Students also viewed
Related documents
Preview textHÀM HAI BIẾN SỐ Show Bài tập. Tìm và biểu diễn tập xác định của các hàm số sau: a. 2 2 1 1 z x y b. 2 2 2 2 z x y 1 4 x y
x y z x y d. 2 2 2 4 ln 1 x y z x y a) 2 2 1 1 z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 1 0 x y x y x y x y b. 2 2 2 2 z x y 1 4 x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 4 0 4 1 4 0 1 0 1 4 0 4 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
x y z x y 2 2 2 2 1 1, 1, , 4 0 2 2 0; 0 4 0 0; 0 x y x y x y x y x y x y x y x y x y xy x y x y x xy y x xy y x y x y x y x y xy x y x y x y GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ Định nghĩa 1. Điểm 𝕀 𐀀 (𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 ) hội tụ đến 𝕀 𐀀 (𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 ) trong 𐀀 và ký hiệu là 𝕀 𐀀 → 𝕀 𐀀 nếu: lim 𐀀→∝ 𝕥 𐀀 \= 𝕥 𐀀 và lim 𐀀→∝ 𝕦 𐀀 \= 𝕦 𐀀 Định nghĩa 2. Hàm 𝕓 ( 𝕥,𝕦 ) có giới hạn khi (𝕥,𝕦) → (𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 ) nếu: ∀𝔀 > 0,∃𝗿 > 0:0 < < 𝗿 → | 𝕓 ( 𝕥,𝕦 ) − | < 𝔀 Trong đó = (𝕥 −𝕥 𐀀 ) 𐀀
𐀀 ) 𐀀 hoặc: ∀𝕀 𐀀 (𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 )→ 𝕀 𐀀 (𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 )→ lim 𐀀→ 𝕓(𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 )= Ký hiệu: 0 0 0 0 , , lim , lim , x y x y x x y y f x y f x y L Định nghĩa 3. Hàm 𝕓(𝕥,𝕦) liên tục tại điểm (𝕎,𝕏) ∈ 𝔷 nếu: lim , , x a y b f x y f a b Hàm số liên tục tại mọi điểm trong miền 𝔷 ∈ 𐀀 gọi là liên tục trên 𝔷. Một số giới hạn kép (có dạng vô định) không có giới hạn
số và mẫu số bằng nhau (hay tốc độ biến thiên về 0 hay ∞ của tử số và mẫu số như nhau) thì khả năng sẽ không tồn tại giới hạn.
( 𝕥 𐀀 𐀀 ,𝕦 𐀀 𐀀 ) ,(𝕥 𐀀 𐀀 ,𝕦 𐀀 𐀀 ) cùng dần tiến về (𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 ) nhưng ( 𝕥 𐀀 𐀀 ,𝕦 𐀀 𐀀 ) → 𐀀 ≠ (𝕥 𐀀 𐀀 ,𝕦 𐀀 𐀀 ) → 𐀀 . Bài tập 1. Tính giới hạn của hàm số 2 2 2 2 0 0 lim x y x y x y Cho x y, 0,0 theo phương của đường thẳng y kx thì ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 0 1 1 x k x k k f x kx x x k x k k Vậy khi x y, 0,0 theo những phương khác nhau thì hàm số đã cho tiến tới những giá trị khác nhau. Do đó không tồn tại giới hạn. Bài tập 2. Tính giới hạn của hàm số 0 0 sin lim 2 x y x x y ####### Cho x y, 0,0 theo phương của đường thẳng y kx thì ta có: , sin sin sin , 0 2 2 2 x f x kx x x kx k k ####### Vậy khi x y, 0,0 theo những phương khác nhau thì hàm số đã cho tiến tới những giá trị khác nhau. Do đó không tồn tại giới hạn. Bài tập 3. Tính giới hạn của hàm số 0 0 2 lim 3 x y x y x y Xem xét 2 dãy điểm 1 0, n M n và 1 , n N n : 1 0 2. 1 1 0, lim 0,0 :lim 0, lim 2 1 1 1 1 1 ,0 lim 0,0 :lim ,0 lim 1 3
