Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm giới hạn dãy số đầy đủ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết Show Xem lời giải Giới hạn của dãy số là một điểm lý thuyết phổ biến thường có trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy việc nắm rõ khái niệm cũng như cách giải bài tập sẽ giúp ích hơn cho các em trong lúc thi. Hãy cùng Marathon Education tìm hiểu kỹ hơn trong bài viết sau đây! Lý thuyết giới hạn của dãy sốDãy số có giới hạn 0Định nghĩa 1: Dãy số (un ) có giới hạn bằng 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu giá trị tuyệt đối của n có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, mọi số hạng của dãy số và kể từ số hạng bất kỳ nào đó trở đi.  Định nghĩa 2: Dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu: Tính chất: Dãy số có giới hạn vô cựcDãy số có giới hạn +∞ Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi đều sẽ lớn hơn số dương đó. Ký hiệu: lim un = + ∞. Dãy số có giới hạn – ∞ Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số âm bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạn nào đó trở đi đều sẽ nhỏ hơn số âm đó. Ký hiệu: lim un = – ∞. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
Dãy số có giới hạn hữu hạnĐịnh nghĩa: Các định lý:
Các dạng bài tập về giới hạn dãy số có lời giảiDạng 1: Tìm giới hạn của dãy sốPhương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, kết hợp tính chất và những định lý về giới hạn của một dãy số Dạng 3: Chứng minh lim un tồn tạiPhương pháp giải: Sử dụng định lý
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạnDạng 5: Tìm giới hạn vô cựcTham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education Như vậy, các em đã được tìm hiểu về lý thuyết giới hạn của dãy số cũng như cách giải bài tập đơn giản, chi tiết. Hy vọng với những kiến thức được team Marathon truyền tải, các em có thể dễ dàng ôn luyện và giải bài hiệu quả hơn. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới! Định nghĩa 1: Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là 0 khi $n$ dần tới dương vô cực, nếu $\left| {{u_n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$ hay ${u_n} \to 0$ khi $n \to + \infty $. Chú ý: Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau: – $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k$ là một số nguyên dương; – $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0$ nếu $|q| < 1$; – Nếu $\left| {{u_n}} \right| \leqslant {v_n}$ với mọi $n \geqslant 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$. Định nghĩa 2: Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực a khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – a} \right) = 0$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a$ hay ${u_n} \to a$ khi $n \to + \infty $. 2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
$\mathop { \bullet \lim }\limits_{} \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a\, + b$ $\mathop { \bullet \lim }\limits_{} \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = a\, – b$ $ \bullet \lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b$ $ \bullet \lim \left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right) = \frac{a}{b}$ (nếu $b \ne 0$).
3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$, với $\left| q \right| < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $\boxed{S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + \ldots + {u_n} + \ldots = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\,\,\,\,\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right).}$ 4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ $ \bullet $ Ta nói dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là $ + \infty $ khi$n \to + \infty $, nếu ${u_n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} {u_n} = + \infty $ hay ${u_n} \to + \infty $ khi $n \to + \infty .$ $ \bullet $ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là $ – \infty $ khi $n \to + \infty $, nếu $\mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} \left( { – {u_n}} \right) = + \infty $. Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} {u_n} = – \infty $ hay ${u_n} \to – \infty $ khi $n \to + \infty .$ Nhận xét: $\lim {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{} {\mkern 1mu} \left( { – {u_n}} \right) = – \infty .$ Ta thừa nhận các kết quả sau
Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:
Chú ý : Cho $P\left( n \right),\,\,Q\left( n \right)$ lần lượt là các đa thức bậc $m,\,\,k$ theo biến $n:$ $\begin{gathered} P\left( x \right) = {a_m}{n^m} + {a_{m – 1}}{n^{m – 1}} + \cdots + {a_1}n + {a_0}\,\left( {{a_m}\not = 0} \right) \hfill \\ Q\left( n \right) = {b_k}{n^k} + {b_{k – 1}}{n^{k – 1}} + \cdots + {b_1}n + {b_0}\,\,\left( {{b_k}\not = 0} \right) \hfill \\ \end{gathered} $ Khi đó $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = \lim \frac{{{a_m}{n^m}}}{{{b_k}{n^k}}}$, viết tắt $\frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} \sim \frac{{{a_m}{n^m}}}{{{b_k}{n^k}}}$, ta có các trường hợp sau : Nếu « bậc tử » $ < $ « bậc mẫu ($m < k$) thì $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = 0.$ Nếu « bậc tử » $ = $ « bậc mẫu ($m = k$) thì $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = \frac{{{a_m}}}{{{b_k}}}.$ Nếu « bậc tử » $ > $ « bậc mẫu ($m > k$) thì $\lim \frac{{P\left( n \right)}}{{Q\left( n \right)}} = \left\{ \begin{gathered} + \infty \,\,\,khi\,\,{a_m}{b_k} > 0 \hfill \\ – \infty \,\,\,khi\,\,{a_m}{b_k} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Để ý rằng nếu $P\left( n \right),\,\,Q\left( n \right)$ có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể $\sqrt[m]{{{n^k}}}$ tì có bậc là $\frac{k}{n}.$ Ví dụ $\sqrt n $ có bậc là $\frac{1}{2},\,\,\sqrt[3]{{{n^4}}}$ có bậc là $\frac{4}{3},…$ Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tính $\lim \frac{{3{n^3} – 5{n^2} + 1}}{{2{n^3} + 6{n^2} + 4n + 5}}$. Lời giải $\lim \frac{{3{n^3} – 5{n^2} + 1}}{{2{n^3} + 6{n^2} + 4n + 5}} = \lim \frac{{3 – \frac{5}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{2 + \frac{6}{n} + \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{5}{{{n^3}}}}} = \frac{3}{2}$ Ví dụ 2: Tính $\lim \frac{{n + 2{n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}}$ Lời giải Ta có $\lim \frac{{n + 2{n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{{{n^2}}} – \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0.$ Giải nhanh : Dạng « bậc tử » $ < $ « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. Ví dụ 3: Tính $\lim \frac{{{n^7} + {n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}}$ Lời giải $\lim \frac{{{n^7} + {n^2}}}{{{n^3} + 3n – 1}} \approx \frac{{{n^7}}}{{{n^3}}} = {n^4} = + \infty $ Ví dụ 4: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n + b}}{{5n + 3}}$ trong đó $b$ là tham số thực. Để dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn, giá trị của $b$ bằng bào nhiêu Lời giải Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{2n + b}}{{5n + 3}} = \lim \frac{{2 + \frac{b}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = \frac{2}{5}\,\,\left( {\forall b \in \mathbb{R}} \right)$ Giải nhanh : $\frac{{2n + b}}{{5n + 3}} \sim \frac{{2n}}{{5n}} = \frac{2}{5}$ với mọi $b \in \mathbb{R}.$ Ví dụ 5: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}}.$ Để dãy số đã cho có giới hạn bằng $2$, giá trị của $a$ bằng bao nhiêu Lời giải $2 = \lim {u_n} = \lim \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} = \lim \frac{{4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}}{{a + \frac{5}{{{n^2}}}}} = \frac{4}{a}\,\,\left( {a\not = 0} \right) \Leftrightarrow a = 2.