mikigame.vn: Qua bài Phương trình đường tròn cùng tìm hiểu các kiến thức về phương trình đường tròn, các dạng bài tập thường gặp và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng. Show
Bạn đang xem: Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ Liên Hệ Cung Và Dây Chu Vi Hình Tròn Diện Tích Hình Tròn Độ Dài Cung Tròn Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Góc Có Đỉnh Ở Bên Trong Đường Tròn. Góc Có Đỉnh Ở Bên Ngoài Đường Tròn Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn Phương Trình Đường Tròn Ngoại Tiếp Tam Giác Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn Phương Trình Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác Xét đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là: (x - a)² + (y - b)² = R²Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\) (đk: a² + b² – c > 0)II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒNXét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆: (∆): \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\)III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒNDạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.Cách 1: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x - a)² + (y - b)² = m. Bước 2: Xét m: Nếu m Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{m}\).Cách 2: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Xét m = a² + b² - c: Nếu m ≤ 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\).Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trướcCách 1: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R². Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R². Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R². Cách 2: Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c. Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn: Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) d(I,Δ) = R.Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A ⇔ d (I,Δ) = IA = R.Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) ⇔ d (I,Δ1) = d (I,Δ2) = R.Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (C) cho trước: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước. Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại \( M_o(x_o; y_o)\) có dạng: \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\) Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm: Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R. Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giácIII. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCVí dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.Xem thêm: Viêm Hang Vị Dạ Dày Là Gì Nguyên Nhân Triệu Chứng Nguyên Nhân VàLời giải tham khảo: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Vì (C) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta có hệ sau: \(\left\{\begin{matrix} 4^2 + (-1)^2 – 2a.4 – 2b.(-1) + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \)
a, R=IM=52=>(C): (x+2)2+(y-3)2=52 b, R=d(I,∆)=255=>(C): (x+1)2+(y-2)2=45 c, R=AB2=13Tâm I là trung điểm AB=>I=(4;3)=>(C): (x-4)2+(y-3)2=13.. ...Xem thêm
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 10 Bài 2: Phương trình đường tròn giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: a) (C) có bán kính là 5 ; b) (C) đi qua gốc tọa độ ; c) (C) tiếp xúc với trục Ox; d) (C) tiếp xúc với trục Oy; e) (C) tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x + 3y – 12 = 0. Lời giải: a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25; b) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13; c) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9; d) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4; e) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1. a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC ; b) Tìm tâm và bán kính của (C). Lời giải: a) Phương trình của (C) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. Ta có: A, B, C ∈ (C) Vậy phương trình của (C) là: x2 + y2 + 6x + 2y – 31 = 0 b) (C) có tâm là điểm (-3;-1) và có bán kính bằng a) Tìm tọa độ tâm của (C); b) Tính bán kính R của (C); c) Viết phương trình của (C). Lời giải: Gọi I(a; b) là tâm của (C) ta có: Vậy (C) có