Bài tập bất phương trình chứa trị tuyệt đối

5.192 lượt xem 450 download

Nội dung Text: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
2. B T PHƯƠNG TRÌNH CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I Tr n Văn Toàn, Trư ng THPT chuyên Lương Th Vinh, Biên Hoà, Đ ng Nai. Ngày 7 tháng 1 năm 2009 Tóm t t n i dung B t phương trình có ch a d u giá tr tuy t đ i đư c h c trong chương trình Toán Trung h c ph thông. Tuy nhiên, trong chương trình hi n hành, cũng ch đưa ra m t vài bài toán nh mà phương pháp gi i ch y u là dùng đ nh nghĩa v giá tr tuy t đ i ho c xét d u c a bi u th c bên trong d u giá tr tuy t đ i đ sao cho b t phương trình đang xét không còn ch a d u giá tr tuy t đ i n a. L y ý tư ng chính t m t bài vi t trong [1], tôi vi t đ tài này v i m c đích là đưa thêm m t cách gi i n a, ch y u là tránh vi c xét d u bi u th c bên trong d u giá tr tuy t đ i, mà công vi c xét d u này đôi khi th t s không đơn gi n. 1 Các b t phương trình cơ b n Sách Giáo viên Đ i s l p 10 c a Nhà xu t b n Giáo d c, xu t b n năm 2006, trang 107 có ch ng minh r ng n u a là m t s th c b t kì thì ta có 1. |f (x)| a ⇔ −a f (x) a. f ( x) a 2. |f (x)| a⇔ −a f ( x) 1. Th t v y, xét b t phương trình |f (x)| a. • N ua 0, ta có |f (x)| a ⇔ −a f (x) a. • N u a < 0, các b t phương trình |f (x)| a và −a f (x) a đ u vô nghi m. • Trư ng h p b t phương trình |f (x)| a ch ng minh tương t . 2. Bây gi , ta xét các b t phương trình |f (x)| g (x) và −g (x) f (x) g (x). G i D là t p xác đ nh c a b t phương trình |f (x)| g (x) (Khi đó, D cũng là t p xác đ nh c a b t phương trình −g (x) f (x) g (x)). Gi s có s x0 ∈ D tho b t phương trình |f (x)| g (x), t c là |f (x0 )| g (x0 ). (1.1) 1
3. Ta ch xét trư ng h p g (x0 ) 0. • N u f (x0 ) 0, thì |f (x0 )| = f (x0 ) và b t phương trình (1.1) tr thành f ( x0 ) g (x0 ). (1.2) M t khác, vì f (x0 ) 0 và g (x0 ) 0, nên −g (x0 ). f ( x0 ) (1.3) T (1.2) và (1.3) suy ra −g (x0 ) f ( x0 ) g (x0 ). Hay x0 cũng tho − g ( x) f (x) g (x). • Trư ng h p f (x0 ) < 0. Khi đó, |f (x0 )| = −f (x0 ) và (1.1) tr thành −f (x0 ) g (x0 ). Do v y, ta có (1.3). M t khác, vì f (x0 ) < 0 và g (x0 ) 0, nên có (1.2). Do đó, ta cũng có −g (x0 ) f ( x0 ) g (x0 ). (Cũng có th nh n xét r ng, n u |f (x0 )| 0, thì −g (x0 ) g (x0 ), g (x0 f ( x0 ) g (x0 ).) • Trái l i, n u có x0 tho −g (x0 ) g (x0 ), ta cũng có |f (x0 )| < g (x0 ). f ( x0 ) V y ta có |f (x)| g (x) ⇔ −g (x) f (x) g (x). Ch ng minh tương t , ta có các k t qu như sau: f (x) < g (x), 1. |f (x)| < g (x) ⇔ f (x) < −g (x); f (x) g (x), 2. |f (x)| g ( x) ⇔ −g (x); f (x) f (x) > g (x) 3. |f (x)| > g (x) ⇔ f (x) > −g (x) Ta có th vi t các b t phương trình d ng trên dư i d ng sau:  f g, f < g, 3. |f | g ⇔ 1. |f | < g ⇔ −f g ; −f < g ;  f g, f > g, 2. |f | g⇔ 4. |f | > g ⇔ − f g; −f > g. 2