$ Giải nhanh : $2 \sim \frac{{4{n^2} + n + 2}}{{a{n^2} + 5}} \sim \frac{{4{n^2}}}{{a{n^2}}} = \frac{4}{a} \Leftrightarrow a = 2.$ Ví dụ 6: Tính giới hạn $L = \lim \frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right)\left( {2{n^3} + 1} \right)\left( {4n + 5} \right)}}{{\left( {{n^4} – 3n – 1} \right)\left( {3{n^2} – 7} \right)}}.$ Lời giải $L = \lim \frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right)\left( {2{n^3} + 1} \right)\left( {4n + 5} \right)}}{{\left( {{n^4} – 3n – 1} \right)\left( {3{n^2} – 7} \right)}} = \lim \frac{{\left( {1 + \frac{2}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)\left( {4 + \frac{5}{n}} \right)}}{{\left( {1 – \frac{3}{{{n^3}}} – \frac{1}{{{n^4}}}} \right)\left( {3 – \frac{7}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{{1.2.4}}{{1.3}} = \frac{8}{3}.$ Giải nhanh: $\frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right)\left( {2{n^3} + 1} \right)\left( {4n + 5} \right)}}{{\left( {{n^4} – 3n – 1} \right)\left( {3{n^2} – 7} \right)}} \sim \frac{{{n^2}.2{n^3}.4n}}{{{n^4}.3{n^2}}} = \frac{8}{3}.$ Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. • $A – B\,$ lượng liên hợp là $A + B$ • $\sqrt A – B$ lượng liên hợp là $\sqrt A + B$ • $\sqrt A – \sqrt B \,$ lượng liên hợp là $\sqrt A + \sqrt B \,$ • $\sqrt[3]{A} – B$ lượng liên hợp là $\left( {\sqrt[3]{{{A^2}}} + B\sqrt[3]{A} + {B^2}} \right)$ • $\sqrt[3]{A} + B\,\,$ lượng liên hợp là $\left( {\sqrt[3]{{{A^2}}} – B\sqrt[3]{A} + {B^2}} \right)$ 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tính $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 7} – \sqrt {{n^2} + 5} } \right)$ Lời giải $\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 7} – \sqrt {{n^2} + 5} } \right) = \lim \frac{{{n^2} + 7 – {n^2} – 5}}{{\sqrt {{n^2} + 7} + \sqrt {{n^2} + 5} }} = \lim \frac{2}{{\sqrt {{n^2} + 7} + \sqrt {{n^2} + 5} }} = 0$ Ví dụ 2. Tính $\lim \left( {\sqrt {{n^2} – n + 1} – n} \right)$ Lời giải . $\sqrt {{n^2} – n + 1} – n \sim \sqrt {{n^2}} – n = 0\xrightarrow[{}]{}$nhân lượng liên hợp : $\lim \left( {\sqrt {{n^2} – n + 1} – n} \right) = \lim \frac{{ – n + 1}}{{\sqrt {{n^2} – n + 1} + n}} = \lim \frac{{ – 1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = – \frac{1}{2}$ Giải nhanh : $\sqrt {{n^2} – n + 1} – n = \frac{{ – n + 1}}{{\sqrt {{n^2} – n + 1} + n}} \sim \frac{{ – n}}{{\sqrt {{n^2}} + n}} = – \frac{1}{2}.$ Ví dụ 3. Tính $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n} \right)$ Lời giải $\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n \sim \sqrt[3]{{ – {n^3}}} + n = 0\xrightarrow[{}]{}$nhân lượng liên hợp : $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n} \right) = \lim \frac{{{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^2} – {n^3}} \right)}^2}}} – n\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + {n^2}}} = \lim \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{1}{n} – 1} \right)}^2}}} – \sqrt[3]{{\frac{1}{n} – 1}} + 1}} = \frac{1}{3}.$ Giải nhanh : $\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + n = \frac{{{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^2} – {n^3}} \right)}^2}}} – n\sqrt[3]{{{n^2} – {n^3}}} + {n^2}}} \sim \frac{{{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{n^6}}} – n\sqrt[3]{{ – {n^3}}} + {n^2}}} = \frac{1}{3}.$ Ví dụ 4. Tính $\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right)} \right]$ Lời giải $\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) \sim \sqrt n \left( {\sqrt n – \sqrt n } \right) = 0\xrightarrow[{}]{}$nhân lượng liên hợp : $\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \lim \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}$ Giải nhanh : $\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \right) = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \sim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n + \sqrt n }} = \frac{1}{2}.$ Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ 1. Phương pháp Trong tính giới hạn $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ mà ${u_n};{v_n}$ là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho ${a^n}$ với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: $\lim {q^n} = 0$ với $\left| q \right| < 1.$ 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Tính $\lim \frac{{{3^n} – {{2.5}{n + 1}}}}{{{2{n + 1}} + {5^n}}}$ Lời giải Giải nhanh : $\frac{{{3^n} – {{2.5}{n + 1}}}}{{{2{n + 1}} + {5^n}}}\sim\frac{{ – {{2.5}^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = – 10$ Cụ thể : $\lim \frac{{{3^n} – {{2.5}{n + 1}}}}{{{2{n + 1}} + {5^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} – 10}}{{2.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 1}} = – 10.$ Ví dụ 2: Tính $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}$ Lời giải Giải nhanh : $\frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}\sim\frac{{{3^n}}}{{{4^n}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n}\xrightarrow[{}]{{}}0.$ Cụ thể : $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} – 8.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} – 3.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} + 1}} = \frac{0}{1} = 0.$ Ví dụ 3: Tính $\lim \frac{{{{\left( { – 1} \right)}n}{2{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}}$ Lời giải Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có: $\lim \frac{{{{\left( { – 1} \right)}n}{2{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}} = \lim {\left( { – 1} \right)^n}.\frac{2}{9}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0.$ Cách 2: Mẹo giải nhanh $\frac{{{{\left( { – 1} \right)}n}{2{5n + 1}}}}{{{3^{5n + 2}}}} \sim {\left( { – 1} \right)n}.{\left( {\frac{2}{3}} \right){5n}} = 0.$ Ví dụ 4: Tính $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}}.$ Lời giải Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có: $\frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} – 4.2{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} – \frac{3}{{{n^4}}}}}{{3.{{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} + 1}}$ (chia tử và mẫu cho ${n^4}$). Suy ra $\lim \frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} = \frac{0}{1} = 0.$ Cách 2: Mẹo giải nhanh $\frac{{{3^n} – {{4.2}^{n + 1}} – 3}}{{{{3.2}^n} + {4^n}}} \sim \frac{{{3^n}}}{{{4^n}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} = 0.$ Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc $\left( {0;20} \right)$ sao cho $\lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} – 1}}{{3 + {n^2}}} – \frac{1}{{{2^n}}}} $ là một số nguyên. Lời giải Ta có $\left\{ \begin{gathered} \lim \frac{{a{n^2} – 1}}{{3 + {n^2}}} = \lim \frac{{a – \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{3}{{{n^2}}} + 1}} = a \hfill \\ \lim \frac{1}{{{2^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \lim \sqrt {3 + \frac{{a{n^2} – 1}}{{3 + {n^2}}} – \frac{1}{{{2^n}}}} = \sqrt {3 + a} .$ Ta có $\left\{ \begin{gathered} a \in \left( {0;20} \right),\,\,a \in \mathbb{Z} \hfill \\ \sqrt {a + 3} \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.\xrightarrow[{}]{}a \in \left\{ {1;6;13} \right\}.$ Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1. Phương pháp Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là $\left| q \right| < 1.$ • Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) $S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + … = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$ • Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 $X = N,{a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}… = N + \frac{{{a_1}}}{{10}} + \frac{{{a_2}}}{{{{10}2}}} + \frac{{{a_3}}}{{{{10}^3}}} + … + \frac{{{a^n}}}{{{{10}^n}}} + …$ 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1,\,\, – \frac{1}{2},\,\,\frac{1}{4},\,\, – \frac{1}{8},…,{\left( { – \frac{1}{2}} \right){n – 1}},…$ Lời giải Theo đề cho ta có: ${u_1} = 1,\,\,q = – \frac{1}{2}.