành nhân tử và chỉ ra số đó là một nhân tử của đa thức. Ta thấy đa thức trên có dạng A² − B² nên ta dùng hằng đẳng thức A² − B² = (A − B)(A + B) để phân tích đa thức thành nhân tử: (2n + 5)² − 25 = (2n + 5)² − 5² = (2n + 5 − 5)(2n + 5 + 5) = 2n(2n + 10) = 4n(n + 5) Vì thế (2n + 5)² − 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n. Video bài giảng: Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thứcBài 43.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x² + 6x + 9 Ta nhận ra dạng x² + 2x.3 + 3² đúng không. x² + 6x + 9 = (x + 3)² b) 10x − 25 − x² Có thể nhận ra dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu nếu ta viết lại đa thức: 10x − 25 − x² = − (x² − 10x + 25) = − (x − 5)²
Các em có nhận ra dạng A³ − B³ không? Các em có thấy đa thức dạng A² − B² không? Bài 44.Phân tích đa thức thành nhân tử: b) (a + b)³ − (a − b)³ >>> nhớ rằng A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²) = [a + b − (a − b)] [(a + b)² + (a + b)(a − b) + (a − b)²] = 2b(a²+ 2ab + b² + a² − b² + a² − 2ab + b²) = 2b(3a² + b²) c) (a + b)³ + (a − b)³ = [a + b + (a − b)] [(a + b)² − (a + b)(a − b) + (a − b)²] = 2a[a²+ 2ab + b² − (a² − b²) + a² − 2ab + b²] = 2a(a²+ 3b²) d) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ >>> nhớ rằng (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (2x + y)³ e) −x³ + 9x² − 27x + 27 = − (x³ − 9x² + 27x − 27) >>> có thể đặt dấu trừ ra ngoài ngoặc để dễ nhận dạng = − (x − 3)³ Bài 45.Tìm x, biết: a) 2 − 25x² = 0 Đầu tiên ta phải phân tích đa thức thành nhân tử, dựa vào hằng đẳng thức A² − B² = (A − B)(A + B) 2 − 25x² = 0 ⇔ (√2 − 5x)(√2 + 5x) = 0 ⇔ √2 − 5x = 0 hoặc √2 + 5x = 0 Nếu √2 − 5x = 0 ⇔ x = √2/5. Nếu √2 + 5x = 0 ⇔ x = – √2/5. Ta phân tích đa thức thành nhân tử theo hằng đẳng thức (A − B)² = A² − 2AB + B². Bài 46.Tính nhanh: a) 73² − 27² = (73 − 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600 b) 37² − 13² = (37 − 13)(37 + 13) = 24. 50 = 1200 c) 2002² − 2² = (2002 − 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000 3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửCách làm:Khi phân tích một đa thức thành nhân tử mà không thấy nhân tử chung hay không có dạng hằng đẳng thức nào đã học, ta cần một phương pháp khác. Mục đích: Đó là làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung, là làm thế nào để xuất hiện hằng đẳng thức >>> Ta phải nhóm những hạng tử sao cho phù hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức Video bài giảng: Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửPhân tích đa thức thành nhân tử: 2xy +3z + 6y + xz Giải: Các em nhìn nếu nhóm hai hạng tử đầu sẽ không có nhân tử chung, vì thế ta xem hạng tử thứ 1 và thứ 3 nếu nhóm chung sẽ xuất hiện hạng tử chung và hạng tử thứ 2 và 4 cũng thế. Đa thức này có thể nhóm như sau: 2xy +3z + 6y + xz = (2xy + 6y) + (3z + xz) = 2y(x + 3) + z(3 + x) = (x + 3)(2y + z) Cách làm như ví dụ trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử thích hợp. Các em xem tiếp ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: x² − 4x + xy − 4y Giải: Cách 1: Nhóm hạng tử thứ 1 với thứ 2 và nhóm hạng tử thứ 3 với thứ 4 x² − 4x + xy − 4y = (x² − 4x) + (xy − 4y) = x(x − 4) + y(x − 4) = (x − 4)(x + y) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và 3 và nhóm hạng tử thứ 2 và 4 x² − 4x + xy − 4y = (x² + xy) + (−4x − 4y) = x(x + y) − 4(x + y) = (x + y)(x − 4) Tính nhanh: 15. 64 + 25.100 + 36. 15 + 60. 100 Giải: Ta nhóm hạng tử thứ 1 với 3 và hạng tử thứ 2 với 4. 15. 64 + 25.100 + 36. 15 + 60. 100 = (15. 64 + 36. 15) + (25. 100 + 60. 100) = 15(64 + 36) + 100(25 + 60) = 15.100 + 100. 85 = 100.(15 + 85) = 100.100 = 10000. Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửBài 47.