4. Cũng t các k t qu trên, ta có f (x) g (x) h(x) |g (x)| h(x) ⇔ f (x) −g (x) h(x) f (x) Ví d 1.1. Gi i b t phương trình |x − 6| < x2 − 5x + 9. (1.4) L i i. B t phuong trình (1.4) tương đương v i h gi  x − 6 < x2 − 5x + 9, x2 − 6x + 15 > 0, ⇔ ⇔ x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞). J −(x − 6) < x2 − 5x + 9 x2 − 4x + 3 > 0 Ví d 1.2. Gi i b t phương trình |x2 − 2x − 8| > 2x. (1.5) L i gi i. √ x2 − 2x − 8 > 2x, x2 − 4x − 8 > 0, x < 2 2, √ (1.5)⇔ ⇔ ⇔ J x2 − 2x − 8 < −2x x2 − 8 < 0 x > 2 + 2 3. Ví d 1.3. Gi i b t phương trình |x3 − 7x − 3| < x3 + x2 + 3. L i gi i. B t phương trình đã cho tương đương v i √   x3 − 7x − 3 < x3 + x2 + 3 x 2 + 7 x + 6 > 0 −1 + 57 ⇔ ⇔ −1 < x < 0 ho c x > . 4 −(x3 − 7x − 3) < x3 + x2 + 3 2x3 + x2 − 7x > 0 J ví d trên, vi c xét d u c a các bi u th c x3 − 7x − 3 và x3 + x2 + 3 là r t khó. Ví d 1.4. Gi i b t phương trình |x3 − x2 + 4| + x3 − x2 − 2x − 2 0. L i gi i. Đưa b t phương trình đã cho v d ng |x3 − x2 + 4| −x3 + x2 + 2x + 2, ta đư c −3 x −1 và x = 1. J 3 2 3 2 Chú ý r ng, vi c xét d u các bi u th c x − x + 4 và −x + x + 2x + 2 là không đơn gi n. Ví d 1.5. Gi i b t phương trình ||x| − 1| < 1 − x. L i gi i. Ta có  x < 2 − x    |x| − 1 < 1 − x |x| < 2 − x   ||x| − 1| < 1 − x ⇔ ⇔ ⇔ −x < 2 − x ⇔ x < 0. J −|x| + 1 < 1 − x x < |x|   x < 0.  |x| 1 Ví d 1.6. Gi i b t phương trình 1 − . 1 + |x| 2 L i gi i. Ta có   |x| |x| 1 1 1− 2 ⇔ |x| 1 |x| 1 1 + |x| ⇔  1 + |x| 2   1− ⇔ |x|  |x| 1 3 1 + |x| 2 1 + |x| 0  −1 + 1 + |x| 1 + |x| 2 2 ⇔ −1 J x 1. 3
5. Ví d 1.7. Tìm t p giá tr c a bi u th c x + a, bi t r ng |2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| 3. (1.6) L i gi i. Đ t y = |x + a|, b t phương trình (1.6) cho tr thành |y − 2| + 2|y − 2a + 2| 3. (1.7) B t phương trình (1.7) tương đương v i  y − 2 3 − 2|y − 2a + 2| y − 2 −3 + 2|y − 2a + 2| hay −1 + 2|y − 2a + 2| 5 − 2|y − 2a + 2|. y (1.8) T (1.8) suy ra y ∈ [−1; 5]. 1 • y = −1 khi và ch khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2 7 • y = 5 khi và ch khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2 V y t p giá tr c a x + a là đo n [−1; 5]. J Ví d 1.8. Gi i b t phương trình ||x2 − 3x − 7| + 2x − 1| < x2 − 8x − 5. (1.9) L i gi i.   |x2 − 3x − 7| + 2x − 1 < x2 − 8x − 5 |x2 − 3x − 7| < x2 − 10x − 4 (1.9) ⇔ ⇔ |x2 − 3x − 7| + 2x − 1 > −x2 + 8x + 5 |x2 − 3x − 7| > −x2 + 6x + 6   x2 − 3x − 7 < x2 − 10x − 4 7x > 3          2  −x + 3x + 7 < x2 − 10x − 4  2  2x − 13x − 11 > 0 ⇔ ⇔   x2 − 3x − 7 > −x2 + 6x + 6  2x2 − 9x − 13 > 0          − x2 + 3 x + 7 > − x2 + 6 x + 6  3x − 1 > 0    x > 3    7 √   13 − 257    x <   4 √   √ 13 + 257   x>  13 − 257  √4 ⇔ ⇔x< . 4 9 − 85   x<  4  √    x > 9 + 85     4     x< 1  3 J Ví d 1.9. Gi i b t phương trình |x2 − |x2 − 3x − 5| − 5| < x + 1. 4