$ $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{2}{3}.$ Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn $a = 0,212121…$ (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Lời giải Cách 1: Giải bằng tự luận Ta có: $a = 0,212121…$ $\begin{gathered} \= 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + … \hfill \\ \= 21\left( {\frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^6}}} + …} \right) \hfill \\ \end{gathered} $ Tổng $S = \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \frac{1}{{{{10}^6}}} + …$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có ${u_1} = \frac{1}{{{{10}^2}}},\,\,q = \frac{1}{{{{10}^2}}}.$ $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{{\frac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 – \frac{1}{{{{10}^2}}}}} = \frac{1}{{99}}.$ Do đó $A = 21.\frac{1}{{99}} = \frac{7}{{33}}.$ Cách 3: Giải nhanh bằng máy tính Nhập vào màn hình $0,\left( {21} \right)$ và ấn phím $\boxed = $ ta được kết quả $\frac{7}{{33}}.$ Ví dụ 3: Tổng ${S_n} = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)2} + {\left( {0,9} \right)^3} + … + {\left( {0,9} \right){n – 1}} + …$ có kết quả bằng bao nhiêu? Lời giải $S = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)2} + {\left( {0,9} \right)^3} + … + {\left( {0,9} \right){n – 1}} + …$ Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có ${u_1} = 1,\,\,q = 0,9.$ $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 – 0,9}} = 10.$ Ví dụ 4: Cho $S = 1 + q + {q^2} + {q^3} + …,\,\,\left| q \right| < 1$ $\begin{gathered} T = 1 + Q + {Q^2} + {Q^3} + …,\,\,\left| Q \right| < 1 \hfill \\ E = 1 + qQ + {q^2}{Q^2} + {q^3}{Q^3} + … \hfill \\ \end{gathered} $ Biểu thị biểu thức $E$theo $S,T$ Lời giải • $S = 1 + q + {q^2} + {q^3} + …,\,\,\left| q \right| < 1$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có ${u_1} = 1,\,\,q = q.$ Khi đó: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 – q}} \Rightarrow q = \frac{{S – 1}}{S}.$ (1) • Tương tự: $T = \frac{1}{{1 – Q}} \Rightarrow Q = \frac{{T – 1}}{T}.$ (2) • $E = 1 + q.Q + {q^2}.{Q^2} + {q^3}.{Q^3} + …$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội $qQ$ (vì $\left| {qQ} \right| < 1$, và ${u_1} = 1$). $E = \frac{{{u_1}}}{{1 – qQ}}$ (3) Thay (1), (2) vào (3): $E = \frac{{{u_1}}}{{1 – \frac{{T – 1}}{T}.\frac{{S – 1}}{S}}} \Rightarrow E = \frac{{ST}}{{S + T – 1}}.$ Ví dụ 5: Tìm số hạng ${U_1}$ của cấp số nhân lùi vô hạn, biết $S = 4;\,\,q = \frac{1}{2}.$ Lời giải Ta có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right) \Rightarrow 4 – \frac{{{u_1}}}{{1 – \frac{1}{2}}} \Rightarrow {u_1} = 2.$ Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết $S = – 6;\,\,{U_1} = – 3.$ Lời giải Ta có: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right) \Rightarrow – 6 = \frac{{ – 3}}{{1 – q}} \Rightarrow q = \frac{1}{2}.$ Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn 1. Phương pháp
Ví Dụ: $A = \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}},n \geqslant 2,n \in N$ Ta phân tích : $\frac{1}{{k(k + 1)}} = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$.(1) Để tính $A$ ta thay $k$ từ $2,3,,n$ vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng
Ví dụ: $B = \frac{{{2^2} – 1}}{{{2^2}}} \cdot \frac{{{3^2} – 1}}{{{3^2}}} \ldots ,n \geqslant 2,n \in N$ Ta phân tích: $\frac{{{k^2} – 1}}{{{k^2}}} = \frac{{k – 1}}{k}:\frac{k}{{k + 1}}.(2)$ Để tính $B$ ta thay $k$ từ $2,3,,n$ vào biểu thức $(2)$ ta tính dễ dàng