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x² − xy + x − y = (x² − xy) + (x − y) <<< nhóm hạng tử thứ 1 với 2 và hạng tử 3 với 4 = x(x − y) + (x − y) = (x − y)(x + 1) b) xz + yz − 5(x + y) = (xz + yz) − 5(x + y) = z(x + y) − 5(x + y) = (x + y)(z − 5) c) 3x² − 3xy − 5x + 5y = (3x² − 3xy) + (−5x + 5y) <<< nhóm hạng tử 1 với 2 và 3 với 4 = 3x(x − y) − 5(x − y) <<< đặt − 5 làm nhân tử chung đổi dấu hạng tử trong ngoặc = (x − y)(3x − 5) Bài 48.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x² + 4x − y² + 4 = (x² + 4x + 4) − y² <<< nếu nhóm hạng tử 1, 2, 4 sẽ tạo ra dạng bình phương của 1 tổng = (x + 2)² − y² = (x + 2 − y)(x + 2 + y) b) 3x² + 6xy + 3y² − 3z² >>> có nhân tử chung là 3 = 3(x² + 2xy + y² − z²) = 3[(x² + 2xy + y²) − z²] = 3[(x + y)² − z²] = 3(x + y − z)(x + y + z) c) x² − 2xy + y² − z² + 2zt − t² = (x² − 2xy + y²) − (z² − 2zt + t²) <<< ta thấy nhóm 3 hạng tử đầu và 3 hạng tử cuối tạo ra các bình phương = (x − y)² − (z − t)² >>> Xuất hiện dạng A² − B² = [x − y − (z − t)][x − y + (z − t)] >>> trước ngoặc có dấu − ta phải đổi dấu khi phá ngoặc = [x − y − z + t)(x − y + z − t) Bài 49.Tính nhanh: a) 37,5 . 6,5 − 7,5 . 3,4 − 6,6 . 7,5 + 3,5. 37,5 Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử: 37,5 . 6,5 − 7,5 . 3,4 − 6,6 . 7,5 + 3,5. 37,5 = (37,5 . 6,5 + 3,5. 37,5) − (7,5 . 3,4 + 6,6 . 7,5) <<< đặt −1 làm nhân tử chung thì đổi dấu trong ngoặc = 37,5 (6,5 + 3,5) −7,5 ( 3,4 + 6,6) = 37,5. 10 − 7,5 . 10 = 10(37,5 − 7,5) = 10. 30 = 300. b) 45² + 40² − 15² + 80. 45 = (45² + 80. 45 + 40²) − 15² <<< nhóm các hạng tử 1, 2, 4 ta áp dụng được hằng đẳng thức = (45 + 40)² − 15² = 85² − 15² = (85 − 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Bài 50.Tìm x, biết: a) x(x − 2) + x − 2 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −1. b) 5x(x − 3) − x + 3 = 0 ⇔ 5x(x − 3) − (x − 3) = 0 <<< đặt dấu − ngoài ngoặc thì bên trong phải đổi dấu ⇔ (x − 3)(5x − 1) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 1/5. 4-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương phápCách làm:Ta sẽ phối hợp các phương pháp đã học phía trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương phápPhân tích đa thức thành nhân tử: x² − 2xy + y² − 81 Giải: x² − 2xy + y² − 81 = (x² − 2xy + y²) − 81 <<< nhóm 3 hạng tử đầu để xuất hiện bình phương một hiệu = (x − y)² − 9² >>> áp dụng hằng đẳng thức A² − B² = (x − y − 9)(x − y + 9) Như vậy ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x³y − 2xy³ − 4xy² − 2xy Giải: 2x³y − 2xy³ − 4xy² − 2xy = 2xy(x² − y² − 2y − 1) <<< đặt nhân tử chung = 2xy[ x² − (y² + 2y + 1) ] <<< nhóm các hạng tử = 2xy[ x² − (y + 1)²] <<< áp dụng hằng đẳng thức = 2xy(x − y − 1)( x + y + 1) Tính nhanh giá trị của biểu thức x² + 2x + 1 − y² tại x = 94,5 và y = 4,5. Giải: Đầu tiên ta phân tích đa thức thành nhân tử rồi mới thay số vào tính. x² + 2x + 1 − y² = (x² + 2x + 1) − y² <<< nhóm hạng tử = (x + 1)² − y² >>> áp dụng hằng đẳng thức = (x + 1 − y)(x + 1 + y) Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương phápBài 51.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x³ − 2x² + x = x(x² − 2x + 1) <<< đặt x làm nhân tử chung = x(x − 1)² <<< áp dụng hằng đẳng thức b) 2x² + 4x + 2 − 2y² = 2(x² + 2x + 1 − y²) <<< đặt 2 làm nhân tử chung = 2[(x + 1)² − y²] <<< nhóm hạng tử và áp dụng hằng đẳng thức = 2(x + 1 − y)(x + 1 + y) c) 2xy − x² − y² + 16 = (2xy − x²− y²) + 16 <<< nhóm hạng tử = 16 − (x² − 2xy + y²) <<< viết lại để nhận dạng hằng đẳng thức = 4² − (x − y)² >>> áp dụng hằng đẳng thức, chú ý dấu = (4 − x + y)(4 + x − y) Bài 52.Chứng minh rằng (5x + 2)² − 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. Giải: Ta phân tích đa thức thành nhân tử như sau: (5n + 2)² − 4 = (5n + 2)² − 2² = (5n + 2 − 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. Vậy (5n + 2)² − 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. Bài 53.