Bài tập hay về số phức lượng giác năm 2024

Upload - Home - Sách - Sheet nhạc - Tải Video - Download - Mới đăng

Bản quyền (c) 2006 - 2024 Thư Viện Vật Lý

Các tài liệu thuộc bản quyền của tác giả hoặc người đăng tải.

Các hình ảnh, nội dung của các nhãn hàng hoặc các shop thuộc bản quyền các nhãn hàng và các shop đó.

Các Liên kết đại lý trỏ về các website bán hàng có bản quyền thuộc về các sàn mà nó trỏ đến. Chúng tôi từ chối trách nhiệm liên quan đến các nội dung này.

Chất lượng sản phẩm do nhãn hàng công bố và chịu trách nhiệm.

Các đánh giá, hình ảnh đánh giá, review, các gọi ý trong tài liệu chỉ mang tính chất tham khảo, không mang thêm ý nghĩa gì khác

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,987,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,128,Đề thi THỬ Đại học,404,Đề thi thử môn Toán,68,Đề thi Tốt nghiệp,47,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,197,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,208,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,13,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,308,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,392,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: $\overline z $; $ – z$; $\frac{1}{z}$; $Kz$ $\left( {K \in {R^*}} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

1. $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ $(r > 0).$
2. $z = 1 + i\sqrt 3 .$

Lời giải:

1. Ta có: $\overline z = r(\cos \varphi – i\sin \varphi ).$ $ – z = – r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ $ = r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi )).$ $\frac{1}{z} = \frac{1}{{r(\cos \varphi – i\sin \varphi )}}$ $ = \frac{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}{r}$ $ = \frac{1}{r}(\cos \varphi + i\sin \varphi ).$ $Kz$ là một số phức có môđun là $|Kz| = |K|.|z| = |K|.r.$, có acgumen là $\varphi $ nếu $K > 0$, là $\varphi + \pi $ nếu $K < 0.$ Vậy $Kz = |K|.r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ nếu $K> 0.$ $Kz = |K|.r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi ))$ nếu $K > 0.$
2. Khi $z = 1 + i\sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow z = 2\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$ Nên: $\bar z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$ $ – z = – 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right).$ $\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$ $Kz = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2|K|\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k > 0}\\ {2|K|\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k < 0} \end{array}} \right..$

Bài 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1. $1 – i\sqrt 3 $; $1 + i$; $(1 – i\sqrt 3 )(1 + i)$; $\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}.$
2. $2i(\sqrt 3 – i).$
3. $\frac{1}{{2 + 2i}}.$
4. $z = \sin \varphi + i\cos \varphi $ $(\varphi \in R).$

Lời giải:

1. $z = 1 – i\sqrt 3 $ $ = 2\left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{ – \pi }}{3} + i\sin \frac{{ – \pi }}{3}} \right).$ $z’ = 1 + i$ $ = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ $ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$ $(1 – i\sqrt 3 )(1 + i) = z.z’.$ Mà: $z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)$ $ = 2\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right).$ $z’ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$ Nên $z.z’$ $ = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right)} \right)$ $ = 2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ – \pi }}{{12}} + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right).$ $\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}$ $ = \frac{z}{{z’}}$ $ = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).$ $ = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right)} \right].$
2. $2i(\sqrt 3 – i)$ $ = 2\left( {i\sqrt 3 – {i^2}} \right)$ $ = 2(1 + i\sqrt 3 )$ $ = 4\left( {\frac{1}{2} + i.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $ = 4\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).$
3. $\frac{1}{{2 + 2i}}$ $ = \frac{{2 – 2i}}{8}$ $ = \frac{1}{4}(1 – i)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – i.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left[ {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right)} \right].$
4. $z = \sin \varphi + i\cos \varphi $ $ = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right).$

Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ${(1 + i){19}}$ và công thức Moa-vrơ để tính: $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots \ldots + C_{19}{16} – C_{19}^{18}.$

Lời giải: Theo nhị thức Niutơn ta có: ${(1 + i){19}}$ $ = C_{19}^0 + iC_{19}^1$ $ + {i^2}C_{19}^2 + {i^3}C_{19}^3$ $ + \ldots + {i{18}}C_{19}{18} + {i{19}}C_{19}{19}.$ $ = \left( {C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – C_{19}^6 + \ldots – C_{19}{18}} \right)$ $ + i\left( {C_{19}1 – C_{19}^3 + \ldots – C_{19}{19}} \right).$ Mặt khác ta có $1 + i$ $ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$ Nên theo công thức Moa-vrơ ta có: ${(1 + i){19}}$ $ = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]{19}}$ $ = {(\sqrt 2 ){19}}.\left( {\cos \frac{{19\pi }}{4} + i\sin \frac{{19\pi }}{4}} \right).$ $ = {(\sqrt 2 ){19}}.\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ $ = {(\sqrt 2 ){19}}\left( {\frac{{ – \sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$ $ = – \frac{{{{(\sqrt 2 )}{20}}}}{2} + i\frac{{{{(\sqrt 2 )}{20}}}}{2}$ $ = – {2^9} + i{.2^9}.$ Vậy $C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots + C_{19}{16} – C_{19}^{18}$ $ = – {2^9} = – 512.$

