Bài tập hệ thức lượng trong tam giác violet năm 2024

Tài liệu gồm 121 trang, bao gồm tóm tắt lý thuyết, phân dạng và bài tập chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác trong chương trình môn Toán lớp 10 GDPT 2018 (chương trình SGK mới).

CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. CHỦ ĐỀ 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180. Vấn đề 1. Tính giá trị của một biểu thức. Hai góc phụ nhau, bù nhau. Vấn đề 2. Dấu của một biểu thức lượng giác. Vấn đề 3. Cho biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của một biểu thức lượng giác. Vấn đề 4. Đơn giản một biểu thức lượng giác. Vấn đề 5. Chứng minh một đẳng thức lượng giác. Vấn đề 6. Chứng minh một biểu thức độc lập đối với x. CHỦ ĐỀ 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. Vấn đề 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG. + Bài toán. Cho biết một số yếu tố của tam giác vuông. Tính các yếu tố còn lại. Vấn đề 2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG. + Bài toán 1. Biết hai cạnh và góc xen giữa, tính độ dài cạnh còn lại. + Bài toán 2. Biết độ dài ba cạnh của một tam giác, tính các góc của tam giác. + Bài toán 3. Biết độ dài một cạnh và số đo hai góc của một tam giác hoặc biết độ dài hai cạnh và một góc (không xen giữa) tính độ dài cạnh còn lại. + Bài toán 4. Tìm diện tích của tam giác. Tìm độ dài đường cao, tìm bán kính đường tròn nội – ngoại tiếp tam giác. + Bài toán 5. Giải tam giác và các ứng dụng vào thực tế. + Bài toán 6. Chứng minh các hệ thức trong tam giác.

File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG

• Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Các hệ thức lượng trong tam giác là công cụ quan trọng để giải quyết nhiều vấn đề trong hình học. Dưới đây là tóm tắt các hệ thức và phương pháp giải thường gặp:

• Định lí Pytago: \(c^2 = a^2 + b^2\) - áp dụng cho tam giác vuông.
• Định lí cosin: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\) - cho tam giác bất kỳ.
• Định lí sin: \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\) - cho tam giác bất kỳ.
• Công thức diện tích: \(S = \frac{1}{2}ab \sin(C)\) - cho tam giác bất kỳ.
• Công thức Heron: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), \(p = \frac{a+b+c}{2}\) - cho tam giác bất kỳ.
• Xác định các yếu tố của tam giác: Sử dụng các hệ thức lượng để tìm các cạnh hoặc góc còn thiếu.
• Giải tam giác: Áp dụng công thức để tính toán và tìm lời giải cho bài toán.
• Chứng minh các đẳng thức hoặc bất đẳng thức: Sử dụng các hệ thức để chứng minh các tính chất của tam giác.
• Nhận dạng tam giác: Dựa vào các yếu tố đặc trưng nhận biết loại tam giác (vuông, cân, đều...).

Các bài tập thực hành giúp nắm vững các hệ thức lượng, bao gồm:

• Tính các yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố ban đầu.
• Giải các bài toán thực tiễn, áp dụng vào các tình huống cụ thể trong thực tế.

Để giải các bài toán hình học hiệu quả, cần:

• Đọc kỹ đề bài và phân tích yêu cầu.
• Vẽ hình để minh họa bài toán.
• Áp dụng các hệ thức lượng phù hợp để giải quyết bài toán.
• Kiểm tra kết quả và rà soát các bước giải.

Giới thiệu chung về hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác là một phần không thể thiếu trong chương trình học Toán lớp 10, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp. Bao gồm các công thức và định lý giúp xác định các yếu tố không biết của tam giác khi biết một số yếu tố khác. Các hệ thức lượng thường dùng gồm:

• Định lý Pytago: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
• Định lý cosin: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A) \)
• Định lý sin: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)

Ngoài ra, công thức Heron để tính diện tích tam giác cũng là một hệ thức lượng quan trọng, cho phép tính diện tích khi biết độ dài ba cạnh của tam giác:

Các hệ thức lượng không chỉ hữu ích trong việc giải bài tập trên lớp mà còn trong các kỳ thi quốc gia và quốc tế, giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic trong toán học.

