Bài tập có lời giải môn giải tích hàm 1 năm 2024

Đặt vấn đề: Can thiệp sang thương tắc hoàn toàn mạn tính (THTMT) là thử thách lớn trong can thiệp động mạch vành (ĐMV) qua da với tỉ lệ thất bại thủ thuật cao hơn can thiệp các sang thương khác. Các nghiên cứu về kết quả can thiệp qua da sang thương THTMT tại Việt Nam không nhiều nên chúng tôi tiến hành nghiên cứu này nhằm có thêm dữ liệu về kết quả can thiệp sang thương THTMT ĐMV. Mục tiêu: Xác định tỉ lệ thành công, các yếu tố liên quan thất bại của thủ thuật can thiệp qua da sang thương THTMT ĐMV. Phương pháp: Nghiên cứu quan sát trên 194 bệnh nhân được can thiệp ĐMV qua da sang thương THTMT tại Bệnh viện Đại học Y Dược TP Hồ Chí Minh, từ 04/2017 đến 06/2019. Kết quả: Bệnh nhân có tuổi trung bình là 67,3±11,3; với 73,7% nam cao so với nữ; 82,5% có tiền sử ghi nhận tăng huyết áp, 26,3% nhồi máu cơ tim cũ, can thiệp ĐMV qua da trước đây (26,3%), đái tháo đường (29,9%), bệnh thận mạn (9,8%) và 77,4% bệnh nhân nhập viện vì hội chứng vành cấp. Điểm SYNTAX I trung bình là 21,7±7,2. Tỉ ...

Phần thứ nhất – Giáo trình

Chương 1 – Số thực

1.1 – Mở đầu

1.2 – Số thực

1.3 – Đường thẳng số mở rộng R

Chương 2 – Số phức

2.1 – Mở đầu

2.2 – Thể số phức

2.3 – Biểu diễn hình học các số phức

2.4 – Lũy thừa và căn số

2.5 – Ứng dụng số phức vào lượng giác

Chương 3 – Dãy số

.3.1 – Dãy hội tụ, phân kỳ

3.2 – Tính đơn điệu

3.3 – Dãy con

3.4 – Một số loại dãy thông thường

Xem thêm: Đề thi giải tích 1 HUS

Chương 4 – Hàm một biến lấy giá trị thực

4.1 – Đại số các hàm

…

Chương 5 – Đạo hàm

…

Chương 6 – Tích phân

…

Phần thứ hai – Chỉ dẫn và trả lời của các bài tập

…

TẢI TÀI LIỆU XUỐNG

Lượt xem: 1.425

Định nghĩa 1.1 Dãy số(xn)được gọi làdãy tăng (dãy giảm)nếu như với mọin∈N luôn có bất đẳng thứcxn< xn+1(xn< xn+1).

Ví dụ 1.1 Dãyxn= (1 +n 1 )n,(n∈N)là dãy tăng.

Chứng minhìxn= (1 + 1 n)n> 0 nên ta chỉ cần chứng minhxnx+1n > 1 .Ta có xn+ xn =

(1 +n+1 1 )n+ (1 + 1 n)n =

(nn+2+1)n+ (n+1n )n =

(n+ nn+1+ n

)n+ .n+ 1n =

( n 2 + 2n n 2 + 2n+ 1

)n+ .n+ 1n = ( 1 −(n+ 1) 12

)n+ .n+ 1n >

(

1 −n+ 1 1

)

.n+ 1n =n+ 1n .n+ 1n = 1 (Bất đẳng thức Bernuli.) Chứng minh rằng, nếu sốh >− 1 vàh 6 = 0thì luôn có bất đẳng thức(1 +h)n>1 +nhvới mọi số tự nhiênn> 2. Chú ý rằng dấu đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Như vậyxn< xn+1

Ví dụ 1.1 Dãy sốxn= (1 +n 1 )n+1,(n∈N)là dãy giảm.

Chứng minhìxn= (1 + 1 n)n+1> 0 nên ta chỉ cần chứng minhxxnn+1 > 1 .Ta có xn xn+1=

(1 +n 1 )n+ (1 +n+1 1 )n+2=

(n+1n )n+ (nn+2+1)n+2=

(n+ nn+ n+

)n+ .n+ 1n =

(n 2 + 2n+ 1 n 2 + 2n

)n+ .n+ 1n = ( 1 +n(n 1 + 2)

)n+ .n+ 1n >

(

1 +n 1

)

.n+ 1n =n+ 1n .n+ 1n = 1. Chú ý rằng dấu bất đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Như vậyxn> xn+1 2. Tính bị chặn.