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x² − 3x + 2 Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử, nhưng ta có thể tách hạng tử ra thành các hạng tử sao cho tạo ra nhân tử chung khi nhóm lại, hoặc tạo ra hằng đẳng thức. x² − 3x + 2 = x² − x − 2x + 2 <<< tách − 3x = − x − 2x = (x² − x) − (2x − 2) <<< nhóm hạng tử = x(x − 1) − 2(x − 1) = (x − 1)(x − 2) b) x² + x − 6 = x² + 3x − 2x − 6 <<< tách x = 3x − 2x = x(x + 3) − 2(x + 3) = (x + 3)(x − 2) c) x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 <<< tách 5x = 2x + 3x = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Để hiểu rõ phương pháp này, ta hãy học kĩ phần tiếp theo: 5-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tửCách làm:Đây là phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Khi nào ta dùng? Ta dùng khi đa thức không chứa nhân tử chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Để phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử bằng phương pháp này ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac. Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b Để phân tích đa thức có bậc 3 trở lên, ta có thể dùng cách nhẩm nghiệm của đa thức. Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Như vậy, nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa hạng tử x − a. Ta sẽ Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tửPhân tích đa thức thành nhân tử: 3x² − 8x + 4 Giải: Cách 1: Ta có thể tách hạng tử thứ 2 3x² − 8x + 4 = 3x² − 6x − 2x + 4 <<< tích ac = 12 = −2 . (−6), tổng −2 + (−6) = −8 = 3x(x − 2) − 2(x − 2) = (x − 2)(3x − 2) Cách 2: Ta có thể tách hạng tử thứ nhất 3x² − 8x + 4 = 4x² − 8x + 4 − x² = (2x − 2)² − x² = (2x − 2 + x)(2x − 2 − x) = (3x − 2)(x − 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x² − 4x − 3 Giải: Cách 1: Ta tách hạng tử thứ hai, hệ số −4 tách thành 2 và −6 vì có tích bằng −12 4x² − 4x − 3 = 4x² − 6x + 2x − 3 <<< tách − 4x = − 6x + 2x = 2x(2x − 3) + (2x − 3) = (2x + 1)(2x − 3) Cách 2: Ta tách hạng tử thứ ba 4x² − 4x − 3 = 4x² − 4x + 1 − 4 = (2x − 1)² − 2² = (2x − 1 − 2)(2x − 1 + 2) = (2x − 3)(2x + 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x³ − x² − 4 Giải: Ta có thể lần lượt kiểm tra với x = ±1, ±2, ±4 hoặc sử dụng máy tính bấm nghiệm của phương trình bậc 3, ta sẽ tháy f(2) = 0. Vậy đa thức sau khi phân tích sẽ có nhân tử x − 2. Ta sẽ tách các hạng tử sao cho xuất hiện x − 2: Cách 1: x³ − x² − 4 = x³ − 2x² + x² − 2x + 2x − 4 = x²(x − 2) + x(x − 2) + 2( x − 2) = (x − 2)(x² + x + 2) Cách 2: x³ − x² − 4 = x³ − 8 − x² + 4 <<< tách hạng tử thứ 3 = (x³ − 8) − (x² − 4) <<< nhóm hạng tử = (x − 2)(x² + 2x + 4) − (x − 2)(x + 2) = (x − 2)(x² + 2x + 4 − x − 2) <<< đặt nhân tử chung = (x − 2)(x² + x + 2) Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng phương pháp khác sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử bậc 4, 5. 6-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tửCách làm:Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương hoặc xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tửPhân tích đa thức thành nhân tử: Giải: Ta cần thêm bớt hạng tử sao cho xuất hiện hiệu của hai bình phương: Phân tích đa thức thành nhân tử: Giải: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Giải: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x² + 10x)(x² + 10x + 24) + 128 Ta đặt x² + 10x + 12 = t. Đa thức đã cho trở thành: (t − 12)(t + 12) + 128 = t² − 12² + 128 = t² − 16 = (t − 4)(t + 4) = (x² + 10x + 12 − 4)(x² + 10x + 12 + 4) = (x² + 10x + 8)(x² + 10x + 16) = (x² + 10x + 8)(x² + 2x + 8x + 16) = (x² + 10x + 8)(x + 2)(x + 8) Như vậy chúng ta đã cùng tìm hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử từ cơ bản đến nâng cao. Xem thêm bài tập tại đây Hi vọng bài viết sẽ giúp các em học được cách phân tích đa thức thành nhân tử để áp dụng vào giải bài tập Toán 8. Có thắc mắc đừng ngại comment phía dưới! Bài tiếp theo: Chia đơn thức cho đơn thức |