6. √ √ 1+ 19 2+ 16 3 − x. (1.10) x − 1 > 3 − x − |x − 2|, L i gi i. Ta có |x − 1| + |x − 2| > 3 − x ⇔ |x − 1| > 3 − x − |x − 2| ⇔ −x + 1 > 3 − x − |x − 2|  x > 6,  x − 2 > 4,  x < −2, |x − 2| > 4, −x + 2 > 4, x > 6,   ⇔ ⇔ ⇔  x < − 4 ⇔ x < 0.  |x − 2| > 2x + 2 x − 2 > 2x + 2,  3  −x + 2 > 2x + 2 x
7.  f 1 ( x ) 0,     f ( x ) 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0. 3. . . . . . . . . .     f n ( x) 0   f1 (x) > 0,     f (x) > 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} > 0. 4. . . . . . . . . .     f n ( x) > 0   f1 (x) < 0,  f (x) < 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} < 0. 5.   ......... fn (x) < 0  f1 (x) 0,  f (x) 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0. 6.   ......... fn (x) 0  f1 (x) 0,  f (x) 0, 2 ⇔ max{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0. 7.   ......... fn (x) 0  f1 (x) > 0,  f (x) > 0, 2 ⇔ max{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} > 0. 8.   ......... fn (x) > 0 Ví d 1.13. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | + |g | < h. (1.11) L i gi i.   f < h − |g |, |g | < h − f, (1.11) ⇔ |f | < h − |g | ⇔ ⇔ − f < h − | g | |g | < h + f,   g < h − f, f + g < h,       −g < h − f, f − g < h,   ⇔ ⇔ −f + g < h, g < h + f,         −g < h + f −f − g < h.   J 6
8. Chú ý, trong b t phương trình (1.11) có ch a hai d u giá tr tuy t đ i và ta có th đưa (1.11) v d ng |f1 | f2 . Ta th y, ng m i d u giá tr tuy t đ i, thì d u bi u th c bên trong c a nó có hai trư ng h p là (+) và (−) (ta không xét bi u th c bên trong d u giá tr tuy n đ i luôn dương ho c luôn âm). Do đó, v i b t phương trình d ng (1.11), đ th b d u giá tr tuy t đ i, ta xét các kh năng sau: (+ +), (+ −), (− +) và (− −). đây, kí hi u (+ +) đ ch d u c a f và g đ u dương. Ví d 1.14. Tìm quan h gi a f, g, h, k bi t |f | + |g | + |h| < k  f + g < k − |h|,    f − g < k − |h|,  L i gi i. Ta có |f | + |g | + |h| < k ⇔ |f | + |g | < k − |h| ⇔ −f + g < k − |h|,     −f − g < k − |h|    h < k − f − g, f + g + h < k,         −h < k − f − g, f + g − h < k,            |h| < k − f − g, h < k − f + g, f − g + h < k,            |h| < k − f + g, −h < k − f + g, f − g − h < k,    ⇔ ⇔ ⇔ |h| < k + f − g, h < k + f − g, −f + g + h < k,             |h| < k + f + g −h < k + f − g, −f + g − h < k,            −f − g + h < k, h < k + f + g,           − h < k + f + g −f − g − h < k J B ng quy n p, ta ch ng minh đư c r ng, b t phương trình có d ng |f1 | + |f2 | + |f3 | + · · · + |fn | < f tương đương v i h g m 2n b t phương trình. Ví d 1.15. Gi i b t phương trình |3x + 2| + |2x − 3| < 11. (1.12) L i gi i. Đ ý b t phương trình có d ng |f | < g. x < 12 ,   (3x + 2) + (2x − 3) < 11,  5       (3x + 2) − (2x − 3) < 11,   12 x < 6,  (1.12) ⇔ ⇔ ⇔ −2 < x < . 5 −(3x + 2) + (2x − 3) < 11, x > −16,         −(3x + 2) − (2x − 3) < 11 x > −2   J Ví d 1.16. Gi i b t phương trình |x2 − 3x − 7| + |2x2 − x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15. (1.13) 7