Định nghĩa 1.1 Dãy số(xn)⊂ Rđược gọi là bị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số ∃M∈R(m∈R),sao cho với mọi∀n∈Nluôn cóxn 6 M(xn>m).

SốM(m)được gọi là cận trên (cận dưới) của dãy(xn).

Định nghĩa 1.1 Dãy số(xn)⊂Rđược gọi là bị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại số∃M, m∈Rsao cho với mọi∀n∈Nluôn cóm 6 xn 6 M.

Định nghĩa 1.1 Dãy số(xn)⊂Rđược gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi số∀M∈R(m∈R),tồn tại số hạng của dãy sốxn 0 sao choxn 0 > M (xn 0 < m).

Ví dụ 1.1 Dãy sốxn= (1 +n 1 )n+1(n∈N)bị chặn dưới bởi sốm= 0,và bị chặn trên bởi sốM= (1 + 1) 2 = 4.

Chứng minhì dãy này là dãy giảm nên với mọi∀n∈Nluôn cóxn 6 x 1 = 4. Với mọi∀n∈Nta cóxn> 0 

Ví dụ 1.1 Dãy sốxn= (1 + 1 n)n,(n∈N)bị chặn dưới bởi sốm= 0và bị chặn trên bởi sốM= 4.

Chứng minhới mọi∀n∈Nluôn cóxn> 0 ,vàxn= (1 +n 1 )n<(1 + 1 n)n+1 64 

1 Giới hạn của dãy số

1.2 Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2 Sốa∈Rđược gọi làgiới hạn của dãy (xn)⊂R,nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại sốN=N(ε)sao cho với mọi∀n > Nluôn có bất đẳng thức|xn−a|< ε.

1.2 Dãy con

Định nghĩa 1.2 Cho dãy số(xn)⊂Rvàn 1 < n 2 <... < nk<.. .một dãy số tự nhiên tăng bất kỳ, khi đó dãy sốxn 1 , xn 2 ,... , xnk,.. .được gọi làdãy con của dãy(xn).Dãy con được kí hiệu là(xnk).

Định nghĩa 1.2 Sốc∈Rđược gọi làgiới hạn riêng của dãy(xn),nếu như tồn tại dãy con(xnk)của dãy(xn),hội tụ đến sốc.

1.2 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ

tụ

Nếu như dãy(xn)hội tụ đến sốa,thì với mọi dãy con(xnk)của dãy(xn),giới hạn của nó làa.

nlim→∞xn=a=⇒klim→∞xnk=a

Định lý 1.2 Nếu dãy(xn)hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy(xn)đều bằng nhau và bằng giới hạn của dãy số(xn).

Chú ý.Để chứng minh dãy(xn)phân kỳ ta làm như sau: Cách 1ỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau. Cách 2ỉ ra 1 dãy con phân kỳ.

Ví dụ 1.2 Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn riêng khác nhau.

Đối với dãy(xn) = (−1)n (n∈N),dãy con của nó(x 2 k) = (−1) 2 k = 1và(x 2 k− 1 ) = (−1) 2 k− 1 =− 1 có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1. Chúng không bằng nhau.

Ví dụ 1.2 Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng.

Dãy số 1 , 2 ,... , n,.. .không có giới hạn riêng.

1 Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass

Định lý 1.3 Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm)(xn)⊂Rbị chặn trên (dưới):x 16 x 26 ... 6 xn 6... 6 y(x 1 >x 2 >.. .>xn>.. .>z),thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu

như dãy số đơn điệu tăng (giảm)(xn)⊂Rkhông bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞).

Ví dụ 1.3 Chứng minh rằng dãy số(xn) = (1 + 1 n)n(n∈N)có giới hạn hữu hạn. Giới hạn này được kí hiệu làe.

Chứng minhư ta đã biết dãy(xn)trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theo định lý Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn

nlim→∞(1 + 1 n)n=e. Chú ý.Sốelà số siêu việt (không phải là số đại số). Nó không là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên có bậcn> 1 .Sốe≈ 2 , 718281828459045 ,số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle.

1 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số

1.4 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞

( n 2 n+ 1−

n 3 n 2 + 1

).

Giải. I= limn→∞n

2 (n 2 + 1)−n 3 (n+ 1) (n+ 1)(n 2 + 1) = limn→∞

n 2 −n 3 (n+ 1)(n 2 + 1)= limn→∞

n 1 − 1 (1 +n 1 )(1 +n 12 )=− 1.