Phân loại các hệ thức lượng thường gặp trong chương trình lớp 10

Trong chương trình học lớp 10, hệ thức lượng trong tam giác được phân loại thành nhiều dạng khác nhau dựa trên các yếu tố và tính chất hình học của tam giác. Các hệ thức lượng thường gặp bao gồm:

1. Hệ thức trong tam giác vuông:
2. Định lý Pytago: \(c^2 = a^2 + b^2\)
3. Định lý đường cao: \(h^2 = pq\), với \(h\) là đường cao, \(p\) và \(q\) là các đoạn thẳng mà đường cao tạo ra trên cạnh huyền.
4. Hệ thức trong tam giác bất kỳ:
5. Định lý Sin: \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R\), với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
6. Định lý Cosin: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)\)
7. Công thức diện tích: \(S = \frac{1}{2}ab\sin(C)\)
8. Công thức Heron cho diện tích: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), với \(p\) là nửa chu vi tam giác.
9. Ứng dụng của các hệ thức lượng: Các hệ thức này không chỉ hữu ích trong việc giải các bài toán hình học, mà còn trong việc áp dụng vào các bài toán thực tế như đo đạc địa lý, kiến trúc, và nhiều lĩnh vực khác.

Hệ thức lượng trong tam giác là công cụ mạnh mẽ cho phép học sinh không chỉ giải các bài toán trên lớp mà còn ứng dụng vào thực tiễn, phát triển tư duy toán học linh hoạt và sâu sắc.

XEM THÊM:

• Bài tập hệ thức lượng trong tam giác violet: Hướng dẫn toàn diện từ cơ bản đến nâng cao
• Bài tập Toán 10: Hướng dẫn chi tiết các hệ thức lượng trong tam giác

Công thức cơ bản và ứng dụng của Định lý Pytago

Định lý Pytago là một trong những công thức toán học cơ bản và nổi tiếng nhất, được sử dụng rộng rãi không chỉ trong hình học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Công thức này đặc biệt hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông. Công thức cụ thể như sau:

• \(c^2 = a^2 + b^2\)

Trong đó \(c\) là cạnh huyền và \(a\), \(b\) là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông.

Ứng dụng của Định lý Pytago

Định lý Pytago được ứng dụng trong nhiều bối cảnh khác nhau, bao gồm:

• Kiểm tra một tam giác có phải là tam giác vuông hay không bằng cách tính toán và so sánh giữa tổng bình phương của hai cạnh góc vuông với bình phương cạnh huyền.
• Trong đo đạc địa lý, xác định khoảng cách không dễ tiếp cận giữa hai điểm bằng cách tạo ra một tam giác ảo và áp dụng Định lý Pytago.
• Tính toán trong các bài toán thiết kế và kỹ thuật, giúp xác định các chiều dài cần thiết khi biết trước các chiều dài khác.

Ngoài ra, Định lý Pytago còn được dùng để giải các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích khi các yếu tố của tam giác đã được xác định rõ.

Định lý Cosin và các ví dụ minh họa

Định lý Cosin là một công cụ toán học mạnh mẽ, cho phép tính độ dài cạnh của tam giác khi biết độ dài hai cạnh khác và góc giữa chúng. Công thức của Định lý Cosin như sau:

• Cho tam giác ABC với các cạnh a, b, c, nếu c là cạnh đối diện với góc C, thì: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)

Công thức này cũng có thể biến đổi để tính các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh.

Ví dụ minh họa

1. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với AB = 8 cm, AC = 6 cm và góc BAC = 60°. Hãy tính độ dài cạnh BC.
2. Sử dụng công thức Định lý Cosin, ta có:
3. \[ BC^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 36 - 96 \cdot 0.5 = 28 \]
4. \[ BC = \sqrt{28} \approx 5.29 \text{ cm} \]
5. Ví dụ 2: Trong một mảnh đất hình tam giác, hai cạnh có độ dài 150 m và 200 m tạo với nhau một góc 45°. Tính độ dài cạnh thứ ba.
6. Áp dụng Định lý Cosin:
7. \[ c^2 = 150^2 + 200^2 - 2 \cdot 150 \cdot 200 \cdot \cos(45^\circ) \]
8. \[ c^2 = 22500 + 40000 - 60000 \cdot 0.707 \approx 18306 \]
9. \[ c = \sqrt{18306} \approx 135.3 \text{ m} \]

Những ví dụ này cho thấy tầm quan trọng của Định lý Cosin trong việc giải các bài toán thực tiễn, từ xây dựng đến đo đạc khoảng cách trong các dự án kỹ thuật.