Ví dụ: $C = 1.2.3 + 2.3.4 + \ldots 99.100.101$ Ta tách: $4k(k + 1)(k + 2):4 = k(k + 1)(k + 2)[(k + 3) – (k – 1)]\quad ,k \geqslant 1,k \in N$ $ = ( – (k – 1)k(k + 1)(k + 2) + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)):4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (3)$ Để tính $C$ ta thay $k$ từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính được dễ dàng Ví dụ: $D = 3.5.7 + 5.7.9 + \ldots + (2n + 1)(2n + 3)(2n + 5),n \geqslant 1,n \in N$ Ta tách: $(2k + 1)(2k + 3)(2k + 5) = (2k + 1)(2k + 3)(2k + 5)[(2k + 7) – (2k + 1)]:8$ $ = ((2k + 1)(2k + 3)(2k + 5)(2k + 7) – (2k – 1)(2k + 1)(2k + 3)$$(2k + 5)):8{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (4)$ Đề tính $D$ ta thay $k$ từ : $1,2,3,,n$ vào biều thức (4) ta tính dễ dàng 4 ) Đơn thức dạng lũy thừa Ví Dụ: Tính $E = {1^3} + {2^3} + \ldots + {n^3},\quad n \in N.n \geqslant 1$ Ta dùng hẳng đẳng thức : ${(x + 1)^3} = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1$. $x = 1\quad {2^3} = {1^3} \ldots + {3.1^2} + 3.1 + 1$ $x = 2\quad {3^3} = {2^3} \cdot + 3 \cdot {2^2} + 3 \cdot 2 + 1$ … $x = n\quad {(n + 1)^3} = {n^3} \ldots + 3 \cdot {n^2} + 3 \cdot n + 1$ Cộng vế theo vế ${(n + 1)^3} – {1^3} = 3\left( {{1^2} + {2^2} + \ldots + {n^2}} \right) + 3(1 + 2 + 3 + \ldots \ldots n) + n$ ${n^3} + 3{n^2} + 3n = 3E + \frac{{3n(n + 1)}}{2} + n$ $3E = {n^3} + 3{n^2} + 3n – \left( {\frac{{3 \cdot n(n + 1)}}{2} + n} \right)$$ = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{2}$ $ \Rightarrow $$E = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$ Ngoài ra ta có thể dự đoán được số hạng tổng quát, có thể kết hợp quy nạp để khẳng đinh. Có thể ùng vòng lặp MTCT để giải quyết các bài toán này. 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ${u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$. Tính $\lim {u_n}$ Lời giải Ta luôn có: $\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$ áp dụng vào ${u_n}:$ • ${u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}$ $ = \left( {\frac{1}{1} – \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{4}} \right) + … + \left( {\frac{1}{n} – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1 – \frac{1}{{n + 1}}$ Do đó: $\lim {u_n} = \lim \left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$ Ví dụ 2: Cho ${u_n} = \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + \frac{1}{{7.9}} + … + \frac{1}{{\left( {2n – 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}.$ Tính $\lim {u_n}$ Lời giải Ta luôn có: $\frac{1}{{\left( {2k – 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2k – 1}} – \frac{1}{{2k + 1}}} \right).$ ${u_n} = \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + \frac{1}{{7.9}} + … + \frac{1}{{\left( {2n – 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}$ $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{5}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{5} – \frac{1}{7}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{7} – \frac{1}{9}} \right) + … + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2n – 1}} – \frac{1}{{2n + 1}}} \right)$ $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{{2n + 1}}} \right).$ Do đó $\lim {u_n} = \lim \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{6}.$ Ví dụ 3: $\lim \frac{{1 + 2 + 3 + … + n}}{{2{n^2}}}$ bằng bao nhiêu? Lời giải Vì $1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ nên: $\lim \frac{{1 + 2 + 3 + … + n}}{{2{n^2}}} = \lim \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{4{n^2}}} = \frac{1}{4}.$ Ví dụ 4: Tính giới hạn: $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$ Lời giải Ta có: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{2^2} – 1}}{{{2^2}}}.\frac{{{3^2} – 1}}{{{3^2}}}…\frac{{{n^2} – 1}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{\left( {2 + 1} \right).\left( {2 – 1} \right).\left( {3 + 1} \right).