Bài 30. Gọi $M$, $M’$ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số $z = 3 + i$, $z’ = (3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i.$

1. Tính $\frac{{z’}}{z}.$
2. Chứng minh rằng hiệu số acgumen của $z’$ với acgumen của $z$ là một số đo của góc lượng giác $(OM;OM’).$ Tính số đo đó.

Lời giải: Ta có: $\frac{{z’}}{z}$ $ = \frac{{(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i}}{{3 + i}}$ $ = \frac{{[(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i](3 – i)}}{{(3 + i)(3 – i)}}.$ $ = \frac{{10 + 10\sqrt 3 i}}{{10}}$ $ = 1 + \sqrt 3 i.$

1. Ta có: $M = (3;1)$, $M’ = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).$ $ \Rightarrow \overrightarrow {OM} = (3;1)$, $\overrightarrow {OM’} = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).$ $ \Rightarrow \cos \left( {OM,OM’} \right)$ $ = \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OM’} } \right)$ $ = \frac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM’} }}{{|\overrightarrow {OM} |.|\overrightarrow {OM’} |}} = \frac{1}{2}$ $(1).$ Mặt khác: $\frac{{z’}}{z}$ $ = \frac{{\left| {z’} \right|}}{z}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right].$ $ = \frac{{\sqrt {40} }}{{\sqrt {10} }}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right]$ $ = 2\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + 2i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right).$ Theo câu a, ta có $\frac{{z’}}{z} = 1 + \sqrt 3 i$, suy ra $2.\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = 1.$ $ \Rightarrow \cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \frac{1}{2}$ $(2).$ Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \cos \left( {OM,OM’} \right)$ nên hiệu $\varphi ‘ – \varphi $ là một số đo của góc lượng giác $\left( {OM,OM’} \right)$ và số đo đó là: $\varphi ‘ – \varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi .$

Bài 31. Cho các số phức $w = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i)$ và $\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 ).$

1. Chứng minh rằng ${z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}$, ${z_1} = {z_0}\varepsilon $, ${z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}$ là các nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
2. Biểu diễn hình học các số phức ${z_0}$, ${z_1}$, ${z_2}.$

Lời giải:

1. Ta có ${z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}$ $ \Rightarrow z_0^3 = \cos \frac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{12}}$ $ = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.$ Vậy $z_0^3 – w = 0$ hay ${z_0}$ là một nghiệm của phương trình: ${z^3} – w = 0.$ Ta lại có: $\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 )$ $ = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$ $ = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right).$ Nên ${z_1} = {z_0}.\varepsilon $ $ = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ $ = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}.$ $ \Rightarrow z_1^3 = \cos \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right)$ $ = \cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right).$ $ = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w.$ Vậy $z_1^3 – w = 0$, hay ${z_1}$ là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$ Ta có: ${z_2} = {z_0}.{\varepsilon ^2}$ $ = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right)$ $ = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{2}} \right).$ $ \Rightarrow z_2^3 = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right)$ $ = \cos \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.$ Vậy $z_2^3 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w$ hay $z_2^3 – w = 0.$ Vậy ${z_2}$ cũng là một nghiệm của phương trình ${z^3} – w = 0.$
2. Các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt biểu diễn các số: ${z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}$, ${z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}$, ${z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}.$ Nhận xét: ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác đều.

LUYỆN TẬP

Bài 32. Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính $\sin 4\varphi $ và $\cos 4\varphi $ theo các lũy thừa $\sin \varphi $ và $\cos \varphi .$

Lời giải: Theo công thức Moa-vrơ ta có: ${(\cos \varphi + i\sin \varphi )^4}$ $ = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .$ $ \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi } \right)$ $ + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)i$ $ = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 4\varphi = {{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi }\\ {\sin 4\varphi = 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)} \end{array}} \right..$

Bài 33. Tính: ${(\sqrt 3 – i)6}$; ${\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right){2004}}$; ${\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}.$