9. L i gi i. Ta có (1.13)  (x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,    2 x − 3x − 7 + 2x2 − x − 9 − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,     2 x − 3x − 7 − (2x2 − x − 9) + 3x2 − 7x − 5 < x + 15,     2 x − 3x − 7 − (2x2 − x − 9) − 3x2 − 7x − 5 < x + 15, ⇔ −(x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,     −(x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,      −(x2 − 3x − 7) − (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,     −(x2 − 3x − 7) − (2x2 − x − 9) − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,   6x2 − 12x − 36 < 0,     2x − 26 < 0,     2 2x − 10x − 18 < 0,     2 4x + 10x + 18 > 0,    ⇔ 4x2 − 4x − 8 < 0,   2 4x − 6x − 22 < 0,     −2x2 − 8x − 12 < 0,      −4x − 4 < 0,     −6x2 − 4x − 4 < 0  T đó, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là √ √ √ 5 − 61 5 + 61 97 + 3 ho c − 1 < x < h. (1.14) B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f + g > h,  f − g > h, |f | + |g | > h ⇔    −f + g > h, −f − g > h. Ví d 1.18. Gi i phương trình |x − 1| + |2 − x| > 3 + x. L i gi i.  x − 1 + 2 − x > 3 + x,  x − 1 − (2 − x) > 3 + x, x < 0, |x − 1| + |2 − x| > 3 + x ⇔  ⇔   −(x − 1) + 2 − x > 3 + x, x > 6. −(x − 1) − (2 − x) > 3 + x J 8
10. Ví d 1.19. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | − |g | < h. (1.15) L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f − g < h,    f + g < h,     |f | − |g | < h ⇔  −f − g < h,      −f + g < h.  J Ví d 1.20. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | − |g | > h. (1.16) L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f − g > h,  f + g > h,  |f | − |g | > h ⇔  −f − g > h,   −f + g > h. J Ví d 1.21. Gi i b t phương trình |x2 − 3x − 17| − |x2 − 5x − 7| > 3. (1.17) L i gi i.   x2 − 3x − 17 + x2 − 5x − 7 > 3, 2x2 − 8x − 27 > 0, x2 − 3x − 17 − x2 + 5x + 7 > 3;   2x > 13;   (1.17) ⇔  ⇔ −x2 + 3x + 17 + x2 − 5x − 7 > 3, −2x > −7,     2 2 −2x2 + 8x + 21 > 0 −x + 3x + 17 − x + 5x + 7 > 3 √  4 − 70    x<   2 √   4 + 70  √  x>  4 − 58 7  2  13  2 x> 7  2  x<  2 √ √  4 − 58 4 + 58 
11.  3(x − p) + 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12 0,    3(x − p) − 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12  0, L i gi i. (1.18) ⇔ −3(x − p) + 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12 0,     −3(x − p) − 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12 0    12x − 12p + 12 0, x p − 1,  x p − 2,        x −9p − 6,    2x + 18p + 12 0,  ⇔ ⇔ ⇔ x −9p − 6, 6x − 6p + 12 0, x p − 2,     6p + 3 x        −4x + 24p + 12 0 6p + 