\(\begin{array}{l} (i)\,\,\forall x,y \in A,x + y \in A\\ (ii)\,\forall \alpha \in R,\forall x \in A,\alpha x \in A \end{array}\) Show
Ví dụ: Cho \(A = {\rm{\{ }}({x_1};1)/{x_1} \in R{\rm{\} }}\). A có phải là không gian vectơ con của R2 không ? Giải: Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) \(\notin \) A Vậy, tính chất (ii) không thỏa nên A không phải là không gian vectơ con của R2. Ví dụ: Cho \(A = \left\{ {({x_1};{x_2}) \in {R^2}/{x_2} = 3{x_1}} \right\}\). A có phải là không gian vectơcon của R2 không ? Giải: \((i)\,Coi\,x = ({x_1};{x_2}) \in A,\,y = ({y_1};{y_2}) \in A\,\,thì\,{x_2} = 3{x_2}\,và\,{y_2} = 3{y_1}\) Suy ra: \(x + y = ({x_1} + {y_1};{x_2} + {y_2}) \in A\,\,vì\,{x_2} + {y_2} = 3({x_1} + {y_1})\) \((ii)\,\,Coi\,\alpha \in R,x = ({x_1};{x_2}) \in A\,thì\,{x_2} = 3x\) Suy ra: \(\alpha x = (\alpha {x_1};\alpha {x_2}) \in A\,vì\,\alpha {x_2} = 3(\alpha {x_1})\) Vậy, A là một không gian vectơ con của R2. Trong R2:
Trong R3:
Từ định nghĩa của không gian vectơ con, ta chứng minh được: Nếu A là không gian vectơ con của Rn thì A chứa vectơ không Vậy nếu A không chứa vecto không thì A không phải là không gian vectơ con. Ví dụ: A ={(x1; 1)} không phải là không gian con của R2 vì A không chứa vectơ không. 2. Không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ.Cho V là hệ gồm m vectơ trong Rn. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của m vectơ đó tạo thành một không gian con của Rn gọi là không gian sinh bởi V, ký hiệu \(\left\langle V \right\rangle \). Không gian \(\left\langle V \right\rangle \) có số chiều bằng số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ vectơ đó. Ví dụ: Cho hệ vectơ V = {(1;0;0),(0:1;0),(1;1;0)}. Tìm không gian con sinh bởi V và số chiều của không gian con này. Giải Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0) {(1;0;0),(0;1;0)} độc lập tuyến tính. Tổ hợp tuyến tính tùy ý của {(1; 0; 0), (0; 1; 0)} có dạng x1 (1; 0; 0) + x2 (0; 1; 0) = (x1 ; x2 ; 0) Related documents
Preview textHọc online tại: mapstudy Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 1 KHOÁ HỌC: ĐẠI SỐ - KỸ THUẬTChương 06: KHÔNG GIAN VECTOR - KHÔNG GIAN EUCLIDBÀI TẬP MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN VECTORBài 1. Tập V với các phép toán có phải là không gian véc tơ không? a) ( ) V = x y z x y z , , | , , với các phép toán xác định như sau: ( ) ( ) ( ) x y z , , + x y z , , = + + + x x y y z z , , ( ) ( )k x y z , , = k x k y k z , , b) ( ) \= = 2 1 2 1 2 V x x x , | x 0, x 0 với các phép toán xác định như sau: ( ) ( ) ( )+=1 2 1 2 1 1 2 2 x x , y y , x y x y , và ( ) ( )\=1 2 1 2 ,,kk k x x x x trong đó k là số thực bất kỳ. Lời giải:
của V không thỏa mãn: ( )a b + = + a b a b ,, V( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 + − 1 x y z , , = 0 1 x y z , , + − 1 x y z , , = 2 x y z , ,
Bài 2. Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của chúng:
( ) \= − + =3 1 2 3 1 2 3 E x x x , , |2 x 5 x 3 x 0.
n Px .
ij ji aa. Lời giải: Gợi ý: Các em xem live nhé Bài 3. Cho 12 VV ,là hai không gian véc tơ con của KGVT V. Chứng minh:
12 VV là KGVT con của V.
+ = + 1 2 1 2 1 1 2 2 V V : u u u | V u , V . Chứng minh +12 VVlà KGVT con của V.
