Các dạng bài tập phương trình đường thẳng và parabol năm 2024

Tài liệu gồm 08 trang, bao gồm kiến thức cần nhớ, các dạng toán và bài tập chủ đề bài toán về đường thẳng và parabol trong chương trình môn Toán 9, có đáp án và lời giải chi tiết.

Lý thuyết. Cho đường thẳng d y mx n và Parabol P y ax a 0. Khi đó số giao điểm của d và P bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 2 ax mx n. Ta có bảng sau: Số giao điểm của d và (P) Biệt thức ∆ của phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) Vị trí tương đối của d và (P). 0 ∆ 0 d không cắt P. 1 ∆ 0 d tiếp xúc với P. 2 ∆ 0 d cắt P tại hai điểm phân biệt.
Bài tập.

File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG

Tài Liệu Toán 9

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

1. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ PARABOL (Dùng cho học sinh lớp 9 luyện thi vào lớp 10) h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN A. HÀM SỐ BẬC NHẤT  . KIẾN THỨC CẦN NHỚ………………………………………………………1 1. Định Nghĩa………………………………………………………………………..1 2. Tính Chất…………………………………………………………………………1 3. Đồ thị……………………………………………………………………………...1 4. Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục 𝐎𝐎𝐎𝐎………………………………...1 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và parabol…………1 B. BÀI TẬP………………………………………………………………………….2 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN…………………………………………………………..15 HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT  . KIẾN THỨC CẦN NHỚ……………………………………………………..16 Hàm số 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 với 𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎 Vị trí tương đối của của đường thẳng và parabol  . CÁC DẠNG BÀI TẬP………………………………………………………….18 DẠNG 1:TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ ( ) ( ) 2 0 y f x ax a = = ≠ TẠI 0 x x = ……18 DẠNG 2 : Vẽ đồ thị hàm số 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 ( 𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎) và tìm toạ độ giao điểm của parabol với đường thẳng…………………………………………………………………………………….19 DẠNG 3 : Sự tương giao của Parabol và đường thẳng bậc nhất……………….24 3.1 Dạng bài tương giao hệ thức chỉ chứa ẩn 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐………………………24 3.2 Dạng bài tương giao hệ thức chứa thêm ẩn 𝒚𝒚𝟏𝟏; 𝒚𝒚𝟐𝟐; 𝒎𝒎 và các hệ thức dạng đặc biệt, dạng nâng cao……………………………………….…………………47 DẠNG 4. Các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của Parabol và đường thẳng………………………………………………………………………………….....59 DẠNG 5 : Các bài toán liên quan đến tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng là các số nguyên…………………………………………………………………62 DẠNG 6 : Các bài toán tương giao liên quan đến độ dài, khoảng cách, diện tích, chu vi của tọa độ giao điểm…………………………………………………………….......66 h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
3. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 1 1/77 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN . KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1 Định nghĩa Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 trong đó 𝑎𝑎; 𝑏𝑏 là các số cho trước và 𝑎𝑎 ≠ 0. Đặc biệt, khi 𝑏𝑏 = 0 thì hàm có dạng 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎. 2 Tính chất Hàm số bậc nhất 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏(𝑎𝑎 ≠ 0) xác định với mọi giá trị của 𝑥𝑥 ∈ ℝ và: • Đồng biến trên ℝ khi 𝑎𝑎 > 0; - Ngịch biến trên ℝ khi 𝑎𝑎 < 0. 3 Đồ thị Đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏(𝑎𝑎 ≠ 0) là một đường thẳng: • Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 𝑏𝑏 • Song song với đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 nếu 𝑏𝑏 ≠ 0 và trùng với đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 nếu 𝑏𝑏 = 0. Số 𝑎𝑎 gọi là hệ số góc, số b gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 4 Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục Ox Gọi 𝛼𝛼 là góc tạo bởi đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏(𝑎𝑎 ≠ 0) và trục 𝑂𝑂𝑂𝑂. Nếu 𝑎𝑎 > 0 thì tan 𝛼𝛼 = 𝑎𝑎. (góc tạo bởi là góc nhọn) Nếu 𝑎𝑎 < 0, ta đặt 𝛽𝛽 = 180∘ − 𝛼𝛼. Khi đó tan 𝛽𝛽 = |𝑎𝑎|. (góc tạo bởi là góc tù) Tính 𝛽𝛽 rồi suy ra 𝛼𝛼 = 180∘ − 𝛽𝛽. 5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và parabol Cho các đường thẳng (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏(𝑎𝑎 ≠ 0) và (d') 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎′ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏′(𝑎𝑎′ ≠ 0). Khi đó : *) (𝑑𝑑) cắt (𝑑𝑑′) ⇔ 𝑎𝑎 ≠ 𝑎𝑎′ *) (𝑑𝑑)//(𝑑𝑑′) ⇔ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎′ và 𝑏𝑏 ≠ 𝑏𝑏′ . *) (𝑑𝑑) trùng (𝑑𝑑′) ⇔ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎′ và 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏′ . *) (d) vuông góc (𝑑𝑑′) ⇔ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎′ = −1. A. HÀM SỐ BẬC NHẤT B. BÀI TẬP h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
4. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 2 2/77 Bài 1: Cho các hàm số: ( ) 2 1 1 y mx m = + + và ( ) ( ) 1 3 2 y m x = − + a) Xác định m để hàm số (1) đồng biến, còn hàm số (2) nghịch biến. b) Xác định m để đồ thị của hàm số song song với nhau. c) Chứng minh rằng đồ thị ( ) d của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m . Lời giải a) Hàm số (1) đồng biến và hàm số (2) nghịch biến: ⇔ � 2𝑚𝑚 > 0 𝑚𝑚 − 1 < 0 ⇔ � 𝑚𝑚 > 0 𝑚𝑚 < 1 ⇔ 0 < 𝑚𝑚 < 1. b) Đồ thị của hai hàm số song song với nhau: ⇔ � 2𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 − 1 𝑚𝑚 + 1 ≠ 3 ⇔ � 𝑚𝑚 = −1 𝑚𝑚 < 1 ⇔ 𝑚𝑚 = −1. c) Viết lại hàm số (1) dưới dạng 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚(2𝑥𝑥 + 1) + 1. Ta thây với mọi giá trị của 𝑚𝑚, khi 𝑥𝑥 = − 1 2 thì 𝑦𝑦 = 1. Vậy đồ thị (𝑑𝑑) của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định là điểm 𝑀𝑀 �− 1 2 ; 1� . Bài 2. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 * y m x m = − + + a) Tìm m để đồ thị hàm số () cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 − . b) Tìm m để đồ thị hàm số ( ) * song song với đường thẳng 2 1 y x = − + c) Tìm m để đồ thị hàm số () vuông góc với đường thẳng 2 3 y x = − Lời giải a) Để đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −3 ⇒ 𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = −3 Ta có: −3 = (𝑚𝑚 − 3) ⋅ 0 + 𝑚𝑚 + 2 h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
5. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 3 3/77 ⇔ 𝑚𝑚 + 2 = −3 ⇔ 𝑚𝑚 = −5 Vậy với 𝑚𝑚 = −5 thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điêm có tung độ bằng −3 b) Để đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 2 song song với đường thẳng 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 1 ⇔ � 𝑚𝑚 − 3 = −2 𝑚𝑚 + 2 ≠ 1 ⇔ � 𝑚𝑚 = −2 + 3 𝑚𝑚 ≠ 1 − 2 ⇔ � 𝑚𝑚 = 1 𝑚𝑚 ≠ −1 ⇔ 𝑚𝑚 = 1(t/m) Vậy với 𝑚𝑚 = 1 thì đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 2 song song với đường thẳng 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 1 c) Để đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 2 vuông góc với đường thẳng 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 3 ⇔ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎′ = −1 ⇔ (𝑚𝑚 − 3) ⋅ 2 = −1 ⇔ 2𝑚𝑚 − 6 = −1 ⇔ 2𝑚𝑚 = 5 ⇔ m = 5 2 Vậy với m = 5 2 đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 2 vuông góc với đường thẳng 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 3 Bài 3 : a) (TS Hà Tĩnh 2019-2020) Tìm các giá trị của a và b để đường thẳng : d y ax b = + đi qua hai điểm ( ) 1;5 M và ( ) 2;8 N b) ( TS Hải Dương 2019-2020) Cho hai đường thẳng ( ) 1 : 2 5 d y x = − và ( ) 2 : 4 d y x m = − ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ( ) 1 d và ( ) 2 d cắt nhau tại một điểm trên trục hoành . Ox c) (TS Hải Phòng 2019-2020) Tìm các giá trị của tham số m đễ đồ thị hai hàm số ( ) 4 11 y m x = + + và 2 2 y x m = + + cắt nhau tại một điểm trên trục tung. d) (TS Thanh Hóa 2019-2020) Cho đường thẳng : d y ax b = + . Tìm , a b để đường thẳng ( ) d song song với đường thẳng ( ): 5 6 d y x = + ′ và đi qua điểm ( ) 2;3 A . Lời giải h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
6. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 4 4/77 a) Do đường thẳng (𝑑𝑑) qua điểm 𝑀𝑀(1; 5) nên ta có: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 5, (𝑑𝑑) qua điểm 𝑁𝑁(2; 8) ta có: 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 8. 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 là nghiệm của hệ � 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 5 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 8 ⇔ � 𝑎𝑎 = 3 𝑏𝑏 = 2. b) Thay 𝑦𝑦 = 0 vào phương trình 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 5 được: 2𝑥𝑥 − 5 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 2,5. (𝑑𝑑1) và (𝑑𝑑2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⇔ (𝑑𝑑2) đi qua điểm (2,5; 0) ⇔ 4 ⋅ 2,5 − 𝑚𝑚 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 10. Vậy 𝑚𝑚 = 10 là giá trị cần tìm. c) Do hai đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên � 𝑚𝑚 + 4 ≠ 1 11 = 𝑚𝑚2 + 2 ⇔ � 𝑚𝑚 ≠ −3 𝑚𝑚2 = 9 ⇔ � 𝑚𝑚 ≠ −3 𝑚𝑚 = ±3 ⇔ 𝑚𝑚 = 3. Vậy 𝑚𝑚 = 3 thì hai đồ thị hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung. d) Vi(𝑑𝑑)//(𝑑𝑑′) nên � 𝑎𝑎 = 5 𝑏𝑏 ≠ 6. Vì (d) đi qua 𝐴𝐴(2; 3) nên ta có: 3 = 5 ⋅ 2 + 𝑏𝑏 ⇒ 𝑏𝑏 = −7. Vậy 𝑎𝑎 = 5; 𝑏𝑏 = −7 ta có 𝑑𝑑: 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 7. Bài 4 ( TS Bình Định 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm ( ) 1; 3 M − . cắt các trục , Ox Oy lần lượt tại A và B . . a) Xác định tọa độ các điểm A và B theo k . b) Tính diện tích tam giác OAB khi 2 k = . Lời giải a) Do 𝑑𝑑 đi qua điểm 𝑀𝑀(1; −3) và có hệ số góc 𝑘𝑘 nên có phương trình 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘(𝑥𝑥 − 1) − 3 ⇔ 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 − 3, ở đây 𝑘𝑘 ≠ 0 vì 𝑑𝑑 cắt hai trục tọa độ. Cho 𝑥𝑥 = 0, thu được 𝑦𝑦 = −𝑘𝑘 − 3, suy ra 𝐵𝐵(0; −𝑘𝑘 − 3). Cho 𝑦𝑦 = 0, thu được 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘+3 𝑘𝑘 , suy ra 𝐴𝐴 � 𝑘𝑘+3 𝑘𝑘 ; 0�. Vậy 𝐴𝐴 � 𝑘𝑘+3 𝑘𝑘 ; 0� và 𝐵𝐵(0; −𝑘𝑘 − 3). h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
7. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 5 5/77 b) Khi 𝑘𝑘 = 2 thì 𝐴𝐴 � 5 2 ; 0� , 𝐵𝐵(0; −5). Tam giác 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 vuông tại 𝑂𝑂 có 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 5 2 và 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 5, từ đó 𝑆𝑆OAB = 1 2 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⋅ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 1 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 = 25 4 . Bài 5: (1.5 điểm) Cho hàm số 2 3 y x = − + có đồ thị ( ) 1 d và hàm số 1 y x = − có đồ thị ( ) 2 d a) Vẽ ( ) 1 d và ( ) 2 d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Xác định hệ số a và b biết đường thẳng ( ) 3 d : y ax b = + song song với ( ) 2 d và cắt ( ) 1 d tại điểm nằm trên trục tung. Lời giải a) Tập xác định của hàm số R Bảng giá trị 𝑥𝑥 0 1 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 3 3 1 𝑥𝑥 0 1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 −1 0 h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
8. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 6 6/77 b) Do (𝑑𝑑3) song song với đường thẳng (𝑑𝑑2) nên (𝑑𝑑3) có dạng: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏(𝑏𝑏 ≠ −1) (d1) cắt trục tung tại điểm (0; 3) Do (d3) cắt (d1) tại điểm nằm trên trục tung nên ta có: 3 = 0 + 𝑏𝑏 ⇔ 𝑏𝑏 = 3 Vậy phương trình đường thẳng (d3) là y = x + 3 Bài 6 : Cho hàm số ( ) y m 3 x 2 = − + có đồ thị là (d) a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3. Khi đó (d) tạo với trục Ox một góc nhọn hay góc tù. Vì sao? b) Tìm m để (d) cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. Lời giải a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3 khi: h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
9. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 7 7/77 0 = (𝑚𝑚 − 3) ⋅ (−3) + 2 ⇔ 3𝑚𝑚 = 11 ⇔ 𝑚𝑚 = 11/3 Khi đó (d) có phương trình là: 𝑦𝑦 = (11/3 − 3)𝑥𝑥 + 2 = 2/3𝑥𝑥 + 2 Có hệ số 𝑎𝑎 = 2/3 > 0 ⇒ (d) tạo với trục Ox một góc nhọn b) 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 + 2(𝑚𝑚 ≠ 3) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) và trục Ox, Oy và tam giác tạo thành là tam giác ⇒ 𝐴𝐴 � 2 3 − 𝑚𝑚 ; 0� , 𝐵𝐵(0; 2) Khi đó: 𝑂𝑂𝑂𝑂 = � 2 3 − 𝑚𝑚 � ; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 2 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 2 𝑂𝑂𝑂𝑂. 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 1 2 ⋅ � 2 3 − 𝑚𝑚 � ⋅ 2 = � 2 3 − 𝑚𝑚 � AOB vuông tại O Theo bài ra: 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4 ⇒ � 2 3 − 𝑚𝑚 � = 4 ⇔ 2|3 − 𝑚𝑚| = 1 ⇔ � 3 − 𝑚𝑚 = 1 2 3 − 𝑚𝑚 = −1 2 ⇔ � 𝑚𝑚 = 5 2 𝑚𝑚 = 7 2 Bài 7 : a) (TS Thừa Thiên Huế 2018-2019) Cho đường thẳng 𝑑𝑑: 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑛𝑛. Tìm các giá trị của 𝑚𝑚 và 𝑛𝑛 để đường thẳng 𝑑𝑑 đi qua điểm 𝐴𝐴(1; −1) và có hệ số góc bằng −3. b) (TS Hải Phòng 2017 ) Tìm tất cả các giá trị của 𝑚𝑚 để cả hai đường thẳng 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚 và 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥 − 1 cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 𝑥𝑥 = −1. h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
10. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 8 8/77 Lời giải a) Vì đường thẳng 𝑑𝑑 có hệ số góc bằng −3 nên ta có 𝑚𝑚 − 1 = −3 ⇔ 𝑚𝑚 = −2. Khi đó 𝑑𝑑: 𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 qua 𝐴𝐴(1; −1) nên ta có −1 = −3 ⋅ 1 + 𝑛𝑛 ⇔ 𝑛𝑛 = 2. Vậy 𝑚𝑚 = −2, 𝑛𝑛 = 2. b) Gọi 𝐴𝐴 là điểm thuộc trục hoành có hoành độ 𝑥𝑥 = −1. Khi đó 𝐴𝐴(−1; 0). Vì cả hai đường thẳng 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚 và 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥 − 1 đều cắt trục hoành tại 𝐴𝐴 nên � 2 ⋅ (−1) − 𝑚𝑚 = 0 (𝑚𝑚 + 1) ⋅ (−1) − 1 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = −2. Bài 8: Cho hàm số ( ) 2 1 4( y m x m m = + + + là tham số) có đồ thị là đường thẳng ( ) d . a) Tìm m để ( ) d đi qua điểm ( ) 1;2 A − . b) Tìm m để ( ) d song song với đường thẳng ( ) Δ có phương trình: 5 1 y x = + . c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng ( ) d luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải a) Ta có (𝑑𝑑) đi qua điểm 𝐴𝐴(−1; 2) ⇔ 2 = (2𝑚𝑚 + 1)(−1) + 𝑚𝑚 + 4. ⇔ 2 = −𝑚𝑚 + 3 ⇔ 𝑚𝑚 = 1. b) Ta có (𝑑𝑑)//(Δ) ⇔ � 2𝑚𝑚 + 1 = 5 𝑚𝑚 + 4 ≠ 1 ⇔ 𝑚𝑚 = 2. c) Giả sử 𝑀𝑀(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦0) là điểm cố định của đường thẳng (d). Khi đó ta có: 𝑦𝑦0 = (2𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥0 + 𝑚𝑚 + 4∀𝑚𝑚 ⇔ (2𝑥𝑥0 + 1)𝑚𝑚 + 𝑥𝑥0 − 𝑦𝑦0 + 4 = 0∀𝑚𝑚 ⇔ � 2𝑥𝑥0 + 1 = 0 𝑥𝑥0 − 𝑦𝑦0 + 4 = 0 ⇔ � 𝑥𝑥0 = − 1 2 𝑦𝑦0 = 7 2 h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
11. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 9 9/77 Vậy khi 𝑚𝑚 thay đổi đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định 𝑀𝑀 �− 1 2 ; 7 2 � Bài 9: Tìm giá trị của tham số 𝑘𝑘 để đường thẳng 𝑑𝑑1: 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 2 cắt đường thẳng 𝑑𝑑2: 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 3 − 𝑘𝑘 tại một điểm nằm trên trục hoành. Lời giải Ta thẫy hai đường thẳng 𝑑𝑑1; 𝑑𝑑2 luôn cắt nhau (vì −1 ≠ 2 ) • Đường thẳng 𝑑𝑑1 cắt trục hoành tại điểm 𝐴𝐴(2; 0) • Đường thẳng 𝑑𝑑2 cắt trục hoành tại điểm 𝐵𝐵 � 𝑘𝑘−3 2 ; 0� • Để hai đường thẳng 𝑑𝑑1; 𝑑𝑑2 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì 𝑘𝑘−3 2 = 2 ⇔ 𝑘𝑘 = 7. Bài 10: Cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 2 5; : 4 1 d y x d y x = + = − + cắt nhau tại I . Tìm m đế đường thẳng ( ) ( ) 3 : 1 2 1 d y m x m = + + − đi qua điểm I ? Lời giải Tọa độ 𝐼𝐼 là nghiệm của hệ � 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 5 𝑦𝑦 = −4𝑥𝑥 + 1 ⇔ � 𝑥𝑥 = −2 3 𝑦𝑦 = 11 3 Do (𝑑𝑑3) đi qua điểm 𝐼𝐼 nên 11 3 = −2 3 (𝑚𝑚 + 1) + 2𝑚𝑚 − 1 ⇔ 𝑚𝑚 = 4. Vậy 𝑚𝑚 = 4 là giá trị cần tìm. Bài 11 : a) (TS Bắc Kạn 2021-2022) Tìm , a b để đường thẳng ( ): d y ax b = + đi qua điểm ( ) 1;2 M và song song với đường thẳng ( ): 2 d y x = − + . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
12. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 10 10/77 b) (TS Bến Tre 2021-2022) Cho đường thẳng ( ) ( ) : 5 6 2021 d y m x = − + vói m là tham số. 1) Điểm ( ) 0;0 O có thuộc ( ) d không? Vì sao? 2) Tìm các giá trị của m đề ( ) d song song với đường thẳng: 4 5 y x = + . Lời giải a) Để '/ / d d thì 1 2 = −  ⇒  ≠  a b Phương trình đường thẳng ( ) ′ d có dạng: ( ): ′ = − + d y x b . Lại có ( ) (1;2) ′ ∈ M d nên thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ( ) ′ d ta có: 2 1 3( ) =− + ⇔ = b b tm Vậy 1, 3 = − = a b . b) 1) Thay 0 x = và 0 y = vào phương trình đương thẳng ( ) : (5 6) 2021 d y m x = − + ta được: 0 (5 6).0 2021 0 2021 m = − + ⇔ = (vô lý) Vậy (0;0) O không thuộc đường thẳng ( ) d . 2) Đường thằng ( ) d song song với đường thẳng 4 5 y x = + 5 6 4 2. 2021 ( ) 5 luôn đú m m ng − =  ⇔ ⇔ =  ≠  Vậy 2 m = thỏa mãn đề bài. Bài 12: Xác định hàm số y ax b = + , biết đồ thị ( ) d của nó đi qua ( ) 2;1,5 A và ( ) 8; 3 B − . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
13. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 11 11/77 Khi đó hãy tính: a) Vẽ đồ thị hàm số ( ) d vừa tìm được và tính góc α tạo bởi đường thẳng ( ) d và trục Ox ; b) Khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến đường thẳng ( ) d . Lời giải a) Vì (𝑑𝑑) đi qua 𝐴𝐴(2; 1,5) và 𝐵𝐵(8; −3) nên toạ độ của 𝐴𝐴 và 𝐵𝐵 phải thoả mãn phương trình 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏. Thay 𝑥𝑥 = 2; 𝑦𝑦 = 1,5 rồi lại thay 𝑥𝑥 = 8; 𝑦𝑦 = −3 vào phương trình 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ta được hệ phương trình: � 1,5 = 2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 −3 = 8𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⇔ � 𝑎𝑎 = − 3 4 𝑏𝑏 = 3 . Vậy hàm số cần xác định là 𝑦𝑦 = − 3 4 𝑥𝑥 + 3. b) Vẽ đồ thị hàm số Lâpp bảng 𝐱𝐱 0 4 𝑦𝑦 = − 3 4 𝑥𝑥 + 3. 3 0 h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
14. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 12 12/77 Đồ thị hàm số (d) là đường thẳng đi qua điểm 𝑃𝑃(0; 3) và 𝑄𝑄(4; 0) Xét △ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 vuông tại 𝑂𝑂 có: tan 𝑄𝑄1 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 3 4 ≈ tan 36∘ 52′ Suy ra 𝑄𝑄 �1 ≈ 36∘ 52. Do đó 𝛼𝛼 ≈ 180 − 36∘ 52′ = 143∘ 8′ . b) Vẽ 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥ 𝑃𝑃𝑃𝑃. Tam giác OPQ vuông tại O, có 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥ 𝑃𝑃𝑃𝑃. nên: 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 = 1 𝑂𝑂𝑃𝑃2 + 1 𝑂𝑂𝑄𝑄2 hay 1 ℎ2 = 1 32 + 1 42 = 25 144 . Do đó ℎ = � 144 25 = 2,4. Bài 13: Viết phương trình đường thẳng ( ) d có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm ( ) 2;1 M . Lời giải Gọi phương trình đường thẳng (𝑑𝑑) là 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Do đường thẳng (𝑑𝑑) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm 𝑀𝑀(2; 1) ta có � 𝑎𝑎 = 7 1 = 7.2 + 𝑏𝑏 ⇔ � 𝑎𝑎 = 7 𝑏𝑏 = −13 . Vậy 𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥 − 13. Lời giải Xét hàm số bậc nhất (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 3 − 𝑚𝑚 với 𝑚𝑚 là tham số và 𝑚𝑚 ≠ 1. a) Tìm 𝑚𝑚 để 𝑑𝑑 đi qua điểm 𝑀𝑀(−1; 4). Thay 𝑥𝑥 = −1; 𝑦𝑦 = 4 vào hàm số của 𝑑𝑑 ta có: 4 = (𝑚𝑚 − 1) ⋅ (−1) + 3 − 𝑚𝑚 ⇒ 𝑚𝑚 = 0 (thỏa mãn). Vậy 𝑚𝑚 = 0 thì 𝑑𝑑 đi qua điêm 𝑀𝑀(−1; 4). b) Tìm 𝑚𝑚 để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng 𝑑𝑑 là lớn nhất. Xét (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 3 − 𝑚𝑚(𝑚𝑚 ≠ 1). +) Khi 3 − 𝑚𝑚 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 3: (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 là đường thẳng đi qua gốc tọa độ 𝑂𝑂 nên khoảng cách từ 𝑂𝑂 đến đường thẳng 𝑑𝑑 bằng 0 . Bài 14 :Cho hàm số bậc nhất ( ) 1 3 y m x m = − + − với m là tham số và 1 m ≠ có đồ thị là đường thẳng d . a) Tìm m đế d đi qua điểm ( ) 1;4 M − . b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất. h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
15. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 13 13/77 +) Khi � 3 − 𝑚𝑚 ≠ 0 𝑚𝑚 − 1 ≠ 0 ⇔ � 𝑚𝑚 ≠ 3 𝑚𝑚 ≠ 1 Gọi 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 lần lượt là giao điểm của 𝑑𝑑 vói trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 và 𝑂𝑂𝑂𝑂. ⇒ 𝐴𝐴 = � 𝑚𝑚 − 3 𝑚𝑚 − 1 ; 0� ; 𝐵𝐵(0; 3 − 𝑚𝑚) ⇒ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = � 𝑚𝑚 − 3 𝑚𝑚 − 1 � ; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = |3 − 𝑚𝑚| = |𝑚𝑚 − 3|. Gọi 𝑂𝑂𝑂𝑂 là khoảng cách từ 𝑂𝑂 đến đường thẳng 𝑑𝑑. Áp dụng hệ thức lượng cho △ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 vuông tại 𝑂𝑂 có: 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 = 1 𝑂𝑂𝐴𝐴2 + 1 𝑂𝑂𝐵𝐵2 ⇒ 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 = � 𝑚𝑚 − 1 𝑚𝑚 − 3 � 2 + 1 (𝑚𝑚 − 3)2 ⇒ 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 = (𝑚𝑚 − 1)2 + 1 (𝑚𝑚 − 3)2 ⇒ 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 = 𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 + 2 (𝑚𝑚 − 3)2 = 𝑚𝑚2 − 6𝑚𝑚 + 9 + 4𝑚𝑚 − 12 + 5 (𝑚𝑚 − 3)2 = (𝑚𝑚 − 3)2 + 4(𝑚𝑚 − 3) + 5 (𝑚𝑚 − 3)2 = 5 (𝑚𝑚 − 3)2 + 4 𝑚𝑚 − 3 + 1 Đặt 𝑡𝑡 = 1 𝑚𝑚−3 (𝑡𝑡 ≠ 0) h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
16. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 14 14/77 ⇒ 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 = 5𝑡𝑡2 + 4𝑡𝑡 + 1 ⇒ 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 = 5 �𝑡𝑡 + 2 5 � 2 + 1 5 Vi �𝑡𝑡 + 2 5 � 2 ≥ 0, ∀𝑡𝑡 ≠ 0 ⇒ 5 �𝑡𝑡 + 2 5 � 2 + 1 5 ≥ 1 5 ⇒ 1 𝑂𝑂𝐻𝐻2 ≥ 1 5 ⇒ 𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ √5 Suy ra 𝑂𝑂𝑂𝑂 lớn nhất bằng √5 khi 𝑡𝑡 = − 2 5 ⇒ 1 𝑚𝑚−3 = − 2 5 ⇒ 𝑚𝑚 = 1 2 (thỏa mãn). Vậy 𝑚𝑚 = 1 2 thì khoảng cách từ gốc tọa độ 𝑂𝑂 đến đường thẳng 𝑑𝑑 là lớn nhất. Lời giải 1 Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng 𝑑𝑑1 và 𝑑𝑑2 là nghiệm của phương trình: 2𝑥𝑥 − 3 = −𝑥𝑥 ⇔ 3𝑥𝑥 = 3 ⇔ 𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑦𝑦 = −1. Vậy ta có 𝑑𝑑1 và 𝑑𝑑2 cắt nhau tại 𝐼𝐼(1; −1). Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì 𝑑𝑑3 đi qua 𝐼𝐼(1; −1) tức là 𝑥𝑥 = 1 thì 𝑦𝑦 = −1 thay vào phương trình của 𝑑𝑑3 ta có: −1 = 1 + 𝑚𝑚 ⇔ 𝑚𝑚 = −2. Vậy 𝑚𝑚 = −2 là giá trị cần tìm. 2 Xét 𝑑𝑑3: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 : Vởi 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚. Với 𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = −𝑚𝑚. Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ba đường thẳng 1 : 2 3 d y x = − ; 2 3 : ; : d y x d y x m = − = + với m là tham số. 1 Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy. 2 Tìm m để 3 d cắt hai trục , Ox Oy lần lượt tại hai điểm , A B phân biệt và diện tích của tam giác OAB bằng 8 . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
17. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 15 15/77 Vậy 𝑑𝑑3 cắt 𝑂𝑂𝑂𝑂 tại 𝐴𝐴(−𝑚𝑚; 0) và cắt 𝑂𝑂𝑂𝑂 tại 𝐵𝐵(0; 𝑚𝑚), ta có 𝑂𝑂𝑂𝑂 = |𝑚𝑚|; 𝑂𝑂𝑂𝑂 = | − 𝑚𝑚|. Theo bài ra ta có diện tích tam giác 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 bằng 8 ⇒ 1 2 𝑂𝑂𝑂𝑂. 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 8 ⇔ 1 2 |𝑚𝑚|. | − 𝑚𝑚| = 8 ⇔ 𝑚𝑚2 = 16 ⇔ 𝑚𝑚 = ±4. Vậy 𝑚𝑚 = ±4 là giá trị cần tìm. Bài 01: Cho hàm số 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 + 5)𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚 − 10 a) Với giá trị nào của 𝑚𝑚 thì 𝑦𝑦 là hàm số bậc nhất b) Với giá trị nào của 𝑚𝑚 thì hàm số đồng biến. c) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3) d) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9. e) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành. f) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1 g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi 𝑚𝑚. h) Tìm 𝑚𝑚 để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất Bài 02: Cho đường thẳng 𝑦𝑦 = (2𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 3 − 𝑚𝑚 (𝑑𝑑). Xác định 𝑚𝑚 để: a) Đường thẳng (𝑑𝑑) qua gốc toạ độ b) Đường thẳng (𝑑𝑑) song song vói đường thẳng 2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 5 c) Đường thẳng (𝑑𝑑) tạo với Ox một góc nhọn d) Đường thẳng (𝑑𝑑) tạo với Ox một góc tù e) Đường thẳng (𝑑𝑑) cắt Ox tại điểm có hoành độ 2 f) Đường thẳng (𝑑𝑑) cắt đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 3 tại một điểm có hoành độ là 2 g) Đường thẳng (𝑑𝑑) cắt đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 7 tại một điểm có tung độ y = 4 h) Đường thẳng (𝑑𝑑) đi qua giao điểm của hai đường thảng 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −8 và 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −8. Bài 03: Cho hàm số 𝑦𝑦 = (2𝑚𝑚 − 3)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − 5 a) Vẽ đồ thị hàm số với 𝑚𝑚 = 6 b) Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi 𝑚𝑚 thay đổi c) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân  BÀI TẬP TỰ LUYỆN h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
18. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 16 16/77 d) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45∘ e) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135∘ f) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30∘ , 60∘ g) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số cắt đường thẳng 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 4 tại một điểm trên 0y h) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số cắt đường thẳng 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 − 3 tại một điểm trên 0x Bài 04: Cho hàm số 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 3 a) Tìm điêu kiện của 𝑚𝑚 để hàm số luôn luôn nghịch biến . b) Tìm điều kiện của 𝑚𝑚 để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 . c) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 2; 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1 và 𝑦𝑦 = (𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 3 đông quy. d) Tìm 𝑚𝑚 để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2 Bài 05: Cho (d1): 𝑦𝑦 = 4𝑚𝑚𝑚𝑚 − (𝑚𝑚 + 5); (d2): 𝑦𝑦 = (3𝑚𝑚2 + 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 − 4 a) Tim 𝑚𝑚 để đồ thị (d1) đi qua M(2; 3) b) Chứng minh khi 𝑚𝑚 thay đổi thì 𝑑𝑑1 luôn đi qua một điểm 𝐴𝐴 cố định, 𝑑𝑑2 đi qua B cố định. c) Tính khoảng cách AB. d) Tìm 𝑚𝑚 để 𝑑𝑑1 song song với 𝑑𝑑2 e) Tìm 𝑚𝑚 để 𝑑𝑑1 cắt 𝑑𝑑2. Tìm giao điểm khi 𝑚𝑚 = 2 GHI CHÚ Dạng tìm điểm cố định của đồ thị hàm số Phương pháp giải: Để tìm điểm cố định của đường thẳng 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 phụ thuộc tham số ta làm như sau: • Gọi tọa độ điểm cố định là 𝑀𝑀(𝑥𝑥𝑜𝑜; 𝑦𝑦𝑜𝑜); • Tìm điều kiện để đẳng thức 𝑦𝑦𝑜𝑜 = 𝑎𝑎𝑥𝑥0 + 𝑏𝑏 luôn đúng khi tham số thay đối. Dạng toán ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Để tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm của hai trong ba đường thẳng và tìm điều kiện để giao điểm này thuộc đường thứ 3 . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
19. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 17 17/77 Hàm số 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 với 𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎 • Hàm số này có tập xác định ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ • Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 • Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0 • Nếu a > 0 thì y > 0∀x ≠ 0 +) y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. • Nếu a < 0 thì y < 0∀x ≠ 0 +) y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0. • Đồ thị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 (a ≠ 0) • Đồ thị của hàm số 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 (𝑎𝑎 ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O. • Nếu a > 𝟎𝟎 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị. • Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Vị trí tương đối của của đường thẳng và parabol Cho đường thẳng (d): 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏(𝑎𝑎 ≠ 0) và parabol (P): 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥2 (𝑘𝑘 ≠ 0). ✓ Tìm số giao điểm của (d) và (P) Khi đó : Xét phương trình 𝑘𝑘𝑥𝑥2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (1) • Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau. • Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. • Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau • Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và ( d ) chính là nghiệm của phương trình 𝑘𝑘𝑥𝑥2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏. ✓ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)  KIẾN THỨC CẦN NHỚ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
20. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 18 18/77 • Giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của 𝑥𝑥. Khi đó giá trị của 𝑥𝑥 chính là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Thay giá trị của x vào công thức hàm số của (d) (hoặc (𝑃𝑃) ) ta tìm ra tung độ giao điểm từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm. Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1) ✓ Hàm số chứa tham số. Tìm điều kiện của tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. • Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) từ đó vận dụng biệt thức delta và hệ thức Vi-et để giải bài toán với điều kiện cho sănn.. Bài 1 : Cho hàm số ( ) 2 3 2 y f x x = = 1 Hãy tính ( ) ( ) ( ) 2 2 ; 3 ; 5 ; 3 f f f f   − −       2 Các điểm ( ) ( ) ( ) 1 3 2;6 , 2;3 , 4; 24 , ; 4 2 A B C D   − − −     có thuộc đồ thị hàm số không Lời giải 1) Ta có: 𝑓𝑓(−2) = 3 2 ⋅ (−2)2 = 3 2 ⋅ 4 = 6; 𝑓𝑓(3) = 3 2 ⋅ 32 = 3 2 ⋅ 9 = 27 2 ; 𝑓𝑓(√5) = 3 2 ⋅ (√5)2 = 3 2 ⋅ 5 = 15 2 ; 𝑓𝑓 �− √2 3 � = 3 2 ⋅ �− √2 3 � 2 = 3 2 ⋅ 2 9 = 1 3 2) Thay tọa độ điểm 𝐴𝐴(2; 6) vào công thức hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2 Ta có 6 = 3 2 ⋅ 22 ⇔ 6 = 6 (thỏa mãn) Vậy điểm 𝐴𝐴(2; 6) thuộc đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2 +) Thay toạ độ điểm 𝐶𝐶(−4; −24) vào công thức hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2  CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1:TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ ( ) ( ) 2 0 y f x ax a = = ≠ TẠI 0 x x = h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
21. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 19 19/77 Ta có 24 = 3 2 ⋅ (−4)2 ⇔ −24 = 24 ( vô lí) Vậy điểm 𝐶𝐶(−4; −24) không thuộc đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2 +) Thay tọa độ điểm 𝐵𝐵(−√2; 3) vào công thức xác định hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2 Ta có 3 = 3 2 ⋅ (−√2)2 ⇔ 3 = 3 2 ⋅ 2 ( thỏa mãn) Vậy điểm 𝐵𝐵(−√2; 3) thuộc đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2 +) Thay toạ độ điểm 𝐷𝐷 � 1 √2 ; 3 4 � vào công thức xác định hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2 Ta có 3 4 = 3 2 ⋅ � 1 √2 � 2 ⇔ 3 4 = 3 4 (thỏa mãn) Vậy điểm 𝐷𝐷 � 1 √2 ; 3 4 � thuộc đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 2 𝑥𝑥2 Dạng 2 : Vẽ đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 ( 𝑎𝑎 ≠ 0) và tìm toạ độ giao điểm của parabol với đường thẳng. Bài 1 : a) Vē đồ thị hàm số P) y = và đường thẳng ( ) 2 y x d = − + . trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy. b) Tìm toạ độ giao điểm của ( ) P và ( ) d bằng phép tính. Lời giải a) Vẽ đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 (P) Lập bảng giá trị tương ứng giữa 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦. x −3 −2 −1 0 1 2 3 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 9 4 1 0 1 4 9 Đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 (P) là một Parabol có bề lõm quay xuống phía dưới và đi qua các điểm có toạ độ 𝑂𝑂(0; 0); 𝐴𝐴(1; 1); 𝐴𝐴′ (−1; 1); 𝐵𝐵(2; 4); 𝐵𝐵′ (−2; 4); 𝐶𝐶(3; 9); 𝐶𝐶′ (−3; 9) h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
22. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 20 20/77 +) Đường thẳng 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 2(𝑑𝑑) Cho x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ 𝐷𝐷(0; 2) ∈ 𝑂𝑂𝑂𝑂 y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ 𝐸𝐸(2; 0) ∈ 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⇒ Đường thẳng 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2(𝑑𝑑) đi qua 2 điểm D(0; 2) và E(2; 0) b) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 (P) và đường thẳng 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 2(𝑑𝑑) là nghiệm của hệ phương trình: � 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 2 ⇔ � 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 = −𝑥𝑥 + 2 ⇔ � 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0 • Giải phương trình: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0 (2) Ta có a + b + c = 1 + 1 + (−2) = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = −2 (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích và giải phương trình tích) +) Với 𝑥𝑥1 = 1 ⇒ 𝑦𝑦1 = 12 = 1 ⇒ 𝑀𝑀(1; 1) +) Với 𝑥𝑥2 = −2 ⇒ 𝑦𝑦2 = (−2)2 = 4 ⇒ 𝑁𝑁(−2; 4) • Vậy đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 (P) và đường thẳng 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 2 (d) cắt nhau tại 2 điểm 𝑀𝑀(1; 1) và 𝑁𝑁(−2; 4). Bài 2 : a) ( Thi Thử Yên Hòa Cầu Giấy – 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) ( ) : 2 5 2 6( d y m x m m = + + + là tham sô) và parabol ( ) 2 : P y x = . Khi 1 m = hãy xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng ( ) d và parabol ( ) P bằng phương pháp đại số. b) (TS An Giang 2021-2022) h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
23. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 21 21/77 Cho hai hàm số 2 y x = có đồ thị là parabol ( ) P và 2 y x = + có đồ thị là đường thẳng ( ) d . +) Vẽ đồ thị ( ) P và ( ) d trên cùng một hệ trục tọa độ. +) Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của ( ) P và ( ) d . Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (𝑑𝑑) và parabol (𝑃𝑃) là: 𝑥𝑥2 = (2𝑚𝑚 + 5)𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚 + 6 ⇔ 𝑥𝑥2 − (2𝑚𝑚 + 5)𝑥𝑥 − 2𝑚𝑚 − 6 = 0( ∗) a) Thay 𝑚𝑚 = 1 vào ( ∗), ta được phương trình: 𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 − 8 = 0 (𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = −7, 𝑐𝑐 = −8) Ta có: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 1 + 7 − 8 = 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là 𝑥𝑥1 = −1, 𝑥𝑥2 = 8. Với 𝑥𝑥1 = −1 ⇒ 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥1 2 = (−1)2 = 1. Với 𝑥𝑥2 = 8 ⇒ 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 2 = 82 = 64. Vậy với 𝑚𝑚 = 1, tọa độ giao điểm của đường thẳng (𝑑𝑑) và parabol (𝑃𝑃) là: (−1; 1) và (8; 64). b) +) Vẽ đồ thị ( ) P và ( ) d trên cùng một hệ trục tọa độ. • Vẽ đồ thị hàm số 2 y x = + . Đồ thị hàm số 2 y x = + là đường thẳng đi qua điểm (0;2) và điểm ( 1;1) − . • Vẽ đồ thị hàm số 2 y x = . Tập xác định: D =  . 1 0 a= > , hàm số đồng biến khi 0 x > , hàm số nghịch biến khi 0 x < . Bảng giá trị: x 2 − 1 − 0 1 2 2 y x = 4 1 0 1 4 Đồ thị hàm số 2 y x = là đường cong Parabol đi qua gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
24. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 22 22/77 +) Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của ( ) P và ( ) d . Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 x x = + . 2 2 0 x x ⇔ − − = 2 x ⇔ =, hoặc 1 x = − Với 2 4 x y = ⇒ = . Với 1 1 x y =− ⇒ = . Vậy toạ độ giao điểm của Parabol ( ) P và đường thẳng d là: (2;4) và ( 1;1 − ). Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 𝑥𝑥2 = −𝑥𝑥 + 6 ⇔ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 6 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 2 hay 𝑥𝑥 = −3 Ta có y(2) = 4; 𝑦𝑦(−3) = 9. Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là B(2; 4) và A(−3; 9) Bài 3 : ( TS Hà Nội 2014-2015 ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) d : y x 6 = − + và parabol ( ) P 2 y x = . a) Tìm tọa độ các giao điểm của ( ) d và ( ) P . b) Gọi , A B là hai giao điểm của ( ) d và ( ) P . Tính diện tích tam giác OAB. h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
25. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 23 23/77 b) Gọi A′ , B′ lân lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành. Ta có 𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴′𝐵𝐵′𝐵𝐵 − 𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝐴𝐴′ − 𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 Ta có A′ B′ = |xB′ − xA′| = xB′ − xA′ = 5, AA′ = yA = 9, BB′ = yB = 4 Diện tích hình thang : SAA′B′B = AA′+BB′ 2 ⋅ A′ B′ = 9+4 2 ⋅ 5 = 65 2 (dvdt) S△OAA = 1 2 A′ A ⋅ A′ O = 27 2 (dvdt); S△OBB = 1 2 B′ B ⋅ B′ O = 4(dvdt) ⇒ S△OAB = SAA′B′B − S△OAA′ − S△OBB = 65 2 − � 27 2 + 4� = 15(dvdt) 3.1 Dạng bài tương giao hệ thức chỉ chứa ẩn 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐. Dạng 3 : Sự tương giao của Parabol và đường thẳng bậc nhất. Phương pháp giải : +) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (Parabol) và đường thẳng. +) Sử dụng hệ thức Viet biến đổi biểu thức đã cho xuất hiện tổng và tích từ đó thay thế vào biểu thức cần tìm. Các hệ thức thường gặp : h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
26. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 24 24/77 Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝒫𝒫) và (𝑑𝑑) : Bài 1 ( TS Hà Nội 2021-2022) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ): d y = 2 2 x m + − . Tìm tất cả giá trị của m để ( ) d cát ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho 1 2 2 x x − = . 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2 = (𝑥𝑥1 2 + 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 2) − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑆𝑆2 − 2𝑃𝑃 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = ±�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ±�𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = ±�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ±�𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃 𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) = ±(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ±𝑆𝑆�𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃 𝑥𝑥1 3 + 𝑥𝑥2 3 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 2) = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)[(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2] = 𝑆𝑆(𝑆𝑆2 − 3𝑃𝑃) 𝑥𝑥1 4 + 𝑥𝑥2 4 = (𝑥𝑥1 2)2 + (𝑥𝑥2 2)2 − 2𝑥𝑥1 2 𝑥𝑥2 2 = [(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2]2 − 2𝑥𝑥1 2 𝑥𝑥2 2 = (𝑆𝑆2 − 2𝑃𝑃)2 − 2𝑃𝑃2 1 𝑥𝑥1 + 1 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑆𝑆 𝑃𝑃 1 𝑥𝑥1 − 1 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ±�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ± √𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃 𝑃𝑃 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ± (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ± 𝑆𝑆√𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃 𝑃𝑃 𝑥𝑥1 3 − 𝑥𝑥2 3 = (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 2) = (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)[(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2] = �±�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2� [(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2] = ± ��𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃� [𝑆𝑆2 − 𝑃𝑃] 𝑥𝑥1 4 − 𝑥𝑥2 4 = (𝑥𝑥1 2)2 − (𝑥𝑥2 2)2 = (𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2)(𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 2) = ±(𝑆𝑆2 − 2𝑃𝑃) �𝑆𝑆�𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃�  BÀI TẬP MINH HỌA h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
27. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 25 25/77 𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − 2 ⇔ 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚 + 2 = 0. Để (𝒫𝒫) cắt (𝑑𝑑) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, tức Δ′ > 0. Điều này tương đương với 1 − (−𝑚𝑚 + 2) > 0, hay 𝑚𝑚 > 1. Lúc này, theo định lý Viet, ta có 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2 và 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −𝑚𝑚 + 2. Do đó (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4 − 4(−𝑚𝑚 + 2) = 4(𝑚𝑚 − 1). Suy ra, để |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2| = 2 thì ta phải có 4(𝑚𝑚 − 1) = 4, tức 𝑚𝑚 = 2 (thỏa mãn 𝑚𝑚 > 1). Vậy, có duy nhất một giá trị 𝑚𝑚 thỏa mãn yêu cầu đề bài là 𝑚𝑚 = 2. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và ( ) d là 2 2 2 2 1 2 2 1 0 (1) x mx x mx = + ⇔ − −= 2 2 ' ( ) 2.( 1) 2 0 m m ∆ = − − − = + > với mọi giá trị của m Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . Suy ra ( ) d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m . Theo định lí Vi ét ta có: 1 2 1 2 (2) 1 (3) 2 x x m x x + =    = −   Ta có 1 2 x x < mà 1 2 1 0 2 x x − = < suy ra 1 2 0 x x < < Khi đó 2 1 2021 x x − = 2 1 ( ) 2021 x x ⇔ − − = 2 1 2021 x x ⇔ + = 2021 m ⇔ = Bài 2 : ( TS Bình Thuận 2021-2022) Cho hàm số 2 2 y x = có đồ thị ( ) P Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ): 2 1 d y mx = + cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 x x < và 2 1 2021 x x − = . Bài 3 (TS Đắk Lắk 2021-2022) :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parapol 2 ( ) : P y x = và đường thẳng ( ) : 2( 1) 3 d y m x m = − − + . Gọi 1 2 , x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng ( ) d và Parapol ( ) P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 2 M x x = + . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
28. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 26 26/77 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và ( ) d là: 2 2( 1) 3 0(*) x m x m − − + − = Vì 1 2 , x x là hoành độ giao điểm của ( ) P và ( ) d nên 1 2 , x x là nghiệm của phương trình (*). Do đó 2 2 * 3 7 ( 1) ( 3) 0 0 2 4 m m m ′   ∆ = − − − ≥ ⇔ − + ≥     (luôn đúng) Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2 1 2 2( 1) 3 x x m x x m  + = −  = −  . Khi đó: ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 15 15 2 4( 1) 2 ( 3) (4 5) 4 4 4 M x x x x x x m m m = + = + − = − − ⋅ − = − + ≥ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 5 4 m = Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 15 4 khi 5 4 m = Lời giải Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho 3 3 1 2 68 x x + = . PT hoành độ giao điểm: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0(*) 2 2 x x m m x x m m = + + + ⇔ − − − − = Bài 4 : ( TS Hậu Giang 2021-2022) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số 2 1 2 y x = có đồ thị (P) và đường thẳng d có phương trình 2 1 1, 2 y x m m = + + + với m là tham số. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho 3 3 1 2 68 x x + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
29. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 27 27/77 Để đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 2 ' 0 2 3 0 1 2 0 m m m ⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔ + + > Do ( ) 2 1 0 m m + ≥ ∀ nên ( ) 2 1 2 0 m m + + > ∀ , do đó pt (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ⇒ đường thẳng d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x Khi đó áp dụng ĐL Viet ta có: 1 2 2 1 2 2 2 2 x x x x m m + =   = − − −  Theo bài ra ta có: 3 3 1 2 68 x x + = ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 3 68 2 3 2 2 .2 68 6 12 48 0 6 8 0(**) x x x x x x m m m m m m ⇔ + − + = ⇔ − − − − = ⇔ + − = ⇔ + − = PT (**) có hai nghiệm phân biệt 1 2 2; 4. m m = = − Lời giải Với 1 m ≠ : ( ) d cắt ( ) P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 x và 2 x nên 1 x và 2 x là nghiệm của phương trình(*). Do 1 x là nghiệm của phương trình(*) nên ta có: Với 1 m ≠ : ( ) d cắt ( ) P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 x và 2 x nên 1 x và 2 x là nghiệm của phương trình(*). Do 1 x là nghiệm của phương trình(*) nên ta có: Bài 5 ( TS Khánh Hòa 2021-2022) : Trên mặt phẳng tọa độ, cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m2 – 2m (m: tham số).Xác định tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 và x2 thỏa mãn 2 1 2 3m x 2x + = h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
30. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 28 28/77 Với 1 m ≠ : ( ) d cắt ( ) P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 x và 2 x nên 1 x và 2 x là nghiệm của phương trình(*): 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚2 + 2𝑚𝑚 = 0 Do 1 x là nghiệm của phương trình(*) nên ta có: ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 0 2 2 x x m m x x m m − + − + = ⇔ = + − 2 1 2 2 1 2 2 3 2 2 2 3 x x m x m m x m + = ⇔ + − + = ⇔ 𝑚𝑚2 − 5𝑚𝑚 + 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = 0 ⇔ 𝑚𝑚2 − 5𝑚𝑚 + 4 = 0 ⇔ (𝑚𝑚 − 1)(𝑚𝑚 − 4) = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 1 (loại) hoặc 𝑚𝑚 = 4 (nhận) Vậy 𝑚𝑚 = 4. Lời giải a) Tìm m để ( ) d đi qua điểm ( ) 1; 9 A − Đường thẳng ( ) 2 : 3 1 d y mx m = + − đi qua điểm ( ) 1; 9 A − 2 2 2 9 3 .1 1 3 9 1 0 3 10 0 m m m m m m ⇒ − = + − ⇔ − − − = ⇔ − − = Phương trình có ( ) 2 3 4.10 49 0 ∆ = − + = > Theo hệ thức Vi-ét ta có 1 2 2 x x + = . Bài 6 : ( TS Thái Bình 2021-2022) Cho Parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ) 2 : 3 1 d y mx m = + − (m là tham số) a) Tìm m để ( ) d đi qua điểm ( ) 1; 9 A − b) Tìm m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt của hoành độ 1 2 ; x x Thỏa mãn 1 2 1 2 2 x x x x + = h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
31. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 29 29/77 ⇒Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 3 49 5 2 3 49 2 2 m m  + = =    − = = −   Vậy 2 m = − hoặc 5 m = để thỏa mãn bài toán c) Tìm m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt của hoành độ 1 2 ; x x Thỏa mãn 1 2 1 2 2 x x x x + = . Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: ( ) 2 2 2 2 3 1 3 1 0 * x mx m x mx m = + − ⇔ − + − = để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt của hoành độ 1 2 ; x x ( ) * có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 3 4 1 0 9 4 4 0 5 4 0 m m m m m m ⇔ ∆ > ⇔ − − > ⇔ − + > ⇔ + > ∀ ⇒ Với mọi giá trị của m thì ( ) d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt của hoành độ 1 2 ; x x Áp dụng hệ thức Viet với phương trình (*) ta có: 1 2 2 1 2 3 1 x x m x x m + =   = −  Theo đề bài ra ta có: ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 3 0 2 3 2 0 x x x x m m m m m m + = ⇔ = − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇒Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 3 25 2 2.2 3 25 1 2.2 2 m m  + = =    − = = −   h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
32. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 30 30/77 Vậy 1 2 m = − hoặc 2 m = để thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2 − 1 = 0(1) Để (𝑑𝑑) luôn cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với ∀𝑚𝑚 Ta có : � 𝑎𝑎 = 1 ≠ 0 Δ′ = �𝑏𝑏 ′ � 2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 > 0 ∀𝑚𝑚 Xét Δ′ = 𝑚𝑚2 − �𝑚𝑚2 − 1� = 𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚2 + 1 = 1 > 0,∀𝑚𝑚 Vậy (𝑑𝑑) luôn cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt b) Tìm tất cả giá trị của m để (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mān 1 𝑥𝑥1 + 1 𝑥𝑥2 = −2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 1 (2) Ta có 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 ≠ 0 ⇒ 𝑚𝑚2 − 1 ≠ 0 ⇒ 𝑚𝑚 ≠ ±1 Hai nghiệm của phương trình : 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 − 1; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 1 Biến đối biểu thức (2) ta có : 1 𝑥𝑥1 + 1 𝑥𝑥2 = −2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 1 ⇒ 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −2+𝑥𝑥1𝑥𝑥2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 ⇒ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 Thay 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 − 1; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 1 vào biểu thức 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 ta có : 𝑚𝑚 − 1 + 𝑚𝑚 + 1 = −2 + (𝑚𝑚 − 1)(𝑚𝑚 + 1) ⇒ 𝑚𝑚2 − 1 − 2 = 2𝑚𝑚 ⇔ 𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 − 3 = 0 ⇔ (𝑚𝑚 − 3)(𝑚𝑚 + 1) = 0 ⇔ � 𝑚𝑚 − 3 = 0 𝑚𝑚 + 1 = 0 ⇔ � 𝑚𝑚 = 3 𝑚𝑚 = −1(𝐿𝐿) Kết Luận : Với 𝑚𝑚 = 3 thỏa mān yêu cầu bài toán Bài 7 : Cho (Parabol) (P) có phương trình 2 y x = và đường thẳng (d) có phương trình 2 2 1 y mx m = − + . a) Chứng minh rằng (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả giá trị của m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 2 1 x x x x − + = + . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
33. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 31 31/77 Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) : 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 5 ⇔ 𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 5 = 0 Ta có tích hệ số 𝑎𝑎𝑎𝑎 = −5 < 0 nên phương trình hoành độ giao điểm luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚 hay đường thẳng (𝑑𝑑) cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt với mọi 𝑚𝑚. Theo hệ thức Vi-ét ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −5 Ta có: |𝑥𝑥1| > |𝑥𝑥2| ⇔ 𝑥𝑥1 2 > 𝑥𝑥2 2 ⇔ 𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 2 > 0 ⇒ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) > 0 Theo giả thiết: 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 < 0 do đó 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 < 0 ⇔ 𝑚𝑚 < 0. Vậy 𝑚𝑚 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (𝑑𝑑) và parabol (𝑃𝑃), ta có −𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 − 3𝑚𝑚 ⇔ 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 3𝑚𝑚 = 0 (∗) Phương trình (∗) có Δ′ = 12 − 1 ⋅ (−3𝑚𝑚) = 1 + 3𝑚𝑚. Để đường thẳng (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 Bài 8 ( TS Hà Nội 2017-2018) Cho đường thẳng : 5 d y mx = + . a) Chứng minh rằng d luôn đi qua điểm (0;5) A với mọi giá trị của m b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol 2 ( ) : P y x = tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ( ) 1 2 1 2 , x x x x < Bài 9 ( TS Vĩnh Long 2019-2020) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hàm số 2 y x = − có đồ thị ( ) P . Tìm giá trị của m để đường thẳng ( ): 2 3 d y x m = − (với m là tham số) cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ là 1 2 , x x thỏa mān ( ) 2 1 2 2 1 3 2 6 x x x m x + − = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
34. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 32 32/77 ⇔ � 𝑎𝑎 ≠ 0 Δ′ > 0 ⇔ � 1 ≠ 0 1 + 3𝑚𝑚 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 > − 1 3 . Theo hệ thức Vi-ét ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −3𝑚𝑚 Theo bài ra ta có: 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 2 + 𝑥𝑥2(3𝑚𝑚 − 2𝑥𝑥1) = 6 ⇔ (𝑥𝑥1𝑥𝑥2)𝑥𝑥2 + 3𝑚𝑚𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 6 ⇔ −3𝑚𝑚𝑥𝑥2 + 3𝑚𝑚𝑥𝑥2 − 2 ⋅ (−3𝑚𝑚) = 6 ⇔ 6𝑚𝑚 = 6 ⇔ 𝑚𝑚 = 1(tm) Vậy 𝑚𝑚 = 1 là giá trị cần tìm. Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (𝑃𝑃) và đường thẳng (𝑑𝑑) là 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚 − 1 = 0 (1). a) Parabol (𝑃𝑃) cắt đường thẳng (𝑑𝑑) tại hai điểm phân biệt ⇔ Δ = 9 − 4(2𝑚𝑚 − 1) = 13 − 8𝑚𝑚 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 < 13 8 ( ∗). b) Với 𝑚𝑚 < 13 8 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2. Khi đó, theo hệ thức Vi-et, ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 3 (2) 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 − 1 (3) . Do |𝑥𝑥1| = 2|𝑥𝑥2| nên 𝑥𝑥1 = 2𝑥𝑥2 hoặc 𝑥𝑥1 = −2𝑥𝑥2. Trường hợp 1: 𝑥𝑥1 = 2𝑥𝑥2. Kết hợp với (2) ta được 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = 1. Thay 𝑥𝑥1 = 2; 𝑥𝑥2 = 1 vào (3) ta tìm được 𝑚𝑚 = 3 2 (thỏa mãn ( ∗) ). Trường hợp 2: 𝑥𝑥1 = −2𝑥𝑥2. Kết hợp với (2) ta được 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = −3. Thay 𝑥𝑥1 = 6; 𝑥𝑥2 = −3 vào (3) ta tìm được 𝑚𝑚 = −17 2 ( thỏa mãn ( ∗) ). Vậy 𝑚𝑚 ∈ � 3 2 ; −17 2 �. Bài 10 : Cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ): 3 2 1 d y x m = − + trong mặt phẳng tọa độ Oxy . a) Tìm giá trị của m để parabol ( ) P cắt đường thẳng ( ) d tại hai điểm phân biệt. b) Gọi 1 x và 2 x là hoành độ giao điểm của parabol ( ) P và đường thẳng ( ) d . Tìm giá trị của m sao cho 1 2 2 x x = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
35. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 33 33/77 Lời giải a) Phương trình hoành độ (𝑑𝑑) và 𝑃𝑃 ) là 𝑥𝑥2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎 = 0 Khi 𝑎𝑎 = − 1 2 thì phương trình trở thành 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 2 = 0 Có 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm là 𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 = 2. b) Phương trình hoành độ (𝑑𝑑) và 𝑃𝑃) là 𝑥𝑥2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎 = 0 ( ∗) để đường thẳng (𝑑𝑑) cắt 𝑃𝑃 ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ′ = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 4) > 0 ⇒ � 𝑎𝑎 < 0 𝑎𝑎 > 4 Với � 𝑎𝑎 < 0 𝑎𝑎 > 4 theo Viét ta có � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2𝑎𝑎 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4𝑎𝑎 Vi|𝑥𝑥1| + |𝑥𝑥2| = 3 ⇔ (|𝑥𝑥1| + |𝑥𝑥2|)2 = 9 ⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 2|𝑥𝑥1𝑥𝑥2| = 9 ⇒ 4𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎 + |8𝑎𝑎| = 9 Với 𝑎𝑎 < 0: 4𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎 + |8𝑎𝑎| = 9 ⇔ 4𝑎𝑎2 − 16𝑎𝑎 − 9 = 0 ⇒ 𝑎𝑎 = −1 2 Vói 𝑎𝑎 > 4: 4𝑎𝑎2 − 8𝑎𝑎 + |8𝑎𝑎| = 9 ⇔ 4𝑎𝑎2 = 9 ⇒ � 𝑎𝑎 = 3 2 ∉ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎 = −3 2 ∉ 𝑑𝑑𝑑𝑑 Vậy 𝑎𝑎 = − 1 2 . Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) Bài 11: Cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ): 2 4 d y ax a = − − (với a là tham số ) a) Tìm tọa độ giao điểm của ( ) d và ) P khi 1 2 a = − . b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng ( ) d cắt P ) taị hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ; x x thỏa mãn 1 2 3 x x + = . Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ): 3 1 d y x m = + − và parabol ( ) 2 : P y x = a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt vói mọi m . b) Gọi 1 2 , x x là hoành độ các giao điểm của ( ) d và ( ) P . Tìm m để ( )( ) 1 2 1 1 1 x x + + = h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
36. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 34 34/77 𝑥𝑥2 = 3𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 − 1 ⇔ 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 𝑚𝑚2 + 1 = 0(∗) Δ = 9 + 𝑚𝑚2 − 1 = 8 + 𝑚𝑚2 > 0∀𝑚𝑚 Suy ra phương trình ( ∗) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚 hay (𝑑𝑑) luôn cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt với mọi 𝑚𝑚. b) Ta có: (𝑥𝑥1 + 1)(𝑥𝑥2 + 1) = 1 ⇔ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥1) = 0(∗∗) Áp dụng hệ thức Vi-et cho ( ∗): � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 3 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −𝑚𝑚2 + 1 (∗∗) ⇔ −𝑚𝑚2 + 1 + 3 = 0 ⇔ 𝑚𝑚2 = 4 ⇔ 𝑚𝑚 = ±2 Vậy 𝑚𝑚 = ±2. Lời giải a) Thay 𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = 1 vào phương trình đường thẳng (𝑑𝑑) ta được: 𝑚𝑚 = 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) là: 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − (𝑚𝑚 − 1) = 0(∗) Để (𝑑𝑑) cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ = 4𝑚𝑚 − 3 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 > 3 4 Khi đó theo định lý Vi-ét ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 1 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −(𝑚𝑚 − 1) Theo đề bài: 4 � 1 𝑥𝑥1 + 1 𝑥𝑥2 � − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3 = 0 ⇔ 4 � 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 𝑥𝑥1⋅𝑥𝑥2 � − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3 = 0 ⇔ 4 −𝑚𝑚+1 + 𝑚𝑚 + 2 = 0 ⇔ 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 − 6 = 0 (Điều kiện: 𝑚𝑚 ≠ 1 ) ⇔ 𝑚𝑚 = −3 (loại) hoặc 𝑚𝑚 = 2 (thỏa mãn). Vậy 𝑚𝑚 = 2 là giá trị cần tìm. Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ): 1 d y x m = + − và parabol ( ) 2 : P y x = a) Tìm m để ( ) d đi qua điểm ( ) 0;1 A b) Tìm m để đường thẳng ( ) d cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 2 x x thỏa mãn: 1 2 1 2 1 1 4 3 0 x x x x   + − + =     . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
37. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 35 35/77 Lời giải a) (𝑃𝑃) đi qua điểm 𝐵𝐵(2; −2) nên ta có: −2 = 𝑎𝑎 ⋅ 22 ⇔ 𝑎𝑎 = −1 2 Vậy (𝑃𝑃): 𝑦𝑦 = −1 2 𝑥𝑥2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑) là: −1 2 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 − 3 ⇔ 𝑥𝑥2 + 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑚𝑚 − 6 = 0( ∗) Δ = 𝑚𝑚2 − (2𝑚𝑚 − 6) = 𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 + 6 = (𝑚𝑚 − 1)2 + 5 > 0∀𝑚𝑚 Do đó, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt C và D với mọi giá trị của m. b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: � 𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑥𝑥𝐷𝐷 = −2𝑚𝑚 𝑥𝑥𝐶𝐶𝑥𝑥𝐷𝐷 = 2𝑚𝑚 − 6 Theo giả thiết 𝑥𝑥𝐶𝐶 2 + 𝑥𝑥𝐷𝐷 2 − 2𝑥𝑥𝐶𝐶𝑥𝑥𝐷𝐷 − 20 = 0 ⇔ (𝑥𝑥𝐶𝐶 + 𝑥𝑥𝐷𝐷)2 − 4𝑥𝑥𝐶𝐶𝑥𝑥𝐷𝐷 − 20 = 0 ⇔ (−2𝑚𝑚)2 − 4(2𝑚𝑚 − 6) − 20 = 0 ⇔ 4𝑚𝑚2 − 8𝑚𝑚 + 4 = 0 ⇔ 4(𝑚𝑚 − 1)2 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 1. Vậy với 𝑚𝑚 = 1 thỏa mãn yêu câu bài toán. Bài 13: Cho hàm số 2 y ax = có đồ thị ( ) P và đường thẳng ( ): 3 d y mx m = + − a) Tìm a để đồ thị ) P đi qua điểm ( ) 2; 2 B − . Chứng minh rằng đường thẳng ( ) d luôn cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt C và D vói mọi giá trị của m b) Gọi C x và D x lân lượt là hoành độ của hai điểm C và D . Tìm các giá trị của m sao cho 2 2 2 20 0 C D C D x x x x + − − = Bài 14 ( Thi thử Quận Long Biên HN-2020-2021)Cho hàm số 2 2 y mx m = − + có đồ thị là đường thẳng d . Tìm m để đường thẳng d cắt ( ) P : 2 1 2 y x = tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho 1 2 8 x x = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
38. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 36 36/77 Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của 𝑑𝑑 và (𝑃𝑃) : 1 2 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 2𝑚𝑚 + 2 ⇔ 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 4𝑚𝑚 − 4 = 0(1) Để đường thẳng 𝑑𝑑 cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. ⇔ Δ′ = 𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚 + 4 > 0 ⇔ (𝑚𝑚 − 2)2 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≠ 2 Áp dụng định lý Vi-ét và điều kiện đầu bài ta có hệ phương trình sau ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4𝑚𝑚 − 4 𝑥𝑥1 = 8𝑥𝑥2 ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧9𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 8𝑥𝑥2 2 = 4𝑚𝑚 − 4 𝑥𝑥1 = 8𝑥𝑥2 ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 9 𝑥𝑥1 = 16𝑚𝑚 9 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4𝑚𝑚 − 4 . Ta có phưong trình sau 2𝑚𝑚 9 ⋅ 16𝑚𝑚 9 = 4𝑚𝑚 − 4 ⇔ 8𝑚𝑚2 − 81𝑚𝑚 + 81 = 0 ⇔ � 𝑚𝑚 = 9(𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡) 𝑚𝑚 = 9 8 (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡) Vậy, 𝑚𝑚 ∈ �9; 9 8 � là giá trị cân tìm. Lời giải Bài 15 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ): 1 d y mx m = + − . Tìm m đề ( ) d cắt ( ) P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn: 1 2 3 x x + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
39. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 37 37/77 Phương trình hoành độ giao điểm của 𝑑𝑑 và (𝑃𝑃) là: 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 1 − 𝑚𝑚 ⇔ 𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1 + 𝑚𝑚 = 0. Thay 𝑚𝑚 = −1 ta được phưong trình: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2 = 0 ⇔ � 𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥 = −2 ⇒ � 𝑦𝑦 = 1 𝑦𝑦 = 4 . Vậy với 𝑚𝑚 = −1 thì 𝑑𝑑 cắt (𝑃𝑃) tại hai giao điểm là (1; 1) và (−2; 4). b) Phương trình hoành độ giao điểm của 𝑑𝑑 và (𝑃𝑃) là: 𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1 + 𝑚𝑚 = 0. Δ = 𝑚𝑚2 − 4 ⋅ (−1 + 𝑚𝑚) = 𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚 + 4 = (𝑚𝑚 − 2)2 . 𝑑𝑑 cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt ⇔ Δ > 0 ⇔ (𝑚𝑚 − 2)2 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≠ 2. Khi 𝑚𝑚 ≠ 2, 𝑑𝑑 cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2. Theo định lý Vi-ét ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − 1 . Điều kiện � 𝑥𝑥1 ≥ 0 𝑥𝑥2 ≥ 0 ⇔ � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ≥ 0 ⇔ � 𝑚𝑚 ≥ 0 𝑚𝑚 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≥ 1. Theo bài ra: √𝑥𝑥1 + √𝑥𝑥2 = 3 ⇒ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 2√𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 9 Suy ra 𝑚𝑚 + 2√𝑚𝑚 − 1 = 9 ⇔ 2√𝑚𝑚 − 1 = 9 − 𝑚𝑚 ⇔ � 𝑚𝑚 ≤ 9 4(𝑚𝑚 − 1) = 81 − 18𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2 ⇔ � 𝑚𝑚 ≤ 9 𝑚𝑚2 − 22𝑚𝑚 + 85 = 0 ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝑚𝑚 ≤ 9 � 𝑚𝑚 = 5 𝑚𝑚 = 17 ⇔ 𝑚𝑚 = 5. Vậy 𝑚𝑚 = 5 thì 𝑑𝑑 cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thoả mãn √𝑥𝑥1 + √𝑥𝑥2 = 3. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑) là nghiệm của phương trình: 𝑥𝑥2 = −𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 + 1 ⇔ 𝑥𝑥2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 − 1 = 0. (1). Ta có: 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 1 + 𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 + 1 = 0. Phương trình (1) luôn có hai nghiệm: 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = −𝑚𝑚 − 1. Đế (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 Bài 16 :Cho đường thẳng ( ): 1 d y mx m = − + + và Parabol ( ) 2 : P y x = . Tìm các giá trị của m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho 2 2 1 2 2 x x + < . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
40. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 38 38/77 ⇔ 1 ≠ −𝑚𝑚 − 1 ⇔ 𝑚𝑚 ≠ −2. Ta có: 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2 < 2 ⇔ 12 + (−𝑚𝑚 − 1)2 < 2 ⇔ (𝑚𝑚 + 1)2 < 1 ⇔ −1 < 𝑚𝑚 + 1 < 1 ⇔ −2 < 𝑚𝑚 < 0(tm). Vậy −2 < 𝑚𝑚 < 0 thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt thỏa mãn 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2 < 2. Lời giải 𝑑𝑑 giao (𝑃𝑃) ⇒ Δ′ ≥ 0 ⇔ 5 − 𝑚𝑚 ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≤ 5 (1) Gọi hoành độ giao điểm của 𝑑𝑑 và (𝑃𝑃) là 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2. Theo hệ thức Viet có : � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 4 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − 1 𝑥𝑥1 và 𝑥𝑥2 cùng có giá trị không âm ⇒ � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 ≥ 0 ⇔ � 4 ≥ 0 𝑚𝑚 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≥ 1 (2) Để √𝑥𝑥1 = �2𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 = 2𝑥𝑥2 Xét hệ phương trình sau: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 4 𝑥𝑥1 = 2𝑥𝑥2 ⇔ � 𝑥𝑥1 = 8 3 𝑥𝑥2 = 4 3 Thay vào 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − 1 có 8 3 ⋅ 4 3 = 𝑚𝑚 − 1 ⇔ 𝑚𝑚 = 41 9 (3) Từ (1); (2) và (3) ⇒ 𝑚𝑚 = 41 9 thì hoành độ giao điểm của 𝑑𝑑 và (𝑃𝑃) là 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 thỏa mãn : √𝑥𝑥1 = �2𝑥𝑥2 Bài 17 :Cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thắng : 4 1 d y x m = − + ( m là tham số) Gọi hoành độ giao điểm của d và ( ) P là 1 2 ; x x . Tìm m để 1 2 2 x x = Bài 18 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) ( ) d : 2 4 y m x m = − − + + parabol ( ) 2 P : y x = Tìm tất cả các giá trị của m để 1 2 0 x x ≤ < . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
41. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 39 39/77 Lời giải Ta có: 𝑥𝑥1 ≤ 0 < 𝑥𝑥2 Trường hợp 1: Phương trình có 2 nghiệm 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 thỏa mãn 𝑥𝑥1 < 0 < 𝑥𝑥2 ⇔ Phương trình ( ∗) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ 1. (−𝑚𝑚 − 4) < 0 ⇔ 𝑚𝑚 > −4; Trường hợp 2: Phương trình ( ∗) có nghiệm 𝑥𝑥1 = 0. Thay 𝑥𝑥1 = 0 vào phương trình (∗) ta được: −𝑚𝑚 − 4 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = −4 Khi 𝑚𝑚 = −4 phương trình (*) có 2 nghiệm 0 và 2 (thỏa mãn) (2) Kết hợp (1) với (2) ta được: 𝑚𝑚 ≥ −4. Vậy đế phương trình có 2 nghiệm 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 thỏa mãn 𝑥𝑥1 ≤ 0 < 𝑥𝑥2 thì 𝑚𝑚 ≥ −4. Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃): 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚2 + 4 ⇔ 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2 − 4 = 0 (1) Ta có Δ′ = (−𝑚𝑚)2 − (𝑚𝑚2 − 4) = 4 > 0,nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy (𝑑𝑑) luôn cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt với mọi 𝑚𝑚. b) Từ phần a ta có (𝑑𝑑) luôn cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt vói mọi m. Mà 𝑥𝑥1 và 𝑥𝑥2 lân lượt là hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) nên 𝑥𝑥1 và 𝑥𝑥2 là hai nghiệm của phương trình (1) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 + √4 = 𝑚𝑚 + 2; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − √4 = 𝑚𝑚 − 2 Bài 19 :Cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ) 2 : 2 4 d y mx m = − + (với m là tham số) a) Chứng minh rằng đường thẳng ( ) d luôn cắt ( ) P tại hai điêm phân biệt. b) Gọi 1 x và 2 x lân lượt là hoành độ giao điểm của ( ) d và ( ) P . Tìm giá trị của m để 1 x và 2 x thỏa mãn : 1 2 1 3 1 x x + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
42. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 40 40/77 Hoặc 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 − 2; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 2 Đế 1 𝑥𝑥1 + 3 𝑥𝑥2 = 1 thì cân điều kiện 𝑥𝑥1 ≠ 0 và 𝑥𝑥2 ≠ 0 hay 𝑚𝑚 ≠ ±2 Trường hợp 1: 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 + 2; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − 2 1 𝑥𝑥1 + 3 𝑥𝑥2 = 1 ⇔ 1 𝑚𝑚 + 2 + 3 𝑚𝑚 − 2 = 1 ⇔ 𝑚𝑚 − 2 + 3(𝑚𝑚 + 2) (𝑚𝑚 + 2)(𝑚𝑚 − 2) = (𝑚𝑚 + 2)(𝑚𝑚 − 2) (𝑚𝑚 + 2)(𝑚𝑚 − 2) ⇒ 𝑚𝑚 − 2 + 3𝑚𝑚 + 6 = 𝑚𝑚2 − 4 ⇔ 𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚 − 8 = 0 Δ𝑚𝑚 ′ = (−2)2 − 1. (−8) = 12 > 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là 𝑚𝑚1 = 2 + √12 = 2 + 2√3 (thỏa mãn) 𝑚𝑚2 = 2 − √12 = 2 − 2√3 (thỏa mãn) Trường hợp 2: 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 − 2; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 2 1 𝑥𝑥1 + 3 𝑥𝑥2 = 1 ⇔ 1 𝑚𝑚 − 2 + 3 𝑚𝑚 + 2 = 1 ⇔ 𝑚𝑚 + 2 + 3(𝑚𝑚 − 2) (𝑚𝑚 + 2)(𝑚𝑚 − 2) = (𝑚𝑚 + 2)(𝑚𝑚 − 2) (𝑚𝑚 + 2)(𝑚𝑚 − 2) ⇒ 𝑚𝑚 + 2 + 3𝑚𝑚 − 6 = 𝑚𝑚2 − 4 ⇔ 𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚 = 0 ⇔ 𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 4) = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 0 (thỏa mãn) hoặc 𝑚𝑚 = 4 (thỏa mãn) Vậy 𝑚𝑚 ∈ {2 + 2√3; 2 − 2√3; 0; 4} thỏa mãn yêu câu đề bài. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (𝑑𝑑) và Parabol (𝑃𝑃) là: 𝑥𝑥2 − (2𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 − 6 = 0 (1) Phường trình (1) có Ta có: |𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 2| = 50 ⇔ |(𝑚𝑚 − 2)2 − (𝑚𝑚 + 3)2| = 50 ⇔ | − 10𝑚𝑚 − 5| = 50 Bài 20 :Trên mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ( ) ( ) 2 : 2 1 6 d y m x m m = + − − + và parabol ( ) 2 : P y x = Tìm m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho: 2 2 1 2 50 x x − =. h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
43. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 41 41/77 ⇔ � −10𝑚𝑚 − 5 = 50 −10𝑚𝑚 − 5 = −50 ⇔ � 𝑚𝑚 = − 11 2 𝑚𝑚 = 9 2 Vậy khi 𝑚𝑚 = − 11 2 hoặc 𝑚𝑚 = 9 2 thì (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 sao cho: |𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 2| = 50. Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥 − (2𝑚𝑚 + 1) ⇔ 𝑥𝑥2 − 2(𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥 + (2𝑚𝑚 + 1) = 0 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 1 − 2(𝑚𝑚 + 1) + (2𝑚𝑚 + 1) = 0 Phương trình có nghiệm 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 1 ∗)(𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) tại hai điêm phân biệt ⇔ 𝑥𝑥2 ≠ 𝑥𝑥1 ⇔ 2𝑚𝑚 + 1 ≠ 1 ⇔ 𝑚𝑚 ≠ 0 Theo bài ra 𝑥𝑥1 2 = 4|𝑥𝑥2| TH1) 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 1 1 = 4|2𝑚𝑚 + 1| ⇔ |2𝑚𝑚 + 1| = 1 4 ⇔ � 2𝑚𝑚 + 1 = 1 4 2𝑚𝑚 + 1 = −1 4 ⇔ � 𝑚𝑚 = −3 8 (𝑇𝑇𝑇𝑇) 𝑚𝑚 = −5 8 (𝑇𝑇𝑇𝑇) TH2) 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥1 = 2𝑚𝑚 + 1 (2𝑚𝑚 + 1)2 = 4|1| ⇔ |2𝑚𝑚 + 1| = 2 ⇔ � 2𝑚𝑚 + 1 = 2 2𝑚𝑚 + 1 = −2 ⇔ � 𝑚𝑚 = 1 2 (𝑇𝑇𝑇𝑇) 𝑚𝑚 = −3 2 (𝑇𝑇𝑇𝑇) Bài 21( Thi Thử Vinschool 2020-2021)Trên cùng một mặt phẳng Oxy cho parabol ( ) P : 2 y x = và đường thẳng ( ) d : ( ) ( ) 2 1 2 1 y m x m = + − + Tìm các giá trị của m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho 2 1 2 4 x x = h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
44. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 42 42/77 Vậy 𝑚𝑚 ∈ � −3 8 ; −5 8 ; 3 2 ; −1 2 � Lời giải Áp dụng hệ thức Vi-et ta có � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −2𝑚𝑚 − 3 ⇔ � 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 2 = 2𝑚𝑚𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −2𝑚𝑚 − 3 ⇔ � 2𝑚𝑚𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 2 = −2𝑚𝑚 − 3 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −2𝑚𝑚 − 3 Đê 𝑥𝑥1 2 + 2𝑚𝑚𝑥𝑥2 + 2𝑚𝑚 + 3 = 14 ⇔ 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2 − 𝑥𝑥2 2 + 2𝑚𝑚𝑥𝑥2 + 2𝑚𝑚 − 11 = 0 ⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 2 + 2𝑚𝑚𝑥𝑥2 + 2𝑚𝑚 − 11 = 0 (** ) Thay (∗) vào (∗∗) ta được: 4𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚 + 6 − 2𝑚𝑚 − 3 + 2𝑚𝑚 − 11 = 0 ⇔ 4𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚 − 8 = 0 ⇔ 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 − 2 = 0 ⇔ (𝑚𝑚 − 1)(𝑚𝑚 + 2) = 0 ⇔ � 𝑚𝑚 = 1 𝑚𝑚 = −2 Vậy 𝑚𝑚 ∈ {−2; 1} để thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài 22 ( Thi thử huyện Quốc Oai – HN – 2019-2020)Cho Parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ): 2 2 3 d y mx m = + + (Vói m là tham số ) Gọi 1 x và 2 x là hoành độ các giao điểm của ( ) d và ( ) P . Tìm m để: 2 1 2 2 2 3 14 x mx m + + + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
45. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 43 43/77 Lời giải +)Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, cho đường thẳng (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚2 và parabol (𝑃𝑃): 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 . a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của 𝑚𝑚, đường thẳng (𝑑𝑑) luôn cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2. Xét phương trình hoành độ: 𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚2 ⇔ 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 2𝑚𝑚2 = 0 (∗) Ta có: Δ′ = (−1)2 − 1. (−2𝑚𝑚2) = 1 + 2𝑚𝑚2 > 0 ∀𝑚𝑚 ⇒ Phương trình () luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀m ⇒ đường thẳng (𝑑𝑑) luôn cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2. b) Tìm 𝑚𝑚 để 2𝑚𝑚+4 (𝑥𝑥1−𝑚𝑚)(𝑥𝑥2−𝑚𝑚) = −1. Do phương trình () luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀𝑚𝑚 nên theo hệ thức Viet, ta có: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2; 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −2𝑚𝑚2 Mà 2𝑚𝑚 + 4 (𝑥𝑥1 − 𝑚𝑚)(𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚) = −1(𝑥𝑥1 ≠ 𝑚𝑚; 𝑥𝑥2 ≠ 𝑚𝑚) ⇒ −(𝑥𝑥1 − 𝑚𝑚)(𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚) = 2𝑚𝑚 + 4 ⇔ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑥𝑥1 − 𝑚𝑚𝑥𝑥2 + 𝑚𝑚2 = −2𝑚𝑚 − 4 ⇔ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 𝑚𝑚2 = −2𝑚𝑚 − 4 ⇒ −2𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2 = −2𝑚𝑚 − 4 ⇔ 𝑚𝑚2 = 4 ⇔ 𝑚𝑚 = ±2 Thử lại, với 𝑚𝑚 = ±2 phương trình ( ∗ ) có hai nghiệm là 𝑥𝑥1 = −2; 𝑥𝑥2 = 4 Mà 𝑥𝑥1 ≠ 𝑚𝑚; 𝑥𝑥2 ≠ 𝑚𝑚, nên 𝑚𝑚 = 2 thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy 𝑚𝑚 = 2 là giá trị cần tìm. Bài 23 : (Thi thử THCS Thái Thịnh –HN- 2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) 2 : 2 2 d y x m = + và parabol ( ) 2 : P y x = . a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng ( ) d luôn cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x . b) Tìm m để ( )( ) 1 2 2 4 1 m x m x m + = − − − . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
46. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 44 44/77 Lời giải Phương trình luôn có hai nghiệm trái dâu với mọi 𝑚𝑚 Theo hệ thức Vi - ét ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚(2) 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −2(3) Để tồn tại √−𝑥𝑥1; �2𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 < 0 < 𝑥𝑥2 Ta có: √−𝑥𝑥1 = �2𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 = −2𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 + 𝑥𝑥2 = 0 ⇔ 𝑥𝑥2 = −𝑚𝑚 ⇒ 𝑥𝑥1 = 2𝑚𝑚 V1 𝑥𝑥1 < 0 < 𝑥𝑥2 ⇒ 𝑚𝑚 < 0 Thay 𝑥𝑥1 = 2𝑚𝑚; 𝑥𝑥2 = −𝑚𝑚 vào (3) ta có: 2𝑚𝑚2 = 2 ⇔ 𝑚𝑚2 = 1 ⇔ � 𝑚𝑚 = 1 (loại) 𝑚𝑚 = −1 (nhận) Vậy 𝑚𝑚 = −1 là giá trị cần tìm. Lời giải (a) Chứng minh đường thẳng (𝑑𝑑) luôn đi qua điểm 𝐴𝐴(0; 5) với mọi giá trị của 𝑚𝑚. Thay tọa độ điểm 𝐴𝐴(0; 5) vào phương trình đường thẳng (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 5 ta được: 5 = 𝑚𝑚. 0 + 5 luôn đúng với mọi giá trị của tham số 𝑚𝑚 nên đường thẳng (𝑑𝑑) luôn đi qua điểm 𝐴𝐴 với mọi giá trị của 𝑚𝑚. (b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) : Bài 24 ( Thi thử THCS Nguyễn Trường Tộ- HN-2020-2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ) d : 2 y mx = + .Tìm giá trị của m để đường thẳng ( ) d cắt Parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ; x x thỏa mãn điêu kiện: 1 2 2 x x − = Bài 25 (TS Hà Nội 2017-2018) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ): 5 d y mx = + . (a) Chứng minh đường thẳng ( ) d luôn đi qua điểm ( ) 0;5 A với mọi giá trị của m . (b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ( ) d cắt parabol ( ) 2 : P y x = tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 2 , x x (với 1 2 x x < ) 1 2 x x > h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
47. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 45 45/77 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 5 ⇔ 𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 5 = 0 Ta có tích hệ số 𝑎𝑎𝑎𝑎 = −5 < 0 nên phương trình hoành độ giao điểm luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚 hay đường thẳng (𝑑𝑑) cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt với mọi 𝑚𝑚. Theo hệ thức Vi-ét ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −5 . Ta có: |𝑥𝑥1| > |𝑥𝑥2| ⇔ 𝑥𝑥1 2 > 𝑥𝑥2 2 ⇔ 𝑥𝑥1 2 − 𝑥𝑥2 2 > 0 ⇒ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) > 0 Theo giả thiết: 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 < 0 do đó 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 < 0 ⇔ 𝑚𝑚 < 0. Vậy 𝑚𝑚 < 0 thỏa mān yêu cầu bài toán. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) là: 𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 + 3 hay 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 − 3 = 0. Để đường thẳng (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt ⇒ Δ > 0 ⇒ 4 − 𝑛𝑛 > 0 ⇒ 𝑛𝑛 < 4. Theo hệ thức Viet, ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(1) 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑛𝑛 − 3(2) Theo giả thiết: 𝑥𝑥1 2 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 16 (3) Từ (1) và (3), ta có: � 𝑥𝑥1 = 5 𝑥𝑥2 = −3 Thay vào (2), ta có: 𝑛𝑛 = −12 < 4. Vậy 𝑛𝑛 = −12. Lời giải Bài 26 : ( TS Thanh Hóa 2016-2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ): 2 3 d y x n = − + và parabol ( ) 2 : P y x = .Tìm n để đường thẳng ( ) d cắt Parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là 1 2 , x x thỏa mān: 2 1 2 1 2 2 16 x x x x − + = . Bài 27 ( TS Hà Nam 2016-2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( ) P có phương trình 2 2 y x = . Chứng minh rằng đường thẳng ( ): 1 m d y mx = + luôn cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x . Tìm m để ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 2 4 2 1 2 1 9 x x x x + + + + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
48. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 46 46/77 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑𝑚𝑚) và (𝑃𝑃) : 2𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 1 ⇔ 2𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1 = 0 Ta có Δ = 𝑚𝑚2 + 8 > 0∀𝑚𝑚 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 phân biệt với mọi 𝑚𝑚. Do đó (𝑑𝑑𝑚𝑚) luôn cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt với mọi 𝑚𝑚. Theo định lý Vi-ét ta có � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 2 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = − 1 2 Ta có 4(𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2) + (2𝑥𝑥1 + 1)(2𝑥𝑥2 + 1) = 9 ⇔ 4[(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2] + 4𝑥𝑥1𝑥𝑥+2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) − 8 = 0 ⇔ 4(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) − 8 = 0 ⇔ 4 � 𝑚𝑚 2 � 2 − 4 �− 1 2 � + 2 ⋅ 𝑚𝑚 2 − 8 = 0 ⇔ 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 − 6 = 0 ⇔ � 𝑚𝑚 = −3 𝑚𝑚 = 2 Vậy (𝑑𝑑𝑚𝑚): 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 1 luôn cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 và các hoành độ 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mān điều kiện 4(𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥2 2) + (2𝑥𝑥1 + 1)(2𝑥𝑥2 + 1) = 9 ⇔ � 𝑚𝑚 = −3 𝑚𝑚 = 2 Lời giải (𝑃𝑃): 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1 (𝑚𝑚 ≠ 0) • Hoành độ giao điểm của (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) là nghiệm của phương trình: 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 − 1 ⇔ 𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 1 = 0(∗) Bài 28 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ): 1 d y mx = − , với m là tham số ( ) 0 m ≠ Tìm tất cả các giá trị khác 0 của tham số m để đường thẳng ( ) d cắt parabol ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ; x x thỏa mãn ( ) 2 2 1 1 3 x x + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
49. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 47 47/77 Phương trình có : Δ = (−𝑚𝑚)2 − 4.1.1 = 𝑚𝑚2 − 4 Để (𝑑𝑑) và (𝑃𝑃) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hhai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0 ⇔ 𝑚𝑚2 − 4 > 0 ⇔ 𝑚𝑚2 > 4 ⇔ 𝑚𝑚 < −2; 𝑚𝑚 > 2 Kết hợp với điều kiện 𝑚𝑚 ≠ 0 ta được 𝑚𝑚 < −2; 𝑚𝑚 > 2 • Theo hệ thức Viet ta có � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 1 • Vì 𝑥𝑥1 là nghiệm của phương trình (*) nên ta có 𝑥𝑥1 2 − 𝑚𝑚𝑥𝑥1 + 1 = 0 ⇒ 𝑥𝑥1 2 = 𝑚𝑚𝑥𝑥1 − 1 • Theo bài ra ta có : 𝑥𝑥2(𝑥𝑥1 + 1) = 3 ⇔ 𝑥𝑥2(𝑚𝑚𝑥𝑥1 − 1 + 1) = 3 ⇔ 𝑥𝑥2 ⋅ 𝑚𝑚𝑥𝑥1 = 3 ⇔ 𝑚𝑚𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 3 ⇔ 𝑚𝑚 ⋅ 1 = 3 ⇔ 𝑚𝑚 = 3( tmđk 𝑚𝑚 < −2; 𝑚𝑚 > 2) Vậy 𝑚𝑚 = 3 3.2 Dạng bài tương giao hệ thức chứa thêm ẩn 𝒚𝒚𝟏𝟏; 𝒚𝒚𝟐𝟐; 𝒎𝒎 Lời giải Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1) Phương trình (1) có: Δ = 𝑚𝑚2 − 4 ⋅ (−4) = 𝑚𝑚2 + 16 > 0∀𝑚𝑚 ∈ ℝ Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 𝐴𝐴1(𝑥𝑥1; 𝑦𝑦1) và 𝐴𝐴2(𝑥𝑥2; 𝑦𝑦2) với mọi m Theo hệ thức Vi-et ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −4 Phương pháp giải : Thay thế biểu thức 𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 và 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 vào hệ thức đề bài yêu cầu sau đó bài toán quay về dạng 3.1 ở trên. Bài 1: Cho hai hàm số 2 y x = và 4 y mx = + , với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt ( ) 1 1 1 ; A x y và ( ) 2 2 2 ; A x y Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ( ) ( ) 2 2 2 1 2 7 y y + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
50. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 48 48/77 Ta lại có: � 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥1 2 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 2 Theo đề, ta có: 𝑦𝑦1 2 + 𝑦𝑦2 2 = 72 ⇒ (𝑥𝑥1 2)2 + (𝑥𝑥2 2)2 = 49 ⇔ [(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2]2 − 2(𝑥𝑥1𝑥𝑥2)2 = 49 ⇔ [𝑚𝑚2 − 2. (−4)]2 − 2(−4)2 = 49 ⇔ (𝑚𝑚2 + 8)2 = 81 ⇔ 𝑚𝑚2 + 8 = 9 ⇔ 𝑚𝑚 = ±1 (trường hợp 𝑚𝑚2 + 8 = −9 vô nghiệm vì 𝑚𝑚2 ≥ 0 ) Vậy với 𝑚𝑚 = 1; 𝑚𝑚 = −1 thì (𝑦𝑦1)2 + (𝑦𝑦2)2 = 72 . Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol (𝑃𝑃): 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 và đường thẳng (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 2𝑚𝑚 + 3 ( 𝑚𝑚 là tham số) là nghiệm của phương trình: 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 2𝑚𝑚 + 3 ⇔ 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑚𝑚 − 3 = 0 (∗) PT(∗) có 𝑎𝑎 = 1 ≠ 0 nên có dạng bậc 2 đối với biến 𝑥𝑥. Ta có: Δ′ = (−𝑚𝑚)2 − 1. (2𝑚𝑚 − 3) = 𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 + 3 = (𝑚𝑚 − 1)2 + 2. Do: (𝑚𝑚 − 1)2 + 2 > 0; ∀𝑚𝑚 nên Δ′ > 0; ∀𝑚𝑚. Hay PT(∗) luôn có 2 nghiệm phân biệt vói mọi 𝑚𝑚 Chứng tỏ: (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi 𝑚𝑚. b) Theo câu 2a, PT ( * ) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚. Nên theo Vi-ét ta có: � 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 − 3 Lại có: 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥1 2 ; 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥1 2 Mà: 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 < 14 ⇔ 𝑥𝑥1 2 + 𝑥𝑥1 2 < 14 ⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 < 14 Bài 2 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) Parabol P có phương trình: 2 y x = và đường thẳng ( ) d có phương trình 2 2 3( m y mx m = − + là tham số) a) Chứng minh rằng ( ) P và ( ) d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt vói mọi m . b) Gọi 1 2 ; y y là tung độ các giao điểm của ( ) P và ( ) d , tìm m để 1 2 14 y y + < h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443
51. HỆ ADMIN TÀI LIỆU TOÁN 9 49 49/77 ⇔ (2𝑚𝑚)2 − 2(2𝑚𝑚 − 3) < 14 ⇔ 4𝑚𝑚2 − 4𝑚𝑚 + 6 < 14 ⇔ (2𝑚𝑚 − 1)2 < 9 ⇔ −3 < 2𝑚𝑚 − 1 < 3 ⇔ −1 < 𝑚𝑚 < 2 Vậy với −1 < 𝑚𝑚 < 2 thì tung độ các giao điểm của (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑) thỏa mãn: 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 < 14. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của 𝑃𝑃 ) và (𝑑𝑑): 1 2 𝑥𝑥2 = 1 4 𝑥𝑥 + 3 2 ⇔ � 𝑥𝑥 = 2 ⇒ 𝑦𝑦 = 2 ⇒ 𝐴𝐴(2; 2) 𝑥𝑥 = − 3 2 ⇒ 𝑦𝑦 = 9 8 ⇒ 𝐵𝐵 � −3 2 ; 9 8 � . Vậy 𝑇𝑇 = 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 𝑦𝑦1+𝑦𝑦2 = 2+� −3 2 � 2+ 9 8 = 4 25 Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm 𝑥𝑥2 = (2𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 − 𝑚𝑚 + 2 ⇔ 𝑥𝑥2 − (2𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ, cho parabol ( ) 2 1 : 2 P y x = và đường thẳng ( ) 1 3 : 4 2 d y x = + Gọi ( ) 1 1 ; A x y và ( ) 2 2 ; B x y lần lượt là các giao điểm của ) P với ( ) d . Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2 x x T y y + = + . Bài 4: Cho Parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng ( ) : 2 1 2( d y m x m m = − − + là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P ) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P ) tại hai điểm phân biệt ( ) 1 1 ; A x y ( ) 2 2 ; B x y thỏa 1 1 2 2 0 x y x y + = . h t t p s : / / w w w . f a c e b o o k . c o m / g r o u p s / t a i l i e u t o a n c a p 1 2 3 SĐT ZALO : 0816457443