3 x     p −1, p > −1, ⇔ ho c 6p + 3 x p − 2 x ∈ ∅,   p −1, 6p + 3 x p − 2, ⇔ ⇔ p −1 ⇒ p − 2 < −9p − 6 Ta có p − 9 6p + 3 −9p − 6 15 K t lu n • N up −1, thì b t phương trình (1.18) có nghi m là 6p + 3 p − 2; x • N u p > −1 b t phương trình (1.18) vô nghi m. J Ví d 1.23. Gi i và bi n lu n b t phương trình theo tham s |2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p. (1.19) L i gi i. B t phương trình (1.19) tương đương v i h    (2x + 21p) − 2(2x − 21p) < x − 21p  x > 28p          (2x + 21p) + 2(2x − 21p) < x − 21p  x 6p          −(2x + 21p) + 2(2x − 21p) < x − 21p  x < 42p   • N u p < 0, thì 42p < 28p < 6p < 0; • N u p = 0, thì 0 = 6p = 28p = 42p; • N u p > 0, thì 0 < 6p < 28p < 42p. K t lu n • N u p < 0, thì x ∈ (−∞; 42p) ∪ (6p; +∞); • N u p = 0, x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞); • N u p > 0, thì x ∈ (−∞; 0) ∪ (28p; +∞). J 10
12. Ví d 1.24. Tìm t t c các giá tr th c c a tham s a sao cho b t phương trình x2 − |x − a| − |x − 1| + 3 0 (1.20) đúng v i m i x ∈ R. L i gi i. B t phương trình (1.20) có d ng |f | g.   x2 − (x − a) − (x − 1) + 3 x2 − 2x + a + 4 0, 0,       2 2 x − (x − a) + (x − 1) + 3 0, x + a + 2 0, (1.20) ⇔ ⇔ x2 + (x − a) − (x − 1) + 3 x2 − a + 4 0, 0,       2 2 x + (x − a) + (x − 1) + 3 x + 2x − a + 2 0 0,   B t phương trình (1.20) đúng v i m i x ∈ R khi và ch khi m i b t phương trình c a h trên  12 − (a + 4) 0,    −(a + 2) 0,  đúng v i m i x ∈ R. Đi u này x y ra khi và ch khi ⇔ −2 a 1. J −(−a + 4) 0,    2 1 − (−a + 2) 0  Ví d 1.25. Tìm m đ b t phương trình −2x2 + |x − m| + |x2 − mx + 1| < 0, ∀x ∈ R. (1.21)   −2x2 + x − m + x2 − mx + 1 < 0, x2 + (m − 1)x + m − 1 > 0,       −2x2 + x − m − (x2 − mx + 1) < 0, 2 3x − (m + 1)x + m + 1 > 0,  L i gi i. (1.21) ⇔ ⇔ −2x2 − (x − m) + x2 − mx + 1 < 0, x2 + (m + 1)x − m − 1 > 0,        2 2 2 −2x − (x − m) − (x − mx + 1) < 0 3x − (m − 1)x − m + 1 > 0.   B t phương trình (1.21) đúng v i m i x thu c R khi và ch khi m i b t phương trình c a h trên đúng v i m i x thu c R. Đi u này x y ra khi và ch khi   (m − 1)2 − 4(m − 1) < 0, 1 < m < 5,       (m + 1)2 − 12(m + 1) < 0, −1 < m < 11,   ⇔ (m + 1)2 + 4(m + 1) < 0, −5 < m < −1,         2 (m − 1) + 12(m − 1) < 0 −11 < m < 1.   J H b t phương trình trên vô nghi m. V y không có giá tr c a m tho yêu c u đ bài. Ví d 1.26. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + 2x − 1 + |x − a| (1.22) l n hơn 2. 11
