 Loading Preview Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above. Loading Preview Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.
Dạng toán tìm công thức tổng quát của dãy số là một dạng bài trọng tâm về dãy số trong chương trình Toán lớp 11. Để làm được dạng bài tập này, các bạn cần nắm vững kiến thức lý thuyết về dãy số. Để bổ trợ cho các ban trong quá trình học tập và ôn luyện. Chúng tôi có tổng hợp đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải, bài tập vận dụng của dạng toán tìm công thức tổng quát của dãy số. Mời các bạn tham khảo bên dưới. Kiến thức cần nhớ.Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: N* -> R, n -> u(n). Dãy số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đổi số tự nhiên n: u(1), u(2),.. u(n)…Trong đó, u(1) được gọi là số hạng đầu tiên của dãy số và u(n) gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số. Dãy số được gọi là tăng nếu u(n) < u(n+1) với mọi n ∈ N*. Dãy số được gọi là giảm nếu u(n) > u(n+1) với mọi n ∈ N*. Dãy số bị chặn trên nếu u(n) < m với mọi n ∈ N*. Dãy số bị chặn dưới nếu u(n) > n với mọi n ∈ N*. Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới (dãy bị chặn) nếu lu(n)l < M với mọi n ∈ N*, M là số thực dương. Phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số nhanh nhất.Các bạn sẽ có 3 phương pháp chính. Đó là:
Hãy tham khảo ví dụ bên dưới để hiểu rõ hơn. Ngoài ra, hãy rèn luyện bài tập chăm chỉ trong tài liệu để giải tốt bài toán về tìm công thức tổng quát. Tải tài liệu miễn phí ở đây Sưu tầm: Thu Hoài
TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐBài viết của Thầy: Nguyễn Tất ThuI. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐDẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộngĐịnh nghĩa: Dãy số (un ) gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho với mọi sốnguyên n 2 ta có: un un 1 d .d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp sốĐịnh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un u1 (n 1)d(1).Định lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSC (un ) có công sai d. Ta có:n[2u1 (n 1)d ](2).21. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhânĐịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un 1 q.unbội qSn n * gọi là cấp số nhân côngn 1Định lí 3: Cho CSN (un ) có công bội q. Ta có: un u1q(3).Định lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSN (un ) có công bội q . Ta có:1 - qnSn u11 -q(4).2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệtVí dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởiu1 1, un un 1 2n 2 .Giải:Ta thấy dãy (un ) là một CSC có công sai d 2 . Áp dụng kết quả (1) ta có:un 1 2(n 1) 2n 3 .Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởiu1 3, un 2un 1Giải:-1-n 2 .Ta thấy dãy (un ) là một CSN có công bội q 2 . Ta có: un 3.2n 1 .Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy (un ) được xác định bởi:u1 2, un 3un 1 1n 2 .Giải:Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN!Ta thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 ở VT. Ta tìm cách làmmất 1 đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện ý đồ này ta đặt un k.vn l ; k , l làcác hằng số và k 0 ( ta sẽ chọn k , l sau).2l 1Khi đó, ta có: k .vn l 3k .vn 1 3l 1 vn 3vn .kk 12l 11 0 l và k bất kì nên ta chọn Ta chọn k, l :1.k2l2vn 3vn 1 (vn ) : 5 . Dễ thấy dãy (vn ) là CSN với công bội q 3v125 n 115.3n 1 1 vn v1.q .3 . Suy ra: un vn 2222Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn k 1.Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau:n 1Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 x 0, un aun 1 b n 2 ( a, b 0 là các hằng số) cóCTTQ là:u1 (n 1)bkhi a 1un .a n 1 1n 1u.abkhia1 1a 1Vídụ1.4:XácđịnhCTTQcủadãy(un ) đượcxácđịnhbởiu1 2; un 1 2un 3n 2 .Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đâykhông phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n . Tuy nhiên chúng ta có thể bắt-2-chước cách giải ở trên làm mất 3n 2 ở VP, ta đặt : un k.vn t.n l ; k, t, l là cáchằng số k 0 . Khi đó ta có:t3l t 2.kvn 1 t(n 1) l 2kvn 2tn 2l 3n 2 vn 1 2vn .n kkt 3t 30Ta chọn k, t, lsao cho: l 1 , ta chọn k 1. kl t 2 0k 0 kv 6 (vn ) : 1 vn 6.2n 1 3.2n . Vậy un vn 3n 1 3.2n 3n 1 .vn 2vn 1Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k , nên khi đặt ta có thể chọn k 1.u 2Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : 1. Tìm CTTQ của dãy (un ) .uu2n1 nn 1Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì21tsau khi đặt ta có : vn 1 vn .n dẫn đến ta không thể làm mất n được.kkTa sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên. Ta viết công thức truy hồi của dãy đã chodưới dạng sau un un 1 2n 1 . Từ đây ta có:un (un un 1 ) (un 1 un 2 ) ... (u2 u1 ) u1 2n 1 2(n 1) 1 ... 2.2 1 2 2 n n 1 ... 2 1 n 1n(n 1) n 1 n 2 2n 1 .2Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu khôngcho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt banđầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta cóthể giải bài toán trên theo cách khác như sau:2Đặt un vn an 2 bn c . Khi đó, ta có:vn an 2 bn c vn 1 a(n 1)2 b(n 1) c 2n 1 vn vn 1 2(1 a )n a b 1 .1 a 0a 1Ta chọn , c bất kì nên ta chọn c 0 .ab10b2-3-v 1 vn vn 1 vn 2 ... v1 1Khi đó: (vn ) : 1vv nn 1Vậy un vn n 2 2n n 2 2n 1 .Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt un vn an 2 bn vn n(an b )Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ củau x 0dãy (un ) được xác định bởi: 1, trong đó f (n ) là một đa thức bậc kua.uf(n)n 1 ntheo n ; a là hằng số. Ta làm như sau:* Nếu a 1, ta đặt un vn n.g(n) với g(n ) là một đa thức theo n bậc k , thay vàocông thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g(n) : ng(n) (n 1)g(n 1) f (n) ta có được dãy vn là CSN với công bội q 1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn suy ra ta cóCTTQ của dãy (un ) .* Nếu a 1 , ta đặt un vn h(n ) với h(n ) là một đa thức theo n bậc k . Thay vàocông thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h(n) : h(n) ah(n 1) f (n) ta có được dãyvn là CSN với công bội q a từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn . Suy ra ta cóCTTQ của dãy (un ) .u1 1Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : .Tìm CTTQ của dãy (un ) .nu3u2;n2,3,... nn 1Giải:Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: un vn a.2n .Ta có: vn a.2n 3(vn 1 a.2n 1 ) 2n vn 3vn 1 2n (a 2)Ta chọn a 2 vn 3vn 1 v1.3n 1 5.3n 1Vậy un 5.3n 1 2n 1 .Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un a.un 1 b. n , ta đặtun x n y. n . Khi đó , ta có: x n y. n a.x n 1 ay. n 1 b. n-4-b xn a.x n 1 y(a ) b n 1 . Do đó, nếu a , ta chọn y ab 2 n 1b x n a.x n 1 x n x1.a un (u1 )a. n a aTrường hợp a un a.un 1 b.a nn 1 un (un a.un 1 ) a(un 1 un 2 ) ... a n 2 (u2 au1 ) u1.a n 1 un b(n 1)a n u1a n 1 . Vậy ta có kết quả sau.u1 pDạng 3: Cho dãy (un ) : . Khi đó ta có:nua.ub.n2 nn 1 Nếu a un ab(n 1) u1 a n 1 .b 2 n 1b Nếu a un (u1 )a. n . a aChú ý : Trong trường hợp a ta có