Với Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết Toán lớp 9 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem: Show
Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết - Toán lớp 9 I. Lý thuyết 1. Khái niệm về tính đồng biến, nghịch biến Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc ℝ . - Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên ℝ . - Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên ℝ . 2. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến Cách 1: Dựa vào khái nệm Với x1, x2 bất kì thuộc : - Nếu x1<x2 và fx1<fx2 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên ℝ . - Nếu x1<x2 và fx1>fx2 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên ℝ . Cách 2: Xét dấu của giá trị T Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta xét dấu của T, với T=fx2−fx1x2−x1 và x1,x2∈ℝ Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên ℝ . Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên ℝ . 3. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất a) Khái niệm về hàm số bậc nhất Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và a≠0 . b) Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất Ngoài hai cách ta đã nêu ở mục hai đối với hàm số bậc nhất ta còn cách xét hệ số a. - Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x ∈ℝ . - Hàm số bậc nhất đồng biến trên ℝ khi a > 0. - Hàm số bậc nhất nghịch biến trên ℝ khi a < 0. II. Một số ví dụ Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau: a) y = 3x + 3 b) y = -2x – 3 Lời giải: a) Cách 1: Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc ℝ Ta có: y = f(x) = 3x + 3 Với x1,x2∈ℝ ta có: Xét T=fx2−fx1x2−x1 =3x2+3−3x1+3x2−x1 =3x2+3−3x1−3x2−x1 =3x2−3x1x2−x1 =3x2−x1x2−x1=3>0 hàm số đồng biến trên ℝ . Cách 2: Ta có hàm số y = 3x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 3 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên ℝ . b) Cách 1: Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc ℝ Với x1,x2∈ℝ ta có: fx1=−2x1−3 fx2=−2x2−3 Xét T=fx2−fx1x2−x1 =−2x2−3−−2x1−3x2−x1 =−2x2−3+2x1+3x2−x1 =−2x2+2x1x2−x1 =−2x2−x1x2−x1=−2<0 Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên ℝ . Cách 2: Hàm số y = -2x – 3 là hàm số bậc nhất có a = -2 < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ . Ví dụ 2: Tìm m để a) y = (2m + 1)x + 3 đồng biến trên ℝ . b) y = (-3m – 2) x + 5 nghịch biến trên ℝ Lời giải: a) Hàm số y = (2m + 1)x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 2m + 1 và b = 3 Để hàm số đồng biến trên ℝ thì a > 0. ⇒2m + 1 > 0 ⇔2m>−1 ⇔m>−12 Vậy m>−12 thì hàm số đồng biến trên ℝ . b) Hàm số y = (-3m – 2) x + 5 là hàm số bậc nhất có a = -3m – 2; b = -2 Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì a < 0 ⇒-3m – 2 < 0 ⇔−3m<2 ⇔m>−23 Vậy m>−23 thì hàm số nghịch biến trên ℝ . Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác: Công thức vẽ đồ thị hàm số bậc nhất hay, chi tiết Công thức về hệ số góc của đường thẳng hay, chi tiết Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hay, chi tiết Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng hay, chi tiết 8/02/2017
Ngày 2/8/2017 bạn Nguyễn Sen gửi bài toán
Cho hàm số y = (m + 4)x - m + 6 (d)
a) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm được của m.
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Nói cách khác khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. (đpcm) Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn!
Hàm số đồng biến, nghịch biến trên R là một trong các dạng toán về sự đơn điệu của hàm số. Bởi R cũng là một khoảng từ âm vô cực đến dương vô cực nên đây là một trường hợp riêng của dạng toán hàm số đơn điệu trên một khoảng. Đối với dạng toán này chúng ta nên nắm được điều kiện để hàm số đơn điệu trên R. Đồng thời cũng cần nhớ một số trường hợp đặc biệt để vận dụng giải nhanh. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các bạn giải quyết nhanh dạng toán này. Cùng theo dõi nhé!