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞ (n+ 1)

4 −(n−1) 4 (n 2 + 1) 2 −(n 2 −1) 2. Giải. I= limn→∞(n+ 1−n+ 1)(n+ 1 +n−1)((n+ 1)

2 + (n−1) 2 ) (n 2 + 1−n 2 + 1)(n 2 + 1 +n 2 −1) = limn→∞

2 n(n 2 + 1) n 2 =∞.

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞n(√n 2 − 11 −n).

Giải. I= limn→∞

√n 2 −1 +n n(n 2 − 1 −n 2 )= limn→∞

√

1 −n 12 + 1 − 1 =− 2.

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞

√n 2 + 1−n √n+ 1−√n.

Bài 1.4 I= limn→∞√nn

Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có n= (1 + (√nn−1))n= 1 +n(√nn−1) +n(n 2 + 1)(√nn−1) 2 +.. .+ (√nn−1)n.

Với mọi∀n > 1 ta cón >n(n 2 +1)(√nn−1) 2 .Do đó với mọi∀n > 1 , 0 <√nn− 1 <

√ 2

n+ 1. Mặt khácnlim→∞

√ 2

n+ 1= 0nênnlim→∞

√nn−1 = 0hayI= 1.

Bài 1.4 I= limn→∞√na, a > 1.

Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có a= (1 + (√na−1))n= 1 +n(√na−1) +n(n 2 + 1)(√na−1) 2 +.. .+ (√na−1)n. Vớia > 1 ta cóa > n(√na−1).Do đó 0 < √na− 1 < anặt khácnlim→∞an = 0nên

nlim→∞√na−1 = 0hayI= 1.

Bài 1.4 I= limn→∞qn, |q|< 1.

Giải. Nếuq= 0thìI= 0. Nếuq 6 = 0thì ta có| 1 q|> 1 ,do đó| 1 q|= 1 +h, h > 0 .Từ đó theo bất đẳng thức Bernouli ta có 1 |q|n = (1 +h)

n>1 +nh > nh⇒ 0 <|q|n< 1 nh.

Mặt khácnlim→∞nh 1 = 0nênI= 0.

Bài 1.4 I= limn→∞ann, a > 1.

Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có an= (1 + (a−1))n= 1 +n(a−1) +n(n 2 + 1)(a−1) 2 +.. .+ (a−1)n.

Vớia > 1 ta cóan > n(n 2 +1)(a−1) 2. Do đó 0 < ann < (n+ 1)( 2 a−1) 2 .Mặt khác

nlim→∞(n+ 1)( 2 a−1) 2 = 0nênI= 0.

Bài 1.4 I= limn→+∞(−1)

n nα , α > 0 Giải. Vớiα > 0 ta có − 1 nα 6

(−1)n nα 6

1

nα Mặt khácnlim→∞−nα 1 = limn→∞n 1 α = 0nênI= 0.

1.4 Sử dụng giới hạn cơ bảnn→lim+∞qn= 0, |q|< 1 để tìm giới hạn của dãy

của dãy

Bài 1.4 Tìm giới hạn của dãyan=1 + 7

n+ 3 − 7 n Giải. Chia tử số và mẫu số cho 7 nta có

an= 71 n+ 7 2 73 n− 1

Do đónlim→∞an= limn→∞ 71 n+ 7 2 73 n− 1 =− 49 vìnlim→∞

1

7 n= 0.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞ 2

n+2+ 3n+ 2 n+ 3n Giải. Chia tử số và mẫu số cho 3 nta có

an=

1. 2 nn+ 3 3 23 nn+ 1

Do đónlim→∞an= limn→∞

1. 2 nn+ 3 3 23 nn+ 1 = 27vìnlim→∞

2 n 3 n= 0.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞ 5. 2

n− 3. 5 n+ 100. 2 n+ 2. 5 n Giải. Chia tử số và mẫu số cho 5 nta có

an=

1. 2 nn− 3. 5 1005 n. 2 n+ 2

Do đónlim→∞an= limn→∞

1. 2 nn− 3. 5 1005 n. 2 n+ 2=− 15

2 vìnlim→∞

2 n 5 n= 0.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan=5 + 1 1 + 521 + 1+.. .+ 5 n 1 + 1hội tụ.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì an+1=an+ 5 n+1 1 + 1

nênan+1> an. Dãyanbị chặn trên. Thật vậy an=5 + 1 1 + 521 + 1+.. .+ 5 n 1 + 1< 15 + 512 +.. .+ 51 n=

15 − 5 n 1 + 1 − 15 =

14(

1 − 51 n

)< 14.

Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan=3 + 1 1 + 321 + 2+.. .+ 3 n 1 +nhội tụ.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì an+1=an+ 3 n+1+ 1 n+ 1

nênan+1> an. Dãyanbị chặn trên. Thật vậy an=3 + 1 1 + 321 + 2+.. .+ 3 n 1 +n< 13 + 312 +.. .+ 31 n=

13 − 3 n 1 + 1 − 13 =

12(

1 − 31 n

)< 12.

Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan= 2

n n! hội tụ và tìm giới hạn của nó. Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì an+ an =

( 2 nn+1)!+ 2 nn! =

2

n+ 1< 1 ,∀n > 1.

nênan+1< an. Dãyanbị chặn dưới bởi 0 vìan> 0 .Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ. Giả sửnlim→∞an =a cóan+1= n+ 1 2 anấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→∞ta được

nlim→∞an+1= limn→∞n+ 1 2 .nlim→∞an.

Do đóa= 0⇒a= 0ậynlim→∞ 2

n n!= 0.

Bài 1.4 Cho dãya 1 =√ 2 , an+1=√ 2 anứng minh rằng dãy(an)hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng vìa 1 < a 2 < a 3 <.... Ta sẽ chứng minh dãyanbị chặn trên bởi 2. Thật vậy,a 1 =√ 2 , a 2 =√ 2 a 1 <√ 2 .2 = 2. Giả sử đã chứng minh được rằngan 62 .Ta sẽ chứng minhan+1 62 .Thật vậy,an+1= √ 2 a n 6

√ 2 .2 = 2ậy theo nguyên lý qui nạp ta cóa n 62 ,∀n∈N Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Giả sửnlim→∞an=a cóan+1=√ 2 an⇒a 2 n+1= 2anấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khin→∞ta được

nlim→∞a 2 n+1= 2→∞an. Do đóa 2 = 2⇒a= 0∨a= 2ìan>√ 2 nêna= 2ậynlim→∞an= 2.

Bài 1.4 Cho dãyx 1 =√a, x 2 =√a+√a,... , xn=

√

a+

√

a+.. .+√a ︸ ︷︷ ︸ n dấu căn

, a > 0.

Chứng minh rằng dãy(xn)hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng vìx 1 < x 2 < x 3 <.... Ta sẽ chứng minh dãyxnbị chặn trên bởi√a+ 1. Thật vậy,x 1 =√a <√a+1, x 2 =

√

a+√a <

√

a+√a+ 1<

√

a+ 2√a+ 1 =√a+1. Giả sử đã chứng minh được rằngxn 6 √a+ 1 sẽ chứng minhan+1 6 √a+ 1ật vậy,an+1=√a+xn<

√

a+√a+ 1<

√

a+ 2√a+ 1 =√a+ 1ậy theo nguyên lý qui nạp ta cóxn 6 √a+ 1,∀n∈N Như vậy, dãyxnđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Giả sửnlim→∞xn=x cóxn+1=√a+xn⇒x 2 n+1=a+xnấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khin→∞ta được

nlim→∞x 2 n+1=a+ limn→∞xn.

Do đóx 2 =a+x⇒x= 1 −

√1 + 4a 2

∨x=1 +√1 + 4a 2 .Vìan> 0 nênx=

1 +√1 + 4a 2. Vậynlim→∞xn=1 +

√1 + 4a 2.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan=nnn! hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì an+ an =

(n(+1)n+1)!n+ nnn! =

nn (n+ 1)n< 1 ,

nênan+1< an. Dãyanbị chặn dưới bởi 0 vìan> 0 .Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ. Giả sửnlim→∞an=a cóan+1= n

n (n+ 1)n.anấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→∞ta được

nlim→∞an+1= limn→∞ n

n (n+ 1)n→∞an.

Do đóa=e− 1 .a⇒a= 0ậynlim→∞nnn! = 0.

1.4 Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số

e, biết rằng khi n→∞thìun→ 0.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞

(

1 +n+ 1 k

)n , k∈N

Giải. nlim→∞

(

1 +n+ 1 k

)n = limn→∞

(

1 +n+ 1 k

)(n+k).nn+k =e.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞

( n n+ 1

)n . Giải. nlim→∞

(

1 −n+ 1 1

)n = limn→∞

(

1 −n+ 1 1

)−(n+1).−(nn+1) =e− 1.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞

(

1 + 21 n

)n . Giải. nlim→∞

(

1 + 21 n

)n = limn→∞

(

1 + 21 n

) 2 n. 2 nn =e 12.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞

( 2 n+ 1 2 n

) 2 n .

nlim→∞

( 2 n+ 1 2 n

) 2 n = limn→∞

(

1 + 21 n

) 2 n =e.