13. L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2, ∀x ∈ R. Ta có x2 + 2x − 1 + x − a > 2, x2 + 3x − 3 > a, x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2 ⇔ ⇔ x2 + 2 x − 1 − x + a > 2 −x2 − x + 3 < a. Do đó, ta c n tìm a tho  21  2 min(x + 3x − 3) > a,  a . 4 R J Ví d 1.27. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + |x − a| + |x − 1| (1.23) l n hơn 2. L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2, ∀x ∈ R. Ta có 2 a < x2 + 2x − 3,  x + (x + a) + (x − 1) > 2,  x2 − (x + a) + (x − 1) > 2,  a > −x2 + 3, y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2 ⇔  2 ⇔    a < x2 − 1,  x + (x + a) − (x − 1) > 2, x2 − (x + a) − (x − 1) > 2 a < −x2 + 2x + 1 Yêu c u bài toán tho mãn khi và ch khi  a < max min(x2 + 2x − 3); min(x2 − 1) , a < max{−4; −1}, a < −1, ⇔ ⇔ R R  a > min{3; 2} a > 2. 2 2 a > min max(−x + 3); max(−x + 2x + 1) R R J Ví d 1.28. Tìm a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = ax + |x2 − 4x + 3| l n hơn 1. L i gi i. Ta c n tìm a sao cho ax + |x2 − 4x + 3| > 1, ∀x ∈ R hay |x2 − 4x + 3| > 1 − ax, ∀x ∈ R. Đi u này cũng tương đương v i vi c tìm a sao cho đ th c a hàm s |x2 − 4x + 3| luôn luôn √ phía trên c a đư ng th ng y = 1 − ax. T đó ta có đáp s 1 < a < 4 + 2 2. J Ví d 1.29. V i giá tr nào c a m thì giá tr l n nh t c a hàm s f (x) = 4x − x2 + |x − m| nh hơn 4? L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm m đ f (x) = 4x − x2 + |x − m| < 4, ∀x ∈ R. B t phương trình trên có d ng |f | < g , ta tìm m đ m > 9   x2 − 5x + 4 + m > 0, ∀x ∈ R 4 ⇔ x2 − 5x + 4 − m > 0, ∀x ∈ R m < 7 4 J H trên vô nghi m. V y không t n t i m tho yêu c u đ bài. 12
14. 1.1. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + 2x − 1 + |x − a| l n hơn 2. 21 13 Đáp s . a < − ho c a > . 4 4 1.2. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = 3|x − a| + |x2 + x − 2| nh hơn 2. Hư ng d n. Ta ch c n gi i bài toán tìm a sao cho b t phương trình 3|x − a| + |x2 + x − 2| < 2 có ít nh t m t nghi m. 8 5 Đáp s − < a < −1 hay 0 < a < . 3 3 1.3. Tìm m sao cho giá tr l n nh t c a hàm s y = |x2 − 4x + 3| + mx nh hơn 2. Đáp s . m > 5. 1.4. Tìm m sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = |x2 − 5x + 4| + mx l n hơn 1. √ Đáp s . 1 < m < 5 + 2 3. 1.5. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 − 2mx + 2|x − m| + 2 > 0. √ √ Đáp s . − 2 < m < 2. 1.6. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 + (m + 1)2 + 2|x − m + 1| 3. √ 2 Đáp s . −1 m . 2 1.7. Tìm tham s m đ f (x) = (x − 2)2 + 2|x − m| 3 v i m i x ∈ R. Đáp s . m 0 ho c m 4. 2 Gi i b t phương trình ch a d u giá tr tuy t đ i b ng cách đưa v phương pháp kho ng Xét b t phương trình d ng loga f (x) > loga g (x). Ta có,  a > 0,     f (x) > 0, loga f (x) > loga g (x) ⇔ g (x) > 0,     (a − 1)[f (x) − g (x)] > 0.  13