thể tìm CTTQ của dãy (un ) như sau:Đặt un x n y.n.a n . Khi đó ta có: x n y.n. n a.x n 1 ay(n 1).a n 1 b.a n x n a.x n 1 (y b).a n nên ta chọn y b xn x1.a n 1 un (u1 ab)a n 1 bn.a n ab(n 1) u1 a n 1 .u1 2Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un ) : .nnu5u2.36.712;n2,3,... nn 1Giải: Đặt un vn a.3n b.7n c . Khi đó, ta có:vn a.3n b.7n c 5(vn 1 a.3n 1 b.7n 1 c) 2.3n 6.7n 12 vn 5vn 1 3n 1(2a 6) 7n 1(2b 42) 4c 12 .2a 6 0a 3Ta chọn a,b, c : 2b 42 0 b 21 .4c 12 0c 3Khi đó: vn 5vn 1 vn v1.5n 1 157.5n 1Vậy un vn 3n 1 3.7n 1 3 157.5n 1 3n 1 3.7n 1 3 .-5-Qua ví dụ trên ta có kết quả sau:u1 pDạng 4: Để tìm CTTQ của dãy số (un ) : ,nnua.ub.c.d;n2 nn 1a,b, c 0; , 1; . a )(trongđótalàmnhưsau: Nếu a 1 un un 1 b. n c. n d un u1 u1 n 2 (un i un i 1 )i 0n 2 (b.n i c.n ii 0n 2 d ) u1 b i 0n in 2 c n i d.(n 1)i 0 1 n1 n un u1 b. . 1 c. . 1 d .(n 1) . 1 1 Nếu a 1 , ta đặt un vn x . n y. n zTa có: vn a.vn 1 (ax x b) n 1 (by y c) n 1 z (a 1) dTa chọn : x bcd.;y ;z a b1aKhi đó: vn a.vn 1 vn v1.an 1 2b 2cd n 1 u1 aab1a 2b 2cd n 1bcdun u1 n n a.ab1aab1aChú ý : Nếu a hoặc a thì khi đặt un theo vn thì ta nhân thêm n vào trước nhoặc n .u1 1Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : .nu2u3n;n2 nn 1 Giải: Để tìm CTTQ của dãy un ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3Đặt un vn a.3n bn c .-6-Ta có: vn a.3n bn c 2 vn 1 a.3n 1 b(n 1) c 3n n vn 2vn 1 (a 1)3n 1 (b 1)n 2b c .Ta chọn a b 1;c 2 . Khi đó: vn 2vn 1 vn v1.2n 1 5.2n 1Vậy un 5.2n 1 3n n 2 .u1 pDạng 5: Nếu dãy số (un ) : , trong đó f (n ) là đanua.ub.f(n);n2 nn 1thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:* Nếu a 1 ta đặt un vn x . n g(n ) , với g(n ) là đa thức theo n bậc k . Ta sẽchọn sao cho dãy (vn ) là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy (vn ) từ đó tacó CTTQ dãy (un ) .* Nếu a 1 thì ta tìm được un theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3.Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy (un ) : u0 1, u1 3, un 1 5un 6un 1 n 1.Giải:Ta viết công thức truy hồi của dãy lại như sau: un 1 2un 3(un 2un 1 ) (1)v 5 vn 5.3n 1 un 2un 1 5.3n 1 .Đặt vn 1 un 1 2un , ta có: 1vn 1 3vnSử dụng kết quả 2, ta có: un 5.3n 6.2n .Trong lời giải trên ta đã phân tích 5 2 3 và 6 2.3 để viết lại công thức truy hồinhư (1), từ đó ta đưa vào được dãy phụ (vn ) là một CSN. Các hệ số xuất hiện trongcông thức truy hồi là 5; 6 nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổngquát ta có luôn phân tích được các hệ số như vậy hay không ? Nếu được thì phân tíchnhư thế nào ?. Ta xét ví dụ sau:u 1; u1 2Ví dụ 1.10: Cho dãy số un được xác định bởi : 0.un 1 4un un 1 n 1Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) . Giải:-7-x y 4 x , y là nghiệm PT: X 2 4X 1 0Gọi x, y là hai số thỏa mãn: xy 1 X 2 5 , ta chọn x 2 5; y 2 5 .Ta có: un 1 (x y)un xyun 1 un 1 x .un y(un xun 1 ) .Đặt vn un x .un 1 v1 2 x và vn 1 y.vn vn v1.y n 1 (2 x )y n 1 un x .un 1 (2 x )y n 1 . Áp dụng kết quả 3, ta có:un y 2 n 2x n 1x y (2 5)n (2 5)n .y xy x2Ví dụ 1.11: Cho a, b, c là các số thực khác không và dãy (un ) được xác định bởiu0 p; u1 q. Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) ?ua.ub.u n 1nn 1Giải:Ta viết lại công thức truy hồi của dãy đã cho như sau: un 1 x .un y(un x .un 1 ) .x y a x , y là nghiệm PT: X 2 aX b 0 (1).Ta xác định x, y sao cho: xy bGiả sử tồn tại tại x, y , tức là phương trình (1) có nghiệm.v1 q x .p vn (q xp)y n 1Đặt vn un x .un 1 . Ta có: vn 1 yvn un x .un 1 (q px )y n 1 . Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hay x y . Áp dụng kết quả 2, ta có:yp q n q xp nun x y .y xy xa Ta xét trường hợp còn lại: (1) có nghiệm kép x y .2n 1a apa a n 1 un un 1 (q )( ) . Áp dụng kết quả 2: un 22 22Vậy ta có kết quả tổng quát sau:-8- paap (q)n .22Dạng 6: Cho a, b, c là các số thực khác không; a 2 4b 0 và dãy (un ) được xác địnhu p; u1 qbởi: 0. Khi đó:ua.ub.u n 1nn 1y.u0 u1 n u1 x .u 0 nx y , trong đó x, y là nghiệm của Nếu a 2 4b 0 thì un y xy xphương trình : X 2 aX b 0 (1).n 1a paap Nếu a 4b 0 thì un (q)n .2 22Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy.Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy (un ) nói trên ta có thể trình bày như sauXét phương trình đặc trưng (1)2 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X1, X2 thì un x .X1n y.X 2n , dựa vào u0, u1 ta tìmđượcx, y . Nếu (1) có nghiệm kép X1 X2 thì un (pn q ). n , dựa vào u0, u1 ta tìmđược p, q .u 0 1; u1 3Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : 2un 5un 1 6un 2 2n 2n 1;CTTQ của dãy (un ) .n 2. Xác địnhGiải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy, bằng cách:Đặt un x n an 2 bn c . Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta đượcx n 5x n 1 6x n 1 2an 2 (14a 2b)n 19a b 2c 2n 2 2n 12a 2a 1Ta chọn a,b, c : 14a 2b 2 b 8 . Khi đó:19a b 2c 1c 13x 12; x1 23(x n ) : 0. Áp dụng kết quả 3, ta có:x5x6x0 nn 1n 2x n 13.2n 3n un 13.2n 3n n 2 8n 13 .-9-u p; u2 qVí dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số: (un ) : 1,a.un 1 b.un c.un 1 f (n ) ; n 2(trong đó f (n ) là đa thức theo n và b 2 4ac 0 ).Giải:Đặt un xn g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n . Thay vào công thức truy hồi củadãy ta được: a.xn b.xn 1 c.xn 2 a.g(n ) b.g(n 1) cg(n 2) f (n )Ta chọn g(n) : a.g(n) bg(n 1) cg(n 2) f (n) (*).Khi đó: a.xn bxn 1 c.xn 2 0 . Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy (xn ) ,từ đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) .Vấn đề còn lại là giải phương trình (*).Giả sử g(n ) ak n k ak 1n k 1 ... a1n a 0 là đa thức bậc k . Khi đó hệ số của x k vàx k 1 trong VP là: ak .(a b c)x k và (b 2c)k .ak (a b c)ak 1 x k 1 .Do đó :* Nếu PT: aX 2 bX c 0 (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thìa b c 0 nên VT(*) là một đa thức bậc k .* Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 1 a b c 0và (b 2c)k.ak (a b c)ak 1 (b 2c).k.ak 0 nên VT là một đa thức bậck 1.a b c 0*NếuPT(1)cónghiệmképvàx 1 (b 2c)k .ak (a b c)ak 1 x k 1 nên VT(*) là một đa thức bậc k 2 .Vậy để chọn g(n ) ta cần chú ý như sau: Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n ) là một đa thức cùng bậc với f (n ) Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g(n ) làđa thức lớn hơn bậc của f (n ) một bậc. Nếu (1) có nghiệm kép x 1 thì ta chọn g(n ) là đa thức có bậc lớn hơn bậc củaf (n ) hai bậc.u p; u2 qDạng 7: Để tìm CTTQ của dãy (un ) : 1,a.ub.uc.uf(n);n2 n 1nn 1( trong đó f (n ) là đa thức theo n bậc k và b 2 4ac 0 ) ta làm như sau: Xác định đa thức g(n) : a.g(n) bg(n 1) cg(n 2) f (n) , trong đó g(n ) là: đathức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ; đa thức bậc k 1 nếu(1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 ; đa thức bậc k 2 nếu (1)- 10 -cónghiệmképx 1 Khi xác định được g(n ) ta đặt un xn g(n ) , ta có dãy (xn ) được xác định bởi:x 0 p g(0); x1 u1 g(1). Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của (xn ) , từa.x n 1 bx n c 0 n 1đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) .u0 1; u1 3Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : .nu5u6u5.2n2 nn 1n 2Giải: Đặt un x n y.2n . Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VTTa sẽ đi tìm cách giải khác cho bài toán nàyTa viết công thức truy hồi của dãy như sau: (un 2un 1 ) 3(un 1 2un 2 ) 5.2nĐặt x n un 2un 1 x n 3x n 1 5.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có:x n 25.3n 1 10.2n un 2un 1 25.3n 1 10.2nSử dụng chú ý ở kết quả 3, ta đặt un vn a.3n bn.2nTa được: vn 2vn 1 (25 a )3n 1 (b 10)2n . Ta chọn a 25, b 10 vn v0 .2n 26.2n un 25.3n (5n 13).2n 1 .Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khácnhư sau:Đặt un x n yn.2n , ta có: x n 5x n 1 6x n 2 y.2n 1 5.2n , ta chọn y 10x 1; x1 23 (x n ) : 0. Áp dụng kết quả 4, ta có:x5x6x0n2 nn 1n 2x n 26.2n 25.3n un 25.3n (5n 13).2n 1 .u0 1; u1 3Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy (un ) : n .u4u4u3.2 nn 1n 2Giải:Với dãy số này nếu ta đặt un x n y.2n thì khi thay vào công thức truy hồi của dãyta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này.Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: (un 2un 1 ) 2(un 1 2un 2 ) 3.2n- 11 -Đặt xn un 2un 1 , ta có: x n 2x n 1 3.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có: x n (6n 5).2n 1 un 2un 1 (6n 5).2n 1 un (un 2un 1 ) 2(un 1 2un 2 ) ... 2n 1(u1 2u 0 ) 2n.u 0n n 2n 1 (6i 5) 2n 2n 1 6 i 5n 2 i 1 i 1 (n 1)n 6 5n 2 2n 1 (3n 2 2n 2)2n 1 .2Lưu ý : Từ CTTQ của dãy (un ) ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sauĐặt un x n yn 2 .2n . Ta có: x n 4x n 1 4x n 2 2y.2n 3.2n . Ta chọn y 32x 1; x1 0 (x n ) : 0. Áp dụng kết quả 4, ta đượcx4x4x0n2 nn 1n 2x n (2 2n )2n 1 un (2 2n ).2n 1 3n 2 .2n 1 (3n 2 2n 2)2n 1 .Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau:u 0 ; u1Dạng 8: Cho dãy số (un ) xác định bởi: . Để xácnub.uc.ud.;n2 nn 1n 2địnhCTTQcủadãytalàmnhưsau:(un ) Nếu phương trình : X 2 bX c 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác thì ta đặtun x n d2. n , ta có: a.xn 1 bxn c.xn 1 0 .a b cTừ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được xn un .d 2 Nếu x là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: un xn n. n , ta có:b 2ca.xn 1 bxn c.xn 1 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được xn un .d 2 Nếu x là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: un xn .n 2 . n , ta có:b 4ca.xn 1 bxn c.xn 1 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được xn un .Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau- 12 -u x , u2 y, u 3 zDạng 9: Cho dãy (un ) : 1.Để xác định CTTQaun 2 bun 1 cun dun 1 0 n 2của dãy ta xét phương trình: ax 3 bx 2 cx d 0 (1) ( (1)gọi là phương trình đặttrưng của dãy). Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 un x1n x 2n x 3n . Dựa vàou0 , u1, u2 ta tìm được , , .(1)cómột Nếux1 x 2 x 3 un ( n )x1nnghiệmđơn,1nghiệmkép: .x 3nDựa vào u0 , u1, u2 ta tìm được , , . Nếu (1) có nghiệm bội 3 x1 x 2 x 3 un ( n n 2 )x1n . Dựa vàou0 , u1, u2 ta tìm được , , .u 0, u2 1, u3 3,Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (un ) : 1un 7un 1 11.un 2 5.un 3 , n 4Giải : Xét phương trình đặc trưng : x 3 7x 2 11x 5 0Phương trình có 3 nghiệm thực: x1 x2 1, x 3 5Vậy an n 5nCho n 1, n 2, n 3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 131, , 16416Vậy an 1 31 n 1 .5n 1 .16 416u 2; un 2un 1 vn 1n 1 .Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số (un ),(vn ) : 0v0 1; vn un 1 2vn 1Giải:Ta có: un 2un 1 un 2 2vn 2 2un 1 un 2 2(un 1 2un 2 ) un 4un 1 3un 2 và u1 5- 13 -1 3n 11 3n 1Áp dụng kết quả 4, ta có: un . vn un 1 2un 22Tương tự ta có kết quả sau:x px n qyn x1 aDạng 10: Cho dãy (x n ),(yn ) : n 1. Để xác định CTTQ của haiyrysxyb n 1nn1dãytalàmnhưsau:(xn ),(yn )Ta biến đổi được: xn 1 (p s )xn (ps qr )xn 1 0 theo kết quả 4 ta xác định đượcxn , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được yn .Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:q ryn )x n 1 yn 1 (p s )(x n spTa đưa vào các tham số phụ , ' q 'rx ' yn 1 (p ' s )(x n y )n 1p 's nq r s p x n 1 yn 1 (p s )(x n yn )Ta chọn , ' sao cho q'rx ' yn 1 (p ' s )(x n ' yn ) ' n 1 's px yn 1 (p s )n (x1 y1 )n 1giải hệ này ta tìm được xn , yn .nx'y(p's)(x'y) n 1n 111u1 12un 1Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy (un ) : .un2 n 3u4n 1Giải: Ta có3u4 3111 n 1 2. Đặt xn , ta có:un2un 12un 1unx1 15.2n 1 32 un 3 . Áp dụng kết quả 1, ta được: x n 25.2n 1 3x n 2x n 1 2- 14 -u1 29un 1 24Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : .un2 n5un 1 13Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằngcách đặt un xn a . Thay vào công thức truy hồi, ta có:xn a 9x n 1 9a 245x n 1 5a 13 xn (9 5a )x n 1 5a 2 22a 245x n 1 5a 13Ta chọn a : 5a 2 22a 24 0 a 2 x 1 4 xn 13111.3n 1 1045 xn 3xnx n 1xn411.3n 1 10x n 15xn 1 un xn 2 22.3n 1 24n 111.3 10.Dạng 11: Cho dãy (xn): u1 ; un pun 1 qrun 1 sn 2 . Để tìm CTTQ của dãy (xn)ta làm như sau:Đặt un xn t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:xn px n 1 pt qrun 1 rt st (p rt )x n 1 rt 2 (p s )t qrx n 1 rt s(1).Ta chọn t : rt 2 (s p)t q 0 . Khi đó ta chuyển (1) về dạng:Áp dụng kết quả 1, ta tìm được11abxnx n 11, từ đó suy ra xn un .xnu 2Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) : 1vàv1 1u u 2 2v 2nn 1n 1 n 2.v2uv nn 1 n 1Giải:- 15 -22u 2v (u 2vn 1 )2un un 1 2vn 1 nnn 1Ta có: 22v22uvu2v(u2v)nn1n1nnn1n1n 12n 1 (2 2)2un 2vn (u1 2v1 )n 1n 1un 2vn (u1 2v1 )2 (2 2)212n 12n 1 u(22)(22) n2 .n 1n 1 1 22vn (2 2)(2 2)2 22u u 2 2v 2un un2 1 2vn2 1nn1n1Nhận xét: Từ v2uvv2un 1vn 1 nn 1 n 1nDo vậy nếu ta đặt x n unvn un 1 2v n 1 u2 n 1 v n 1 x1 2ta được dãy số (x n ) : x n2 1 2 . Ta có bài toán sau:x n 2x n 1x1 2Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số (xn ) : .x n2 1 2xn2 n2x n 1Giải:u1 2 u u 2 2v 2n 1n 1 n 2 .Xét hai dãy (un ),(vn ) : và nv1 1vn 2un 1vn 1Ta chứng minh x n n 2 x2 - 16 -u2v2unvn(*). 2 n 2 (*) đúng. Giả sử x n 1 un 1vn 1 xn x n2 1 22x n 1un2 1 2vn2 12un 1vn 1unvn (*) được chứngminhn 1Theo kết quả bài toán trên, ta có: x n 2(2 2)22n 1(2 2)n 1 (2 2)22n 1. (2 2)Dạng 12:1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) được xác địnhu u 2 a.v 2 ; u n 1n 11bởi: n(trong đó a là số thực dương) như sau:v2vu;v nn 1 n 11222un un 1 a.vn 1(un aun 1 (un 1 aun 1 )Ta có: a.v2a.vu(u aun 1 (un 1 aun 1 )2nn 1 n 1 n12n 12n 1 u(a)(a) n2 .n 1n 1 1 22vn ( a )( a )2 ax1 2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy (x n ) : x n2 1 a .x n 2x n 1u u 2 a.v 2 ; u n 1n 11Xét hai dãy (un ),(vn ) : n; v1 1vn 2vn 1un 1Khi đó: x n unvnn 1 a( a )22n 1( a )n 1 ( a )22n 1 ( a ).u1 1Ví dụ 1.23: Cho dãy (un ) : . Tìm un ?2u5u24u8n2 nn 1n 1Giải:Ta có: u2 9; u3 89; u4 881. Giả sử: un xun 1 yun 2- 17 -9x y 8989x9y881x 10. Ta chứng minh: un 10un 1 un 2 n 3y1Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (un 5un 1 )2 24un2 1 8 un2 10un un 1 un2 1 8 0n( 1 thay)bởin 1,tađược:un2 2 10un 2un 1 un2 1 8 0 (2) .Từ (1),(2) un 2, un là hai nghiệm