Lời giải: Ta có: $\sqrt 3 – i$ $ = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right)} \right).$ Nên ${(\sqrt 3 – i)6}$ $ = {2^6}\left( {\cos \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right)} \right)$ $ = 64(\cos ( – \pi ) + i\sin ( – \pi ))$ $ = – 64.$ Ta có: $\frac{i}{{1 + i}}$ $ = \frac{{i(1 – i)}}{{(1 + i)(1 – i)}}$ $ = \frac{{1 + i}}{2}$ $ = \frac{1}{2}(1 + i)$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$ Nên: ${\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right){2004}}$ $ = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right){2004}}.\left( {\cos \frac{{2004\pi }}{4} + i\sin \frac{{2004\pi }}{4}} \right).$ $ = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right){2004}}(\cos (501\pi + i\sin (501\pi ))$ $ = \frac{1}{{{2^{1002}}}}(\cos \pi + i\sin \pi )$ $ = \frac{{ – 1}}{{{2^{1002}}}}.$ $\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}$ $ = \frac{{(5 + 3i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}{{(1 – 2i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}$ $ = \frac{{ – 13 + 13i\sqrt 3 }}{{13}}$ $ = – 1 + i\sqrt 3 .$ $ = 2\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).$ Nên ${\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right){21}}$ $ = {2{21}}(\cos 14\pi + i\sin 14\pi )$ $ = {2^{21}}.$

Bài 34. Cho số phức $w = – \frac{1}{2}(1 + i\sqrt 3 ).$ Tìm các số nguyên dương $n$ để ${w^n}$ là số thực. Hỏi có số nguyên dương $m$ nào để ${w^m}$ là số ảo?

Lời giải: Ta có: $w = – \frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $ = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right).$ Nên ${w^n} = \cos \frac{{4n\pi }}{3} + i\sin \frac{{4n\pi }}{3}.$ Để ${w^n}$ là số thực thì $\sin \frac{{4n\pi }}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = k\pi $ $ \Leftrightarrow n = \frac{{3k}}{4}.$ Để $n \in {N^*}$ thì $k = 4t$ với $t \in {N^*}.$ Khi đó $n = 3t$ với $t \in {N^*}.$ Để ${w^m}$ là số ảo thì $\cos \frac{{4m\pi }}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{4m\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi .$ $ \Leftrightarrow 8m = 3 + 6k$ với $k \in Z$, $m \in {N^*}.$ Vì phương trình này vô nghiệm, nên không tồn tại $m$ để ${w^m}$ là số ảo.

Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức $z$ và của các căn bậc hai của $z$ cho mỗi trường hợp sau:

1. $|z| = 3$ và một acgumen của $iz$ là $\frac{{5\pi }}{4}.$
2. $|z| = \frac{1}{3}$ và một acgumen của $\frac{{\overline z }}{{1 + i}}$ là $\frac{{ – 3\pi }}{4}.$

Lời giải: Giả sử $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).$

1. Vì $|z| = 3$ $ \Rightarrow r = 3.$ Ta có $i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ nên $iz = 3\left( {\cos \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right)} \right).$ Theo bài ra ta có: $\varphi + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{4}$ $ \Rightarrow \varphi = \frac{{3\pi }}{4}.$ Vậy $z = 3\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right).$ $z$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)$ và ${z_2} = – \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)$ $ = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{11\pi }}{8} + i\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right).$
2. Vì $|z| = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow r = \frac{1}{3}.$ Ta có $1 + i$ $ = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ $ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).$ $\overline z = \frac{1}{3}(\cos \varphi – i\sin \varphi )$ $ = \frac{1}{3}[\cos ( – \varphi ) + i\sin ( – \varphi )].$ Vậy $\frac{{\bar z}}{{1 + i}}$ $ = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).$ Theo bài ra ta có: $ – \varphi – \frac{\pi }{4} = – \frac{{3\pi }}{4}$ $ \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}.$ Vậy $z = \frac{1}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right).$ $z$ có hai căn bậc hai là: ${z_1} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ và ${z_2} = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{{5\pi }}{4} + i\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right).$

Bài 36. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:

1. $1 – i\tan \frac{\pi }{5}.$
2. $\tan \frac{{5\pi }}{8} + i.$
3. $1 – \cos \varphi – i\sin \varphi $ ($\varphi \in R$, $\varphi \ne k2\pi $, $k \in Z$).

Lời giải:

1. $z = 1 – i\tan \frac{\pi }{5}.$ $ = 1 – i.\frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}}$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \frac{\pi }{5} – i\sin \frac{\pi }{5}} \right)$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{5}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{5}} \right)} \right).$
2. $z = \tan \frac{{5\pi }}{8} + i.$ $ = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)$ $ = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right].$
3. $z = (1 – \cos \varphi ) – i\sin \varphi $ $ = 2{\sin ^2}\frac{\varphi }{2} – i2\sin \frac{\varphi }{2}\cos \frac{\varphi }{2}.$ $ = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left( {\sin \frac{\varphi }{2} – i\cos \frac{\varphi }{2}} \right)$ $ = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right)} \right]$ (nếu $\sin \frac{\varphi }{2} > 0$). Hoặc $z = \left( { – 2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right)} \right]$ (nếu ${\sin \frac{\varphi }{2} < 0}$).