Định lý Sin và cách áp dụng vào giải tam giác

Định lý Sin là một công cụ toán học quan trọng, cho phép tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác khi biết một số thông tin nhất định. Công thức của Định lý Sin được biểu diễn như sau:

• Cho tam giác ABC với các cạnh a, b, và c, và các góc A, B, C, ta có: \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R\), với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Công thức này hữu ích trong việc giải các tam giác bất kỳ, đặc biệt là khi các yếu tố cần tìm không trực tiếp liên quan đến nhau qua các công thức hình học cơ bản.

Cách áp dụng Định lý Sin

1. Ví dụ 1: Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề:
2. Giả sử biết cạnh a và các góc B và C, ta có thể tìm cạnh b và c như sau:
3. \(b = \frac{a \sin(B)}{\sin(A)}\), \(c = \frac{a \sin(C)}{\sin(A)}\)
4. Ví dụ 2: Xác định độ lớn của góc khi biết ba cạnh của tam giác:
5. Sử dụng công thức biến đổi: \(\sin(A) = \frac{a}{2R}\), tìm \(R\) thông qua công thức \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R\).
6. Từ đó suy ra \(\sin(A) = \frac{a}{2R}\), và áp dụng cho các góc B và C tương tự.

Những ví dụ này chỉ ra cách thức Định lý Sin được ứng dụng để giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp trong hình học, đặc biệt hữu ích trong các kỳ thi và ứng dụng thực tế.

XEM THÊM:

• Giải Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông: Hướng Dẫn Toàn Diện Và Dễ Hiểu
• Trắc Nghiệm Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Violet: Giải Đáp Chi Tiết Các Bài Tập

Các bài toán thực tiễn sử dụng hệ thức lượng

Hệ thức lượng trong tam giác không chỉ là công cụ giải các bài toán lý thuyết mà còn ứng dụng vào nhiều tình huống thực tiễn, giúp giải quyết các vấn đề trong đo đạc, xây dựng, và nhiều lĩnh vực khác. Dưới đây là một số ví dụ minh họa cách áp dụng hệ thức lượng vào giải các bài toán thực tế:

1. Đo đạc khoảng cách: Tính khoảng cách giữa hai điểm bên kia bờ sông bằng cách vạch một đường vuông góc từ một điểm trên bờ đến điểm đối diện và sử dụng Định lý Pytago.
2. Xác định chiều cao: Để xác định chiều cao của một cây hoặc một tòa nhà khi biết khoảng cách đến đáy của nó và góc nghiêng so với mặt đất, có thể áp dụng Định lý Sin hoặc Cosin tùy vào thông tin cụ thể có sẵn.
3. Giải các bài toán liên quan đến lĩnh vực hàng không: Tính toán đường đi của máy bay khi hạ cánh, xác định góc hạ cánh an toàn khi biết độ cao hiện tại và khoảng cách đến sân bay.
4. An toàn khi sử dụng thang: Tính khoảng cách cần thiết để đặt chân thang sao cho nó tạo với mặt đất một góc "an toàn", đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng.

Những ứng dụng này không chỉ giúp sinh viên và kỹ sư áp dụng kiến thức toán học vào thực tiễn mà còn giúp họ phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề trong các tình huống cụ thể.