15. Như v y, v i các đi u ki n a > 0, f (x) > 0, g (x) > 0, thì d u c a hi u loga f (x) − loga g (x) là d u c a tích (a − 1)[f (x) − g (x)]. Đ ch d u c a loga f (x) − loga g (x) là d u c a tích (a − 1)[f (x) − g (x)], tôi kí hi u loga f (x) − loga g (x) ↔ (a − 1)[f (x) − g (x)]. Ta có các k t qu sau: 1. u − v ↔ u2 − v 2 , 6. au − 1 ↔ u(a − 1), u, v 0; (a > 0); 7. au − b ↔ (a − 1)(u − loga b), (a > 0); 2. |u| − |v | ↔ u2 − v 2 ; 8. loga u − loga v ↔ (a − 1)(u − v ), √ √ v ↔ u2 − v 2 , u− (u, v 0); 3. (a, u, v > 0); √ v ↔ u2 − v 2 , 4. |u| − (v 0); 9. loga u ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0); 5. au − av ↔ (a − 1)(u − v ), 10. loga u − v ↔ (a − 1)(u − av ), (a > 0); (a, u > 0). Ví d 2.1. Gi i b t phương trình √ (|x − 2| − 4 − x2 ) |x + 4| − x2 − x − 2 > 0. (2.1) (|1 − x| − 4) (|3 + x| − |x − 5|) L i gi i. B t phương trình (2.1) tương đương v i √ 2 |x − 2|2 − (4 + x2 )2 |x + 4|2 − x2 − x − 2 >0 |1 − x|2 − 42 |3 + x|2 − |x − 5|2   ((x − 2)2 − (4 + x2 )2 ) ((x + 4)2 − (x2 − x − 2)) >0  ((1 − x)2 − 42 ) ((3 + x)2 − (x − 5)2 ) ⇔ 2 x − x − 2 0   9(−x2 + x − 6)(x2 + x + 2)(x + 2) >0  16(−x − 3)(5 − x)(x − 1) ⇔ x −1 ho c x 2  −3 < x < −2 ⇔ 2 x < 5. J Ví d 2.2. Gi i b t phương trình √ x2 − 3x − 4 − |2x − 1| √ 1. (2.2) x + 7 − |2x − 1| 2  (x − 3x − 4) − (x + 7) 0 √ √    x + 7 − (2x − 1)2 2 − 3x − 4 − x x+7  √ L i gi i. (2.2) ⇔ 0 ⇔ x2 − 3x − 4 0 x + 7 − |2x − 1|    x + 7 0  √ −7 x 2 − 15 √ ⇔ x 2 + 15 J 14
16. Ví d 2.3. Gi i b t phương trình √ −x2 + 7x − 6 0. (2.3) |x2 − 6x + 5| − |x2 − 2x − 3| L i gi i. Ta có √ −x2 + 7x − 6 (2.3) ⇔ 0 (x2 − 6x + 5)2 − (x2 − 2x − 3)2 √ −x2 + 7x − 6 ⇔ 0 (2x2 − 8x + 2)(8 − 4x)  −x2 + 7x − 6 = 0   2  (2x − 8x + 2)(8 − 4x) = 0 ⇔   2  −x + 7 x − 6 > 0  2x2 − 8x + 2)(8 − 4x) < 0 √ 2+ 3
17. Ví d 2.5. Gi i b t phương trình √ x2 − 5 − 3 1. (2.7) |x + 4| − 7 |x| √5,    x2 − 5 0,   ⇔ x = 3, L i gi i. Đi u ki n đ (2.7) có nghĩa là |x + 4| − 7 = 0   x = −11.  √ √ ( x + 5 + 4)2 − |x + 4|2 x2 − 5 + 4 − | x + 4 | Ta có (2.7) ⇔ 0⇔ 0 |x + 4|2 − 49 |x + 4| − 7 √ x2 − 5 + 8 x2 − 5 + 16 − x2 − 8x − 16 ⇔ 0. (x − 3)(x + 11) T đó √ 8 x2 − 5 − (8x + 5) 0 (2.8) (x − 3)(x + 11) √ √ • N u x − 5 và x = −11, thì 8x + 5 < 0, suy ra 8 x2 − 5 − (8x + 5) > 0. Do đó, (2.8) x y √ ra khi và ch khi (x − 3)(x + 11) > 0 hay x < −11 ho c x > 3. Do đang xét v i x − 5 và x = −11, nên ta có x < −11. √ √ 5 và x = 3, 8 + 5 > 0. Nhân (2.8) v i 8 x2 − 5 + (8x + 5), ta đư c •Nux x x < −11 √ x < −11 −80x − 345 5, ta đư c √ 0. D n t i  69 Do đi u ki n x (x − 3)(x + 11) − 5 x < 3. x < 3. 16 √ T hai trư ng h p trên, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là x ∈ (−∞; −11) ∪ [ 5; 3). J Ví d 2.6. Gi i b t phương trình log−4x2 +12x−8 |4x − 5| > 0. L i i. B t phương trình đã cho tương đương v i gi  1 < x < 2, −4x2 + 12x − 8 > 0,     5   ⇔ x= , |4x − 5| > 0, 4     (−4x2 + 12x − 9)(|4x − 5| − 1) > 0 (−4x2 + 12x − 9)(|4x − 5|2 − 1) > 0    1 < x < 2,  5  1 < x < 4,  5  ⇔ x= , ⇔ 5 3 4 0,   x = 2,   2 L i gi i. Đi u ki n xác đ nh c a b t phương trình là x = 1, ⇔ x > 5 .  4x − 5  4 >0   |x − 2| 16