của phương trình : t 2 10un 1t un2 1 8 0Áp dụng định lí Viet, ta có: un un 2 10un 1 .Vậy un 6 22 65 2 6 n 16 22 65 2 6 n 1.Dạng 13:u1 1là dãy nguyên a 24 .1) Dãy (un ) : 2u5uau8n2 nn 1n 1Thật vậy: u2 5 a 8 5 t ( t a 8 u3 ) u3 5 (t 2 8)(t 5)2 8 f (t ) (t 2 8)(t 5)2 8 m 2 (m ) .Mà (t 2 5t 4)2 f (t ) (t 2 5t 14)2 kết hợp với f (t ) là số chẵn ta suy ram t 2 5t x với x 6, 8,10,12 . Thử trực tiếp ta thấy t 4 a 24 .u1 , với a 2 b 1 ta xác định2) Với dãy số (un ) : 2un aun 1 bun 1 c n 2CTTQ như sau:Từ dãy truy hồi (un aun 1 )2 bun2 1 c un2 2aun un 1 un2 1 c 0Thay n bởi n 1 , ta có: un2 2 2aun 1un 2 un2 1 c 0 un un 2 2aun 1 .u1 un 13) Với dãy (un ) : u na cun2 1 bxác định CTTQ như sau:Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng:- 18 -n 2,trong đó 0; a 1 ; a 2 b 1 ta1ab1 c. Đặt x n un un 1unun2 1Ta có un aun 1 bxn2 1 c đây là dãy mà ta đã xét ở trên.u1 u2 1Ví dụ 1.24: Cho dãy (un ) : . Tìm un ?un2 1 2un2 nun 2Giải:Ta có: u3 3; u4 11; u5 41 . Ta giả sử un xun 1 yun 2 z .Từ u3 3; u4 11;x y z 3u5 41 ta có hệ phương trình: 3x y z 11 11x 3y z 41u u2 1Ta chứng minh (un ) : 1un 4un 1 un 2 n 3 Với n 3 u3 4u2 u1 3 n 3 đúngx 4y 1 un 4un 1 un 2z 0 Giả sử uk 4uk 1 uk 2 . Ta có:uk 1 uk2 2uk 1 4uk 1 uk 2 2uk 1216uk2 1 8uk 1uk 2 uk 1uk 3uk 116uk2 1 8uk 1uk 2 uk2 2 2uk 1 16uk 1 8uk 2 uk 3 4(4uk 1 uk 2 ) (4uk 2 uk 3 ) 4uk uk 1Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm un - 19 -3 12 32 3 n 13 12 32 3 n 1.II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐNhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thếlượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những côngthức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau1u1 Ví dụ 2.1: Cho dãy (un ) : . Xác định CTTQ của dãy (un ) .22un 2un 1 1 n 2Giải:Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin12Ta có: u1 cos u2 2 cos2 1 cos2333248 u3 2 cos2 1 cos u4 cos....3332n 1 Ta chứng minh un cos. Thật vậy322 1 2 Với n 2 u2 cos(đúng) cos33n 12n 2 2n 1 22 2 Giả sử un 1 cos un 2un 1 1 2 cos 1 cos3332n 1 Vậy un cosn 1 .3Nhận xét:Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi u1 1 . Vậytrong trường hợp u1 1 thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của dãy11(a ) ( trong đó a 0 và cùng dấu với u1 ).2a111111Khi đó u2 (a 2 2 ) 1 (a 2 ) u3 (a 4 ) ....222a2a2a41 n 11Ta chứng minh được un (a 2 n 1 ) n 1 . Trong đó a là nghiệm (cùng dấu2a2số (un ) ta đặt u1 với u1 ) của phương trình : a 2 2u1a 1 0 . Vì phương trình này có hai nghiệm cótích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau- 20 -2n 12n 1 1 22.un u1 u1 1 u1 u1 1 2 3u1 Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số (un ) : .23u 4u 3un 1 n 2n 1 nGiải:332 3Ta có: u1 ..... cos u2 4 cos 3 cos cos 3 u3 cos2666663n 1 Bằng quy nạp ta chứng minh được: un cos.6Nhận xét:u1 p(u):ĐểtìmCTTQcủadãy, ta làm như sau1)3nu4u3un2 nn 1n 1 Nếu | p | 1 0; : cos p .Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : un cos 3n 1 .11 a ( a cùng dấu với u1 )2a1 n 11 n 1 .Bằng quy nạp ta chứng minh được un a 32 a33n 13n 1 1 22.Hay un u1 u1 1 u1 u1 1 2 2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số Nếu | p | 1 , ta đặt u1 u1 p(un ) : bằng cách đặt u1 3u4u3un2 nn 1n 1tachứngminh3n 11 3n 11 1 un a n 1 u1 u12 1 u1 2 2 a3- 21 -11(a ) . Khi đó bằng quy nạp2ađượcu12 1 3n 1:.3u1 Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ của dãy (un ) : .22un 2 un 1 n 2Giải:Đặt 3 cos , ; ,42 khiđó:u1 2 cos u2 2(1 2 cos2 ) 2 cos 2 .Bằng quy