Phương pháp giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Hệ thức lượng trong tam giác bao gồm nhiều công thức và phương pháp giải đa dạng, phù hợp với từng loại bài tập và mức độ phức tạp khác nhau. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết các phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao:

• Phương pháp sử dụng Định lý Pytago: Áp dụng cho các bài toán liên quan đến tam giác vuông, giúp xác định độ dài cạnh khi biết hai cạnh khác.
• Phương pháp sử dụng Định lý Cosin: Giúp tìm độ dài cạnh hoặc góc trong tam giác bất kỳ. Công thức: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\), trong đó c là cạnh cần tìm, a và b là hai cạnh kề, C là góc đối diện cạnh c.
• Phương pháp sử dụng Định lý Sin: Dùng để tìm độ dài cạnh hoặc số đo góc, đặc biệt khi biết đường tròn ngoại tiếp. Công thức: \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R\).
• Sử dụng công thức Heron: Để tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh, công thức: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), với \(p\) là nửa chu vi tam giác.

Ngoài ra, các bài tập thực hành, luyện tập từ các nguồn uy tín và sách giáo khoa, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các dạng toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp.

Công thức Heron và các bài toán liên quan

Công thức Heron là công cụ hữu ích để tính diện tích của một tam giác khi biết độ dài ba cạnh của nó. Công thức này được đặt theo tên của Heron của Alexandria, một nhà toán học cổ đại. Đây là công thức:

• Nếu một tam giác có ba cạnh là \(a\), \(b\), và \(c\), và nửa chu vi của tam giác đó là \(p = \frac{a+b+c}{2}\), thì diện tích \(S\) của tam giác được tính bằng công thức:
• \[
• S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
• \]

Công thức này rất hữu ích trong việc giải quyết các bài toán không chỉ trong giáo dục mà còn trong thực tiễn, như trong lĩnh vực xây dựng và kiến trúc.

Ví dụ minh họa:

1. Ví dụ 1: Xác định diện tích một khu đất. Nếu một khu đất có các cạnh 150m, 200m và 250m, hãy tính diện tích của nó.
2. Sử dụng công thức Heron, ta tính được nửa chu vi \(p = 300\) m và diện tích:
3. \[
4. S = \sqrt{300(300-150)(300-200)(300-250)} = \sqrt{300 \times 150 \times 100 \times 50}
5. \]
6. Kết quả là \(S = \sqrt{225000000} = 15000 \text{ m}^2\).
7. Ví dụ 2: Một nhà toán học muốn kiểm tra tính chính xác của một khu vực được cho là tam giác đều với các cạnh bằng 6m. Sử dụng công thức Heron để xác định diện tích có đúng là \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ m}^2\) hay không.
8. Nửa chu vi \(p = 9\) m, và diện tích:
9. \[
10. S = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9 \times 3 \times 3 \times 3} = \sqrt{243}
11. \]
12. Kết quả là \(S = 15.588 \text{ m}^2\), kiểm tra lại các tính toán và đo đạc.

XEM THÊM:

• Lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác: Khám phá bí mật của hình học
• Giáo Án Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác: Hướng Dẫn Chi Tiết Và Các Bài Tập Ứng Dụng

Hướng dẫn chi tiết các bước giải tam giác bất kỳ

Giải tam giác là quá trình tìm các yếu tố còn thiếu của một tam giác khi biết một số yếu tố nhất định. Các bước sau đây hướng dẫn chi tiết cách giải một tam giác bất kỳ, áp dụng cho cả học thuật và thực tiễn.

1. Xác định dữ liệu có sẵn: Xác định các yếu tố đã biết của tam giác, bao gồm các cạnh và góc. Đây có thể là ba cạnh, hai cạnh và góc kẹp giữa, một cạnh và hai góc liên tiếp, v.v.
2. Chọn phương pháp giải phù hợp:
3. Nếu biết ba cạnh (SSS), sử dụng Định lý Cosin để tìm các góc.
4. Nếu biết hai cạnh và góc kẹp giữa (SAS), tính cạnh còn lại bằng Định lý Cosin, sau đó tìm các góc còn lại bằng Định lý Sin.
5. Nếu biết hai góc và một cạnh (ASA hoặc AAS), sử dụng Định lý Sin để tìm hai cạnh còn lại.
6. Nếu biết một cạnh và hai cạnh liên tiếp (SSA), sử dụng Định lý Sin để xác định có một hay hai nghiệm, sau đó giải tương ứng.
7. Áp dụng công thức: Sử dụng các công thức của Định lý Sin và Cosin để tính toán các yếu tố còn thiếu của tam giác.
8. Kiểm tra tính nhất quán và lỗi sai: Sau khi tính toán, kiểm tra lại các giá trị của cạnh và góc để đảm bảo chúng nhất quán và không có lỗi sai trong quá trình giải.

