Cho đường tròn \((O; R)\) và dây cung \(BC = R\). Hai tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(B, C\) cắt nhau tại \(A\). Tính \(\widehat {ABC},\widehat {BAC}\).
Phương pháp:
+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Tổng bốn góc của tứ giác lồi bằng \(360^0\).
Lời giải:
Cách 1: Tam giác BOC có \(BC = OB = OC = R\)
\(\Rightarrow\) Tam giác \(BOC\) là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau)
Xét \((O)\) ta có: \(\widehat {ABC}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(BA\) và dây cung \(BC\) của \((O)\).
Ta có: sđ \(\overparen{BC}=\widehat {BOC}=60^0\) (góc ở tâm chắn \(\overparen{BC}\) ) và \(\widehat {ABC}= \dfrac {1}{2} sđ\overparen{BC}=30^0\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn \(\overparen{BC}\)).
Vì \(AB,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {ABO}=\widehat {ACO}=90^0\)
Xét tứ giác \(OBAC\) có \(\widehat {ABO}+\widehat {ACO}+\widehat {BOC}+\widehat {BAC}=360^0\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat {BAC} = {360^0} - \widehat {ABO}-\widehat {ACO}-\widehat {BOC} \)
\(=360^0- {90^0}-90^0 - {60^0} = {120^0}\).
Cách 2:
Tam giác BOC có \(BC = OB = OC = R\)
Suy ra tam giác \(BOC\) là tam giác đều (Tam giác có 3 cạnh bằng nhau) nên \(\widehat {BOC}=60^0\)
sđ \(\overparen{BC}=\widehat {BOC}=60^0\) (góc ở tâm chắn \(\overparen{BC}\) ) và \(\widehat {ABC}= \dfrac {1}{2} sđ\overparen{BC}=30^0\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn \(\overparen{BC}\)).
Vì AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O), cắt nhau tại A nên AB = AC (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\) Tam giác ABC cân tại A
\(\Rightarrow\) \(\widehat {ABC}=\widehat {ACB}\)
Xét tam giác ABC có:
\(\widehat {ABC}+\widehat {ACB}+ \widehat {BAC}=180^0\)
\(\Rightarrow \widehat {BAC}= 180^0 - (\widehat {ABC}+\widehat {ACB}) = 180^0-2.\widehat {ABC}=180^0-2. 30^0 = 120^0\)
Bài 32 trang 80 SGK Toán lớp 9 tập 2
Câu hỏi:
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Một tiếp tuyến của đường tròn tại \(P\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(T\) (điểm \(B\) nằm giữa \(O\) và \(T\))
Chứng minh: \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\).
Phương pháp:
+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng \(90^0\)
Lời giải:
Cách 1:
Ta có \(\widehat {TPB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến \(PT\) và dây cung \(PB\) của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {TPB}=\dfrac{1}{2}sđ\overparen{BP}\) (1)
Lại có: \(\widehat {BOP}=sđ\overparen{BP}\) (góc ở tâm chắn \(\overparen{BP}\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BOP} = 2.\widehat {TPB}\).
Vì \(TP\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) nên \( OP \bot TP\). Do đó tam giác \(TPO\) vuông tại T, ta có \(\widehat {BOP} + \widehat {BTP}=90^0.\)
hay \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\) (đpcm)
Cách 2:
Vì \(\widehat {BAP} = \widehat{BPT}\) ( góc nội tiếp chắn cung và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(PB\))
Vì \(\widehat {B_{1}}\) là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác BPT nên
\(\widehat {B_{1}} =\widehat {BTP} +\widehat {BPT}\)
\(\Rightarrow \widehat {BAP}+\widehat {B_{1}} =\widehat {BPT}+ \widehat {BTP} +\widehat {BPT}=\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB}\)(3)
Xét đường tròn (O) có: \(\widehat{APB}= 90^0\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\) Tam giác APB vuông tại P
\(\Rightarrow\) \(\widehat {BAP}+\widehat {B_{1}} =90^0\) (4)
Từ (3) và (4) ta có:\(\Rightarrow\) \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\) (đpcm)
Bài 33 trang 80 SGK Toán lớp 9 tập 2
Câu hỏi:
Cho \(A, B, C\) là ba điểm trên một đường tròn. \(At\) là tiếp tuyến của đường tròn tại \(A\). Đường thẳng song song với \(At\) cắt \(AB\) tại \(M\) và cắt \(AC\) tại \(N\).
Chứng minh: \(AB. AM = AC . AN\)
Phương pháp:
+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng. Từ đó suy ra các cặp tương ứng tỉ lệ và đẳng thức cần chứng minh.
Bài 32 trang 80 SGK Toán 9 tập 2 được hướng dẫn chi tiết giúp bạn giải bài 32 trang 80 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 2 đúng và ôn tập các kiến thức đã học.
Bạn muốn giải bài 32 trang 80 SGK Toán 9 tập 2 không nên bỏ qua bài viết này. Với những hướng dẫn chi tiết, không chỉ tham khảo cách làm hoặc đáp án mà bài viết này còn giúp bạn nắm vững lại các kiến thức Toán 9 chương 3 phần hình học để tự tin giải tốt các bài tập khác về Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Đề bài 32 trang 80 SGK Toán 9 tập 2
Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Một tiếp tuyến của đường tròn tại \(P\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(T\) (điểm \(B\) nằm giữa \(O\) và \(T\))
Chứng minh: \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\).
» Bài tập trước: Bài 31 trang 79 SGK Toán 9 tập 2
Giải bài 32 trang 80 SGK Toán 9 tập 2
Hướng dẫn cách làm
+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị chắn.
+) Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng \(90^0\)
Đáp án chi tiết
Dưới đây là các cách giải bài 32 trang 80 SGK Toán 9 tập 2 để các bạn tham khảo và so sánh bài làm của mình:
Ta có \(\widehat {TPB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến \(PT\) và dây cung \(PB\) của đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {TPB}=\dfrac{1}{2}sđ\overparen{BP}\)(cung nhỏ \(\overparen{BP}\)) (1)
Lại có: \(\widehat {BOP}=sđ\overparen{BP}\) (góc ở tâm chắn cung \(\overparen{BP}\)). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BOP} = 2.\widehat {TPB}\).
Trong tam giác vuông \(TPO\) ( \(OP \bot TP\) vì \(TP\) là tiếp tuyến) ta có \(\widehat {BOP} + \widehat {BTP}=90^0.\)
hay \(\widehat {BTP} + 2.\widehat {TPB} = {90^0}\).
» Bài tiếp theo: Bài 33 trang 80 SGK Toán 9 tập 2
Trên đây là nội dung hướng dẫn trả lời bài 32 trang 80 SGK Toán 9 tập 2 được Đọc Tài Liệu chia sẻ để giúp bạn hoàn thành tốt bài làm của mình. Mong rằng những tài liệu giải Toán 9 của chúng tôi sẽ luôn là người bạn đồng hành để giúp bạn học tốt hơn môn học này.