nạp ta chứng minh được un 2 cos 2n 1 .1u1 2Ví dụ 2.4: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : 2 2 1 un2 1un 2Giải:Ta có: u1 Bằng1 sin u2 26quynạp2 2 1 sin22tachứng6.n 2minh2(1 cos )6 sin 22.6được:un sin2n 1.6.Ví dụ 2.5: Cho a, b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a b và hai dãy (an ),(bn )a b;b1 b.a1a1 2được xác định: . Tìm an và bn .aba n 1 n 1 ;b a bn 2nn n 1 n2Giải: aaTa có: 0 1 nên ta đặt cos với 0; bb 2Khi đó: a1 a2 - 22 -a1 b12b cos b b(1 cos ) b cos b cos2 và b1 b.b cos222222b cos22 b cos22 b cos .cos2 và b b cos cos .2222222Bằng quy nạp ta chứng minh được:an b cos cos ...cos2và bn b cos cos ...cos .22222n222nu 3 1Ví dụ 2.6: Cho dãy (un ) : . Tính u2003 (Trích đề thiun 1 2 1un2 n1 (1 2)un 1Olympic 30 – 4 – 2003 Khối 11).Giải: Ta có tan8 2 1 un 1 tan tan88un 18 tan( )33 81 tan tan38Bằng quy nạp ta chứng minh được un tan (n 1) .83Mà u1 3 tantanun 1 tan u2 3 2002 Vậy u2003 tan tan ( 3 2) .8 33 4u1 aun 1 bChú ý : Để tìm CTTQ của dãy (un ) : .un2 n 1 bun 1Ta đặt a tan ;b tan , khi đó ta chứng minh được: un tan (n 1) u 3 1un 1Ví dụ 2.7: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : un 1 1 un2 1Giải: Ta có:- 23 -n 2.1111 1. Đặt x n khi đó ta được dãy (xn ) được xácun un 1unun2 1định như sau: x1 131 cot x 2 cot 1 cot21 cos3 cot 3332.33sin3 un tann 1,2,...Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n cotn 1n 12 .32 .3Vì x1 và x n x n 1 1 x n2 1 .ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐBÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢPTrong mục này chúng tôi đưa ra một số ví dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quátrình giải các bài toán đó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên.un2 1 11 (2).Ví dụ 4.1: Cho dãy số nguyên (un ) : u1 2; u2 7 và un 2un 2 2Chứng minh un lẻ n 2 .Giải:22 u21 1 un 1 11 un 1n1 ; un Từ giả thiết, ta có:. Vì trên khoảng un 2 2 2 un 2 un 2 22 un 2(có độ dài bằng 1 ) có duy nhất một số nguyên nên dãy đã cho xác định là duy nhất.Ta có: u3 25; u4 89 . Ta giả sử un xun 1 yun 2 .un2 17x 2y 25x 3Từ u3 25; u4 89 ta có hệ: .25x7y89y2v 2; v2 7Ta chứng minh dãy (vn ) : 1thỏa mãn (2)vn 3vn 1 2vn 2 n 3Thật vậy, ta có: vn vn2 1vn 2vn .vn 2 vn2 1vn 2.Từ công thức truy hồi của dãy ta có được vn 2nn 2 (a). Mặt khác:vn vn 2 vn2 1 vn 2 (3vn 1 2vn 2 ) vn 1(3vn 2 2vn 3 ) 2(vn 1vn 3 vn2 2 ) ... (2)n 3 (v3v1 v22 ) (2)n 3 (b)- 24 -vn2 1 11 .Từ (a) và (b) ta suy ra: vn 2vn 2 2u 2; u2 7 (un ) : 1. Từ công thức truy hồi của dãy (un ) ta thấy unun 3un 1 2un 2 n 2là số nguyên lẻ n 2 .Ví dụ 4.2: Cho dãy số (an ) : a0 0, a1 1, an 1 2an an 1 1 n 1 . Chứng minhrằng A 4anan 2 1 là số chính phương.Giải:Từ công thức truy hồi của dãy ta thay n 1 bởi n ta được:an 1 2an an 1 1 an 1 3an 3an 1 an 2 0 .a2aa1 nn 1n 2Xét phương trình đặc trưng 3 3 2 3 1 0 1 an ( n n 2 ) , do a 0 0, a1 1, a2 3 0, 1.21(n n 2 ) A n(n 1)(n 2)(n 3) (n 2 3n 1)2 đpcm.2Ví dụ 4.3: Cho dãy số (xn ) : x1 7, x 2 50; xn 1 4xn 5xn 1 1975 n 2 . an Chứng minh rằng x1996 1997(HSG Quốc Gia – 1997 )Giải:Vì1975 22(mod1997) doxn 1 4xn 5xn 1 22 1997đótachỉcầnchứngminhdãyĐặt yn 1 axn 1 b a(4xn 5xn 1 22) b 4(axn b) 5(axn 1 b) 22a 8b 4yn 5yn 1 22a 8b .Ta chọn a, b sao cho: 22a 8b 0 , ta chọn a 4 b 11 . yn 1 4xn 1 11 y1 39, y2 211; yn 1 4yn 5yn 18(1)n 25.5n8 25.51996Từ đây ta có được: yn . y1996 33Vì 8 25.51996 1 1 0(mod 3) y1996 Theo định lí Fecma 51996 1(mod1997) y1996 11(mod1997) 4x1996 11 11(mod1997) x1996 0(mod1997) .- 25 - |