12 , ,...,m v v v là hệ sinh của 1 V , 12 , ,...,n u u u là hệ sinh của 2
1 1 2 ,..., , , ,...,mn v v u u u là hệ sinh của + 12 VV.Lời giải:
12 x y V , V . Khi đó 1 x y V , và 2 x y V , . Vì 1 Vvà 2 Vlà các không gian véctơ con của V nên +1 x y V và +2 x y V . Vậy + 12 x y V V Tương tự nếu 12 x V V thì 12 kx V V đpcm. Học online tại: mapstudy Thầy Lê Tùng Ưng − ULT 2 Các ý khác chứng minh tương tự Bài 4. Cho 12 VV , là hai không gian véc tơ con của KGVT V. Ta nói 12 VV , là bù nhau nếu + = =1 2 1 2 V V V V ,0 V. Chứng minh rằng 12 VV , bù nhau khi và chỉ khi mọi véc tơ u của V có biểu diễn duy nhất dưới dạng ( )\= + 1 2 1 1 2 2 u u u ,, u V u V. Lời giải: Điều thuận, vì =+ 12 V V V nên mỗi vectơ xV có biểu diễn ( )\= + 1 2 1 1 2 2 x x x x V x , V. Ta đi chứng minh biểu diễn này là duy nhất. Giả sử: = + = + − = − 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 x x x x x ; x x , V x x , , V x x x x. Vì 12 VV , là các không gian véctơ con của V nên − − 1 1 1 2 2 2 x x V x , x V. Do đó − = − =1 1 2 2 1 2 x x x x V V 0. Vậy \==1 1 2 2 x x x , x và ta có biểu diễn đã cho là duy nhất. Điều ngược, nếu mọi véctơ x của V có biểu diễn duy nhất dưới dạng ( )\= + 1 2 1 1 2 2 x x x ,, x V x V thì \=+12 V V V. Ta chỉ cần chứng minh =12 VV 0. Thật vậy, giả sử 12 x V V , khi đó: \= + = +1 2 1 2 00V V V V x x x . Vì tính duy nhất của biểu diễn nên x = 0 , hay =12 VV 0Bài 5. Cho V là KGVT các hàm số xác định trên [ a , b ]. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) \= = − = = − − 12 V f x V f x | f x , x a b , , V f x V f x | f x , x a b , Chứng minh 12 VV , là bù nhau. Lời giải: Dễ dàng nhận thấy =12 VV 0. Với mỗi hàm ( )fx xác định trên ab , bất kỳ, đặt: ( )( ) ( )( )( ) ( )+ − − −\==,22f x f x f x f x g x h x thì ( ) ( )12 g x V h x , V và ( ) ( ) ( )f x =+ g x h x , nghĩa là \=+12 V V V.Bài 6. Trong KGVT V, cho hệ véctơ 1 2 + 1 , ,..., ,nn u u u u là phụ thuộc tuyến tính và 12 , ,...,n u u u là hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh n + 1 u là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ 12 , ,...,n u u u. Lời giải: Theo giả thiết: hệ véctơ 1 2 + 1 , ,..., ,nn u u u u là phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại ràng buộc tuyến tính không tầm thường: ++ + + + =1 1 2 2 1 1 ... 0nn u u u Nếu \=1 0n thì + + + =1 1 2 2 ... 0nn u u u. Vì 12 , ,...,n u u u là hệ độc lập tuyến tính nên = = = =12 ... 0n . Điều này mâu thuẫn với 1 2 + 1 , ,...,n không đồng thời bằng 0. Vậy 1 0n . Khi đó: ( ) \= − + + +1 1 1 2 2 1 1...n n n n u u u u Bài 7. Trong 3 xét xem các hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) ( ) ( )\= − = − −12 vv 4; 2; 6 , 6; 3; 9 b) ( ) ( ) ( )\= − = − = − −1 2 3 v 2; 3; 1 , v 3; 1; 5 , v 1; 3; 4 c) ( ) ( ) ( ) ( )\= = = − =1 2 3 4 v 1; 2; 3 , v 3; 6; 7 , v 3; 1; 3 , v 0; 4; 2 |