18. 4x − 5 4x − 5 1 ⇔ logx2 logx2 |x| Khi đó, logx2 |x − 2| |x − 2| 2 4x − 5 5 − | x| 0 Vì x > , nên b t phương trình tương đương v i |x − 2| 4 ⇔ (4x − 5)2 ) − (|x(x − 2|)2 0 ⇔ (x2 + 2x − 5)(x2 − 6x + 5) 0 √ − 6 − 1 x 1, ⇔√ 6 − 1 x 5. √ K t h p v i đi u ki n, t p nghi m c a b t phương trình đã cho là S = [ 6 − 1; 2) ∪ (2; 5]. J 2 −3x+1| Ví d 2.8. Gi i b t phương trình |x2 − 1|log2 |x > 1. L i gi i. Nh n xét x = ±1 không là nghi m c a b t phương trình.  |x2 − 1| > 0, 2 Ta có |x2 − 1|log2 |x −3x+1| > 1 ⇔ (|x2 − 1| − 1). log |x2 − 3x + 1| > 0 2  |x2 − 1| > 0, x2 − 1 = 0,       ⇔ ⇔ x2 − 3x + 1 = 0, |x2 − 3x + 1| > 0,     2 (|x − 1| − 1).(|x2 − 3x + 1| − 1) > 0 2 (|x − 1|2 − 1).(|x2 − 3x + 1|2 − 1) > 0 √ √   x = ±1; x = 3 ± 5 , x = ±1; x = 3 ± 5 ,   ⇔ ⇔ 2 2 2 (|x − 1|2 − 1).(|x2 − 3x + 1|2 − 1) > 0 2 2 x (x − 2)(x2 − 3x + 2)(x2 − 3x) > 0. Gi i h trên, ta đư c nghi m c a b t phương trình đã cho là √ √ √ √ 3− 5 3− 5 S = (−∞; − 2) ∪ 0; ∪ ; 1 ∪ ( 2; 2) ∪ (3; +∞). 2 2 J Ví d 2.9. (Đ i h c Qu c gia H Chí Minh, 1998) Gi i b t phương trình 1 1 √ > . (2.9) log1/3 (x + 1) 2 − 3x + 1 log1/3 2x √ log3 (x + 1) − log3 2x2 − 3x + 1 1 1 √ √ L i gi i. (2.9) ⇔ ⇔ < 0, x + 1 > 0,  0 < x < 1,       3 2  ⇔ 2x − 3x + 1 > 0, 2 ⇔ 2x − 3x + 1 > 0,  ⇔ 1
19. 1 2 Khi đó, (2.10) ⇔ log|x+1/3| |x| log|x+1/3| |2x + 3| log|x+1/3| |2x + 3| − log|x+1/3| |x|2 ⇔ 0 log|x+1/3| |x|. log|x+1/3| |2x + 3| (|x + 1/3| − 1)(|2x + 3| − x2 ) ⇔ 0. (|x + 1/3| − 1)2 .(|x| − 1)(|2x + 3| − 1) 4 2 (−x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3) x− x+ 3 3 ⇔ 0. (x + 1)(x − 1)(2x + 4)(2x + 2) Gi i h trên ta đư c t p nghi m c a b t phương trình (2.10) là 41 1 2 S = (−∞; −2) ∪ − ; − ∪ − ; −1 ∪ ; 1 ∪ [3; +∞). 33 3 3 J Ví d 2.11. Gi i b t phương trình x2 − 4|x| log5 log1/2 0. (2.11) |x| − 7 x2 − 4|x|  2 2  x − 4|x|  2x − 9|x| + 7 1 log1/2 1, , 0,    |x| − 7 |x| − 7 |x| − 7 2    L i gi i. (2.11) ⇔ ⇔ ⇔ x2 − 4|x|  x2 − 4|x|  x2 − 5|x| + 7 log >0 0, x = −1.   2x + 3 > 0,      log5 (x + 2) = 0  Khi đó, (2.12) tương đương v i 2x + 3 logx+2 (2 − x). log5 (x + 2) − log5 5 0 (2.13) log5 (x + 2) hay 2x + 3 log5 (2 − x) − log5 5 0 (2.14) log5 (x + 2) 18
20. • N u log5 (2 − x) > 0 ⇔ x < 1, (2.14) tương đương v i 2x + 3 log2 (2 − x) − log2 5 5 5 0. log5 (x + 2) Hay 2x + 3 2x + 3 log5 (2 − x) + log5 log5 (2 − x) − log5 5 5 0. log5 (x + 2) Do đó, ta có 5(2 − x) 2x + 3 log5 (2 − x) . log5 5 2x + 3 0. log5 (x + 2) S d ng tính ch t loga u ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0), b t phương trình trên tương đương vi 5(2 − x) −1 2x + 3 2x + 3 (2 − x) −1 . 0. 5 x+1 Hay (−2x2 + x + 1)(−7x + 7) 0. x+1  3  − 2 < x < −1 3 Gi i b t phương trình trên cùng v i đi u ki n − < x < −1, ta đư c  1 2 − < x < 1. 2 • N u log5 (2 − x) < 0 ⇔ x > 1. Khi đó, 2x + 3 log5 (2 − x) − log5 5

240 tài liệu

1051 lượt tải