n n n n n n n n n n n M M f n n n n N N f n n n 1 1 lim 0, lim , n n f f n n , như vậy không tồn tại giới hạn. Bài 4. Tính giới hạn của hàm số 2 lim 4 3 x y x y x y Xem xét 2 dãy điểm , n M n n và , n N n n : 2 2 1 1 1 , lim , : lim , lim lim 7 7 7 2 1 2 1 ,2 lim , : lim ,2 lim lim 10 10 10 n n n n n n n n n n n n n n n M n n M f n n n n n n N n n N f n n n lim , lim , n n f n n f n n , như vậy không tồn tại giới hạn. Tính giới hạn lặp Lần lượt tính giới hạn theo từng biến, trong đó khi tính theo biến này thì xem biến kia là hằng số và sử dụng các phương pháp tính giới hạn của hàm một biến số để tính: vô cùng lớn, vô cùng bé tương đương, l’Hospital, ... 0 0 0 0 0 0 lim , lim lim , lim lim , x x x x y y y y x x y y f x y f x y f x y Bài tập 1. Tính giới hạn của hàm số 2 0 1 3 1 1 lim 5 x y xy xy 2 2 2 0 0 1 0 1 1 2 0 1 0 1 0 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 lim lim lim lim lim 5 5 5 3 1 1 3 3 3 3 lim lim lim lim lim 10 5 3 1 1 5 3 1 1 5 3 1 1 x x y x y y x y x y x xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy y x x Bài tập 2. Tính giới hạn của hàm số 2 2 1 2 2 1 1 lim 4 1 xy x y x y x y x xy y 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 lim lim lim lim 4 1 4 1 4 2 2 1 2 1 lim lim 1 4 2 4 2 xy xy x x x y x y x x x x x x x y x y x y x y x x x xy y x xy y x x x x x x x x x 2 2 2 1 4 2 2 1 lim 2 4 2 1 0 lim 1 x x x x x x x x x u u e e u e Bài tập 3. Tính giới hạn của hàm số yx 2 1 1 2 1 lim ln x y x x y x xy y yx yx x 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 lim lim lim lim ln ln ln 1 x x y x y x x y x x y x x x xy y x xy y x x Ta có: ln ln ( 0) ' 1 ln ln 1 ' ln 1 x x y x y x x x y x x x y x y x x 2 x 1 1 1 2 1 . ln 1 ln 1 1 lim lim lim 2 1 1 ln 1 1 x x x L L x x x x x x x x x x x x x x x Tính giới hạn kép nhờ định lý giới hạn kẹp và bất đẳng thức giới hạn
( 𝕥,𝕦 ) ≤ 𝕔 ( 𝕥,𝕦 ) ,∀(𝕥,𝕦) ∈ (𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 ){(𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 )} thỏa mãn điều kiện: lim → a/c a/c→a/c a/c 𝕓(𝕥,𝕦)= 𝕎; lim → a/c a/c→a/c a/c 𝕔(𝕥,𝕦)= 𝕏 Thì 𝕎 ≤ 𝕏.
(𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 ){(𝕥 𐀀 ,𝕦 𐀀 )} thỏa mãn điều kiện: 0 0 0 0 0 0 lim , lim , ;lim , x x x x x x y y y y y y f x y h x y a g x y a Thì: 0 0 lim , x x y y g x y a Bài tập 1. Tính giới hạn của hàm số 2 2 lim x y x y x y e (có dạng ) Nhận thấy: 2 2 2 2 2 2 2 0 , 0, 0 0 , x y x y t x y x y t x y x y x y t x y e e e 2 2 2 lim lim lim 0 L L t t t x t t y t t t e e e 2 2 lim 0 x y x y x y e Bài tập 2. Tính giới hạn của hàm số 2 2 lim x y x y x xy y (có dạng ) Nhận thấy: 2 2 2 2 1 1 0, 0, 0 0 , 0, 0 x y x y x xy y xy x y x y x xy y xy x y 1 1 1 1 lim lim lim 0 x x x y y y x y x y 2 2 lim 0 x y x y x xy y Bài 3. Tính giới hạn của hàm số 3 2 2 lim 2 x y x y x y Với x y0, 0: 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y Ta có: 3 2 2 1 lim lim 2 2 x x y y x y x y x y Sự liên tục của hàm nhiều biến Định nghĩa: Hàm số 𝕓(𝕥,𝕦) được gọi là liên tục tại điểm (𝕎,𝕏) ∈ 𝔷 nếu: lim →a/c a/c→a/c 𝕓(𝕥,𝕦)= f(𝕎,𝕏) Hàm số liên tục tại mọi điểm trong miền 𝔷 ∈ 𐀀 gọi là liên tục trên 𝔷. Bài tập 1. Cho hàm số: 2 1 , 1 x y f x y x Chứng minh rằng 𝕓 liên tục tại gốc tọa độ. Ta có: 0 2 1 0,0 1 0 1 f 0 0 0 0 2 1 lim , lim 1 0, 1 x x y y x y f x y f x |