Điều kiện để hàm số đồng biến trên RGiả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y = f(x) là một hàm số xác định trên K. + Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀ x1, x2 ∊ f (x1) < f (x2) + Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: ∀ x1, x2 ∊ f (x1) > f (x2) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. Tìm điều kiện để hàm số là hàm bậc nhất. Hàm số đồng biến, nghịch biếnA. Phương pháp giải Hàm số y=ax+b là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0. Hàm số y=ax+b (với a ≠ 0) + Đồng biên trên R, khi a > 0. + Nghịch biến trên R, khi a < 0. B. Bài tập tự luận Bài 1: Tìm k để các hàm số sau: a, y= 5x – (2-x)k đồng biến, nghịch biến. b, y= (k2 – 4)x – 2 đồng biến. c, y= (-k2 + k – 1)x – 7 nghịch biến. d, y= (4 – 4k + k2)x + 2 đồng biến. Hướng dẫn giải a, y= 5x – (2-x)k = 5x – 2k + k.x = (5+k)x – 2k Vậy hàm số có hệ số a= 5+k. Khi đó: + Hàm số đồng biến a > 0 ⇔ 5 + k > 0 ⇔ k > -5 + Hàm số nghịch biến a < 0 ⇔ 5 + k < 0 ⇔ k < -5.  Bài 2: Với những giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất? a, y= mx – 2(x-m) d, y= (m2 – 3m + 2)x2 + 2(m-2)(m+1)x – 3m – 2. Hướng dẫn giải a) Hàm số y = mx – 2(x-m) = (m-2)x + 2m có hệ số a=m-2. Vậy hàm số y = mx – 2(x-m) là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2. b) Vậy m > 2 và m ≠ 6. c) Vậy m ≠ ± 1 d) Vậy m = 1 Bài 3: Cho hàm số a, Hàm số đã cho là hàm bậc nhất b, Hàm số đã cho đồng biến c, Hàm số đã cho nghịch biến Hướng dẫn giải Hàm số đã cho có hệ số a= 3 – √(m+2). a, Hàm số đã cho là hàm bậc nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ 3 – √(m+2) ≠ 0 ⇔ √(m+2) ≠ 3 ⇔ m + 2 ≠ 9 ⇔ m ≠ 7 Vậy m ≠ 7 b, Hàm số đã cho đồng biến khi a > 0 ↔ 3 – √(m+2) > 0 ⇔ √(m+2) < 3 ⇔ 0 ≤ m + 2 < 9 ⇔ -2 ≤ m < 7 Vậy -2 ≤ m < 7 c, Hàm số đã cho nghịch biến khi a < 0 3 – √(m+2) < 0 ⇔ √(m+2) > 3 ⇔ m + 2 >; 9 ⇔ m > 7 Vậy m > 7 Bài tập tìm m để hàm số đồng biến trên RCâu 1. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)? B. y = x3 + x C. y = -x3 – 3x Lời giải Chọn B Vì y = x3 + x ⇒ y’ = 3×2 + 1 > 0 ∀ x ∊ ℝ Câu 2. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)? A. y = x4 + 3×2 C. y = 3×3 + 3x – 2 D. y = 2×3 – 5x + 1 Lời giải Chọn C Hàm số y = 3×3 + 3x – 2 có TXĐ D = ℝ y’ = 9×2 + 3 > 0 ∀ x ∊ ℝ Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) Câu 3. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 – 1) x3 + (m – 1) x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞). A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn C TH1: m = 1. Ta có: y = -x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1. TH2: m = -1. Ta có: y = – 2×2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1. TH3: m ≠ 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ.Dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ. ⇔ 3(m2 – 1) x2 + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ Vì m ∊ ℤ nên m = 0 Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1. Câu 4. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ⅓ (m2 – m) x3 + 2mx2 + 3x – 2 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)? A. 4 B. 5 C. 3 D. 0 Lời giải Chọn A y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞; +∞) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ. + Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0, ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞). + Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn. Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0 Vì m ∊ ℤ nên m ∊ {-3; -2; -1; 0} Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra. B. 2 Lời giải Ta có f(x) = m2x4 – mx2 + 20x – (m2 – m – 20) = m2(x4 – 1) – m(x2 – 1) + 20(x + 1) = m2(x + 1)(x – 1)(x2 + 1) – m(x – 1)(x + 1) + 20(x + 1) = (x + 1)[m2(x – 1)(x2 + 1) – m(x – 1) + 20] Ta có f’(x) = 0 có một nghiệm đơn là x = -1, do đó nếu (*) không nhận x = -1 là nghiệm thì f’(x) đổi dấu qua x = -1. Do đó để f(x) đồng biến trên ℝ thì f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ hay (*) nhận x = -1 làm nghiệm (bậc lẻ). Suy ra m2(-1 – 1)(1 + 1) – m(-1 – 1) + 20 = 0 ⇔ -4m2 + 2m + 20 = 0 Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:
Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại duongleteach.comMột số từ khóa tìm kiếm liên quan:
|