Việc hiểu và áp dụng chính xác các bước này sẽ giúp giải quyết hầu hết các bài toán liên quan đến tam giác trong học tập và ứng dụng thực tế.

Chuyên đề luyện tập và bài tập vận dụng

Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác và các bài tập vận dụng cung cấp cho học sinh và giáo viên các công cụ toán học thiết yếu để giải quyết các vấn đề thực tế và tăng cường hiểu biết về hình học. Dưới đây là một số hướng dẫn và ví dụ về cách áp dụng các hệ thức lượng trong giải các bài toán.

• Áp dụng Định lý Cosin: Cho phép giải các tam giác bất kỳ khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc ba cạnh của tam giác.
• Áp dụng Định lý Sin: Giúp xác định các yếu tố còn thiếu trong tam giác khi biết một cạnh và hai góc liền kề hoặc khi cần tính độ dài các cạnh dựa vào góc và cạnh đối diện.
• Áp dụng Công thức Heron: Dùng để tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh, phù hợp cho việc giải các bài toán thực tiễn như xác định diện tích đất đai.

Các ví dụ thực tiễn bao gồm tính khoảng cách giữa hai điểm qua một con sông bằng cách xác định một điểm vuông góc trên bờ sông, hoặc xác định chiều cao của các cấu trúc như tòa nhà hoặc cây cối từ một khoảng cách nhất định. Các bài tập này không chỉ thúc đẩy kỹ năng giải toán mà còn khả năng áp dụng toán học vào thực tiễn.

1. Ví dụ về xác định khoảng cách sử dụng Định lý Pytago khi biết các đoạn thẳng vuông góc.
2. Tính chiều cao cần thiết để một chiếc thang an toàn tựa vào tường tạo một góc nhất định với mặt đất.
3. Giải các bài toán liên quan đến hàng không, như xác định thời điểm và góc mà máy bay cần để bắt đầu quá trình hạ cánh an toàn.

Mỗi bài tập cung cấp một tình huống cụ thể, từ đó học sinh có thể áp dụng lý thuyết đã học vào giải quyết các vấn đề thực tế, giúp củng cố và mở rộng kiến thức toán học.

Tài liệu tham khảo và các nguồn học tập online

Có nhiều nguồn tài liệu học tập và tham khảo online về hệ thức lượng trong tam giác, giúp học sinh và giáo viên dễ dàng tiếp cận và nâng cao kiến thức trong lĩnh vực hình học. Dưới đây là danh sách các nguồn tài liệu hữu ích:

• Khan Academy: Một nền tảng học tập rất phổ biến cung cấp các bài giảng và bài tập thực hành chi tiết về hệ thức lượng trong tam giác.
• VietJack: Cung cấp nhiều bài viết chi tiết, bao gồm cả lý thuyết và các bài tập vận dụng, giúp học sinh ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi.
• VnDoc: Tuyển tập các bài tập có đáp án chi tiết, giúp học sinh tự luyện tập và củng cố kiến thức đã học.
• ToanMath: Một nguồn tài nguyên toán học bao gồm các tài liệu học tập, đề thi, và hướng dẫn giải chi tiết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
• Onluyen.vn: Cung cấp các đề thi trực tuyến và bài tập thực hành để học sinh có thể thử sức và chuẩn bị cho các bài kiểm tra thực tế.

Ngoài ra, các sách giáo khoa và sách bài tập cũng là nguồn tài liệu quan trọng, bao gồm các giải đáp chi tiết và hướng dẫn giải cho nhiều dạng bài tập khác nhau trong chương trình Toán lớp 10. Các trang web như VnDoc, VietJack, và các sách từ NXB Giáo Dục cũng cung cấp nhiều tài liệu hữu ích cho việc tự học và ôn tập.