1.4 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy

số để chứng minh dãy số phân kỳ

Định lý 1.4 Nếu dãy(xn)hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy(xn)đều bằng nhau và bằng giới hạn của dãy số(xn).

Chú ý.Để chứng minh dãy(xn)phân kỳ ta làm như sau: Cách 1ỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau. Cách 2ỉ ra 1 dãy con phân kỳ.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan= (−1)n 23 nn+ 3+ 1phân kỳ.

Giải. Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có

a 2 k= (−1) 2 k 23 .. 22 kk+ 3+ 1→ 23 , a 2 k+1= (−1) 2 k+1 23 ..(2(2kk+ 1) + 3+ 1) + 1→− 23 khin→∞.

Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.

Định nghĩa 2.2 (giới hạn của hàm số từ 1 phía)

SốA∈Rđược gọi là giới hạn của hàm sốf(x)khix→atừ bên phải (từ bên trái) nếu như

x→a,xlim∈X+ a f(x) =A( limx→a,x∈X− a f(x) =A)

Chúng được kí hiệu làx→lima+0f(x), f(a+ 0)vàx→lima− 0 f(x), f(a−0) Ví dụ.

f(x) =signx=



1 , x > 0 0 , x= 0 − 1 , x < 0

Dễ dàng thấy rằng f(0 + 0) = limx→0+0f(x) = 1

còn f(0−0) = limx→ 0 − 0 f(x) =− 1. Choa∈Rlà điểm giới hạn của tập hợpXa+={x∈X\x > a}và tập hợpXa−={x∈ X\x < a}.Khi đóacũng là điểm giới hạn của tập hợpX đó ta có định lý sau:

Định lý 2.2 (về mối quan hệ giữa giới hạn từ 2 phía và từ 1 phía của hàm số tại 1 điểm.) Đẳng thứcxlim→af(x) =Atương đương với 2 đẳng thức sau   

x→lima+0f(x) =A x→lima− 0 f(x) =A

2 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Cho hàm sốf(x)xác định trên tập hợpX⊂Rvà+∞(−∞,∞)là điểm giới hạn của tập hợpX.

Định nghĩa 2.3 SốA ∈Rđược gọi là giới hạn của hàm số f(x)khi x→+∞(x→ −∞, x→ ∞)nếu như với mọi∀ε > 0 tồn tại số∃N=N(ε)> 0 sao cho với mọi∀x∈X thỏa mãn bất đẳng thứcx > N(x <−N,|x|> N)luôn có bất đẳng thức|f(x)−A|< ε.

2 Giới hạn của hàm số từ một phía

Cho hàm sốf(x)xác định trên tập hợpX⊂Rvàa∈Rlà điểm giới hạn của tập hợpX này.

Định nghĩa 2.4 Số+∞(−∞,∞)được gọi là giới hạn của hàm sốf(x)khix→anếu như với mọi∀M > 0 tồn tại sốδ=δ(M)> 0 sao cho với mọi ∀x∈X\athỏa mãn bất đẳng thức|x−a|< δluôn có bất đẳng thứcf(x)> M(f(x)<−M,|f(x)|> M).

2 Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng

Cho hàm sốf(x)xác định trên tập hợpX⊂Rvà+∞(−∞,∞)là điểm giới hạn của tập hợpX.

Định nghĩa 2.5 Số+∞(−∞,∞)được gọi là giới hạn của hàm sốf(x)khix→+∞(x→ −∞, x→∞)nếu như với mọi∀M > 0 tồn tại số∃N=N(M)> 0 sao cho với mọi∀x∈X thỏa mãn bất đẳng thứcx > N(x <−N,|x|> N)luôn có bất đẳng thứcf(x)> M(f(x)< −M,|f(x)|> M).

2 Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Cho hàm sốα=α(x)xác định trên tập hợpX⊂Rvà sốa∈Rlà điểm giới hạn của tập hợpX.

Định nghĩa 2.6 Hàm sốα=α(x)được gọi là hàm vô cùng bé khix→a,nếu như giới hạn của nó bằng0 : limx→aα(x) = 0.