\left( {3 – 1} \right)…\left( {n + 1} \right)\left( {n – 1} \right)}}{{{2^2}{{.3}^2}…{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$ Vậy $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \frac{1}{2}.$ Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy: $\left\{ \begin{gathered} {U_1} = 2 \hfill \\ {U_{n + 1}} = \frac{{{U_n} + 1}}{2};\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Lời giải Cách 1: Giải bằng tự luận Ta chứng minh dãy $\left( {{U_n}} \right)$ là bị chặn: $1 < {U_n} \leqslant 2.$ Dãy $\left( {{U_n}} \right)$ là dãy giảm. Thật vậy ta xét ${U_{k + 1}} < {U_k} \Leftrightarrow \frac{{{U_n} + 1}}{2} < {U_k}$$ \Leftrightarrow 2{U_k} > {U_k} + 1 \Leftrightarrow {U_k} > 1$ (đúng). Vậy dãy $\left( {{U_n}} \right)$ có giới hạn. Đặt $\lim {U_n} = a$. Ta có: $\lim \left( {{U_{n + 1}}} \right) = \lim \left( {\frac{{{U_n} + 1}}{2}} \right)$ hay $a = \frac{{a + 1}}{2} \Leftrightarrow a = 1.$ Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Khai báo: $1 \to X${biến đếm}; $2 \to A$ {giá trị ${u_1}$ } Ghi vào màn hình: $X = X + 1:A = \frac{{A + 1}}{2}$ Ấn $\boxed{CALC}$ và lặp lại phím $\boxed = $, quan sát ta thấy dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1. Vậy $\lim {U_n} = 1.$ Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy: $\left\{ \begin{gathered} {U_1} = \sqrt 2 \hfill \\ {U_{n + 1}} = \sqrt {2 + {U_n}} ;\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Lời giải Cách 1: Giải bằng tự luận Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn: $\sqrt 2 \leqslant {U_n} < 2$ (bằng phương pháp quy nạp). • ${U_1} = \sqrt 3 $ (đúng). • Giả sử ${U_k} \geqslant \sqrt 2 ,\,\,\forall k \geqslant 1.$ Ta có: ${U_{k + 1}} = \sqrt {2 + {U_k}} \geqslant \sqrt {2 + \sqrt 2 } > \sqrt 2 \,\,\left( {\forall k \geqslant 1} \right).$ Vậy ${U_k} \geqslant \sqrt 2 \,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$ Tương tự: ${U_n} < 2\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$ Ta chứng minh dãy $\left( {{U_n}} \right)$ là dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp). + ${U_1} = \sqrt 2 ;\,\,{U_2} = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \Rightarrow {U_1} < {U_2}.$ + Giả sử ${U_{k – 1}} < {U_k}\,\,\forall k \geqslant 2$. Ta xét ${U_k} < {U_{k + 1}};\,\,\forall k \in {\mathbb{N}^*}$ $ \Leftrightarrow {U_k} < \sqrt {2 + {U_m}} \Leftrightarrow U_k^2 < 2 + {U_k} \Leftrightarrow U_k^2 – {U_k} – 2 < 0$ $ \Leftrightarrow – 1 < {U_k} < 2$ (luôn đúng vì $\sqrt 2 < {U_k} < 2,\,\,\forall k \in {\mathbb{N}^*}$) Vậy dãy $\left( {{U_n}} \right)$ tăng; bị chặn trên nên có giới hạn, gọi $a = \lim {U_n} = \lim {U_{n + 1}}$. Ta có: $\lim {U_n} = \sqrt {2 + Lim{U_n}} \Leftrightarrow a = \sqrt {2 + a} \Leftrightarrow {a^2} = 2 + a$ $ \Leftrightarrow {a^2} – a – 2 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 2 \,(nhận)\, \hfill \\ a = – 1 \,(loại)\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính Khai báo: $1 \to X${biến đếm}; $\sqrt 2 \to A$ {giá trị ${u_1}$ } Ghi vào màn hình: $X = X + 1:A = \sqrt {2 + A} $ Ấn $\boxed{CALC}$ và lặp lại phím $\boxed = $, quan sát ta thấy dãy tăng và bị chặn dưới bởi 2. Vậy $\lim {U_n} = 2.$ Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy: $\left\{ \begin{gathered} {U_1} = 3 \hfill \\ {U_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{3}{{{U_n}}}} \right);\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Lời giải Ta có: ${U_n} > 0,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: ${U_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{3}{{{U_n}}}} \right) \geqslant \sqrt 3 ,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$ Vậy $\left( {{U_n}} \right)$ là dãy bị chặn dưới. Vì ${U_n} \geqslant \sqrt 3 \Rightarrow U_n^2 \geqslant 3 \Rightarrow {U_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{3}{{{U_n}}}} \right) \leqslant \frac{1}{2}\left( {{U_n} + \frac{{U_n^2}}{{{U_n}}}} \right)$ |