tâm I (-3 ; 1). b) R = IA = c) Phương trình của (C) là: (x + 3)2 + (y – 1)2 = 0 Δ1: 3x + 4y – 1 = 0 Δ2: 4x + 3y – 8 = 0 d: 2x + y – 1 = 0. a) Lập phương trình các đường phân giác của góc hợp bởi Δ1 và Δ2. b) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn (C) biết rằng I nằm trên d và (C) tiếp xúc với Δ1 và Δ2. c) Viết phương trình của (C). Lời giải: Lời giải: a) A có tọa độ (-1; 1), B có tọa độ (5; 3) ; b) A có tọa độ (-1; -2), B có tọa độ (2; 1). Lời giải: a) x2 + y2 – 4x – 4y – 2 = 0 b) x2 + y2 – x + y – 4 = 0 Lời giải: Phương trình của (C) có dạng (x – a)2 + (y – a)2 = a2, ta có: M ∈ (C) ⇔ (4 – a)2 + (2 – a)2 = a2
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài là: (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 và (x – 10)2 + (y – 10)2 = 100 a) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và d. b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó. c) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến. Lời giải: a) M1(1; 0), M2(-3; 3) b) Δ1: x – 7y – 1 = 0 Δ2: 7x + y + 18 = 0 c) A(-5/2; -1/2). a) Chứng tỏ rằng điểm A nằm ngoài đường tròn (C) . b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A. Lời giải: a) (C) có tâm I (3;-1) và có bán kính R = 2, ta có: và IA > R, vậy A nằm ngoài (C). b) Δ1: 3x + 4y – 15 = 0 Δ2: x – 1 = 0 Lời giải: Δ vuông góc với d nên phương trình Δ có dạng: x + 3y + c = 0 (C) có tâm I(3;-1) và có bán kính R = √10. Ta có: Δ tiếp xúc với (C) : Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: Δ1: x + 3y + 10 = 0 và Δ2: x + 3y – 10 = 0 a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến Δ1 và Δ2 với (C), hãy viết phương trình của Δ1 và Δ2. b) Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của Δ1 và Δ2 với (C) , hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua M1 và M2 Lời giải: a) (C) có tâm I(-1; 2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng đi qua M(2; -1) và có hệ số góc k có phương trình: y + 1 = k(x – 2) ⇔ kx – y – 2k – 1 = 0 Ta có: Δ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I; Δ ) = R
Vậy ta được tiếp tuyến Δ1: y + 1 = 0 Xét đường thẳng Δ2 đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, Δ2 có phương trình x – 2 = 0. Ta có: d(I; Δ ) = |-1 – 2| = 3 = R Suy ra Δ2 tiếp xúc với (C) . Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C), đó là: Δ1: y + 1 = 0 và Δ2: x – 2 = 0 b) Δ1 tiếp xúc với (C) tại M1(-1; -1) Δ2 tiếp xúc với (C) tại M2(2; 2) Phương trình của đường thẳng d đi qua M1 và M2 là: x – y = 0. Lời giải: Đường tròn (C): x2 + y2 – 8x – 6y có tâm I(4;3) và bán kính R = 5. Cách 1: xét đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, Δ có phương trình y – kx = 0 Ta có: Δ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I, Δ) = R ⇔ (3 – 4k)2 = 25(k2 + 1) ⇔ 9 – 24k + 16k2 = 25k2 + 25 ⇔ 9k2 + 24k + 16 = 0 ⇔ k = -4/3 Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: y + 4x/3 = 0 hay 4x + 3y = 0 Cách 2: Do tọa độ O(0;0) thỏa mãn phương trình của (C) nên điểm O nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại O có vectơ pháp tuyến Suy ra Δ có phương trình: 4x + 3y = 0. a) Tìm câm và bán kính của (C1) và (C2) . b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). Lời giải: a) (C1) có tâm có bán kính R1 = 2; (C2) có tâm có bán kính R2 = 1. b) Xét đường thẳng Δ có phương trình: y = kx + m hay kx – y + m = 0. Ta có: Δ tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi
Từ (1) và (2) suy ra |3k + 2| = 2|6k – 3 + m| Trường hợp 1: 3k + m = 2(6k – 3 + m) ⇔ m = 6 – 9k (3) Thay vào (2) ta được ⇔ 9 – 18k + 9k2 = k2 + 1 ⇔ 8k2 – 18k + 8 = 0 ⇔ 4k2 – 9k + 4 = 0 Thay giá trị của k vào (3) ta tính được
Vậy ta được hai tiếp tuyến Δ1: y = k1x + 6 – 9k1 Δ2: y = k2x + 6 – 9k2 Trường hợp 2: 3k + m = -2(6k – 3 + m) ⇔ 3m = 6 – 15k ⇔ m = 2 – 5k (4) Thay vào (2) ta được ⇔ (k – 1)2 = k2 + 1 ⇔ k2 – 2k + 1 = k2 + 1 ⇔ k = 0 Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2. Vậy ta được tiếp tuyến Δ3: y = 2 Xét đường thẳng Δ4 vuông góc với Ox tại x0: Δ4: x – x0 = 0 Δ4 tiếp xúc vơi (C1) và (C2) khi và chỉ khi Vậy ta được tiếp tuyến: Δ4: x – 5 = 0 Tóm lại hai đường tròn (C1) và (C2) có bốn tiếp tuyến chung Δ1, Δ2, Δ3 và Δ4 |