Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền. Ví dụ 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC.  Ta có: AB2 = BC . BH; AC2 = BC . HC. 2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC. Ta có: AH2 = BH . HC. Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. Ví dụ 3. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC. Ta có: AB . AC = BC . AH. Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên BC. Ta có: 1AH2=1AB2+1AC2. 3. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn + Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α. + Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α. + Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α. + Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có C^=α . Khi đó: sinα=ABBC; cos α=ACBC; tan α=ABAC; cot α=ACAB Nhận xét: Nếu α là một góc nhọn thì: 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có C^=α Khi đó: 0<sin α=ABBC<1; 0<cos α=ACBC<1; tan α=ABAC>0; cot α=ACAB>0 Chú ý: Nếu hai góc nhọn α và β có sin α = sin β (hoặc cos α = cos β, hoặc tan α = tan β, hoặc cot α = cot β) thì α = β vì chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = AC, đường cao AH. MN là đường trung bình của tam giác ABH. Chứng minh AMN^=C^. a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140° = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°) = cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40° = cos 0° + cos 120° = 1 + −12 (giá trị lượng giác của góc đặc biệt) = 12. b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180° = sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180° = sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180° = sin 150° + sin 180° = 12+0 (giá trị lượng giác của các góc đặc biệt) = 12.. c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55° = cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°) = cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35° (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau) = 0. d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115° = tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°) = cot 65° . tan 45° . (– tan 65°) = – (cot 65° . tan 65°) . tan 45° = −cos65°sin65°.sin65°cos65°.tan45° = (– 1) . 1 = – 1. e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100° = cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°) = tan 80° . cot 30° . (– cot 80°) = – (tan 80° . cot 80°) . cot 30° = (– 1) . 3 = −3. |
