Bài tập xét tính liên tục của hàm số năm 2024

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

• A 0
• B 1
• C 2
• D 3

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)\). Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Điểm đặc biệt của việc xét tính liên tục của hàm số không chỉ là vấn đề lý thuyết mà còn liên quan mật thiết đến thế giới thực, từ xây dựng các mô hình toán học đến các ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý, và nhiều lĩnh vực khác. Cùng Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa tìm hiểu bài toán xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp.

MỤC LỤC

1. Xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp

Tính liên tục của một hàm số là tính chất quan trọng trong toán học. Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại một điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

• f(a) được xác định: Điều này có nghĩa là giá trị của hàm số tại x = a không được bị định nghĩa.
• limx→a f(x) tồn tại: Điều này có nghĩa là giới hạn của hàm số khi x tiến dần đến a phải tồn tại.
• limx→a f(x) = f(a): Điều này có nghĩa là giới hạn của hàm số khi x tiến dần đến a phải bằng giá trị của hàm số tại x = a.

Nếu tất cả ba điều kiện trên đều đúng, thì hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a. Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

Ví dụ: Hãy xem xét hàm số f(x) = 1/x. Chúng ta sẽ xét tính liên tục của hàm số này tại mọi điểm x = a.

• f(a) được xác định: Hàm số f(x) = 1/x được xác định tại mọi điểm x ≠ 0, nên f(a) được xác định cho mọi a ngoại trừ a = 0.
• limx→a f(x) tồn tại: Giới hạn limx→a 1/x tồn tại cho mọi a ngoại trừ a = 0.
• limx→a f(x) = f(a): limx→a 1/x = 1/a, nếu a ≠ 0. Nếu a=0, thì limx→0 1/x không tồn tại (là vô hạn).

Vậy nên, hàm số f(x) = 1/x liên tục trên mọi khoảng chứa các số thực x ngoại trừ x = 0.

2. Lưu ý khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp

Khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp, có một số lưu ý quan trọng cần nhớ:

• Tính liên tục tại một điểm cụ thể: Một hàm số có thể liên tục tại một điểm nhất định mà không cần phải liên tục trên toàn bộ miền xác định. Điều này có nghĩa là bạn có thể xét tính liên tục của hàm số tại từng điểm riêng lẻ.
• Tính liên tục trên một khoảng: Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Điều này đòi hỏi hàm số phải liên tục tại các điểm biên của khoảng và liên tục ở giữa các điểm biên.
• Tính liên tục qua các phép toán: Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại một điểm x = a, thì các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia (nếu g(x) ≠ 0 của f(x) và g(x) cũng sẽ liên tục tại điểm x = a.
• Liên tục trên miền xác định: Một hàm số được gọi là liên tục trên miền xác định nếu nó liên tục tại mọi điểm trong miền đó. Điều này có nghĩa là hàm số phải liên tục tại mọi điểm trên đồ thị của nó, không chỉ tại các điểm giới hạn hoặc tại điểm cụ thể.
• Liên tục đồng đều: Một hàm số được gọi là liên tục đồng đều trên một khoảng nếu cho trước một số dương ε, luôn tồn tại một số dương δ sao cho nếu ∣x − a∣ < δ thì ∣f(x) − f(a)∣ < ε. Điều này đảm bảo rằng sự chênh lệch giữa giá trị của hàm số và giá trị dự đoán của nó có thể được giữ ở một mức độ chấp nhận được trên toàn bộ khoảng.

Những lưu ý này cung cấp một cách tiếp cận cơ bản khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp. Để xác định tính liên tục của một hàm số cụ thể, bạn sẽ cần áp dụng những nguyên tắc này vào từng trường hợp cụ thể.

3. Bài tập có đáp án khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp

Bài tập 1: Xác định miền liên tục của hàm số

Hãy xác định miền liên tục của hàm số f(x ) = 1 /x^2 – 4

Đáp án 1:

Hàm số trên không liên tục tại các giá trị x khi x^2 – 4 = 0, tức là x = 2 hoặc x = −2. Vì vậy, miền liên tục của hàm số là (−∞,−2) ∪ (−2,2) ∪ (2,+∞).

Bài tập 2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số

Hãy kiểm tra tính liên tục của hàm số g(x) = √x^2 – 1

Đáp án 2:

Hàm số trên không liên tục tại các giá trị x khi x^2 – 1 < 0, tức là x < −1 hoặc x > 1 vì không thể lấy căn bậc hai của một số âm. Vì vậy, hàm số g(x) liên tục trên khoảng (−1,1).

Bài tập 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục

Hãy tìm giá trị của tham số a sao cho hàm số h(x) = x^2 – 1 /x – a. liên tục trên toàn bộ miền xác định.

Đáp án 3:

Hàm số h(x) sẽ không có giá trị không xác định khi x − a = 0, nghĩa là x = a. Để hàm số h(x) liên tục trên toàn bộ miền xác định, ta cần a không được chấp nhận giá trị khi x = a. Do đó, để hàm số h(x) liên tục trên toàn bộ miền xác định, giá trị của a không được chọn.

Trên đây là các thông tin về bài toán xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp mà Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa muốn cung cấp đến cho bạn. Nếu quý vị cần thêm thông tin hoặc có bất kỳ câu hỏi nào, vui lòng gọi đến cho chúng tôi qua số HOTLINE 1900 2276.