Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp? Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn như nào? Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp? Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng tìm hiểu cụ thể về chủ đề này nhé! Show
Lý thuyết tứ giác nội tiếp đường trònĐịnh nghĩa tứ giác nội tiếp đường trònTứ giác nội tiếp trong một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn
Định lý Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng (180^{circ}) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O): (left{begin{matrix} widehat{A}+widehat{B} &= &180^{circ} \ widehat{B}+widehat{D} & =& 180^{circ} end{matrix}right.) Định lý đảo Từ đinh lý tứ giác nội tiếp trên, ta suy ra được định lý đảo như sau: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180^{circ} thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.  Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường trònChứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đóNếu cho một đường tròn tâm O, bán kính R thì bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn(O) cũng cách đều tâm O một khoảng bằng R. Từ đó có thể suy ra một cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Cụ thể: Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I, tức là (IA=IB=IC=ID), thì I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B, C, D. Hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180^{circ}Cho tứ giác ABCD, dựa vào dấu hiệu nhận biết thứ hai, nếu chứng minh được widehat{A}+widehat{B} &= &180^{circ} hoặc widehat{C}+widehat{D} &= &180^{circ}, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn. Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh của tứ giác, cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhauVí dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được rằng từ hai đỉnh A và B cùng kề một cạnh AB của tứ giác, có (widehat{DAC}=widehat{DBC}) và cùng nhìn cạnh DC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường trònVí dụ: Cho tam giác ABCD. Nếu chứng minh được(widehat{A}+widehat{C}=widehat{B}+widehat{D}) thì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Đây có thể nói là một trường hợp đặc biệt của trường hợp 2. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đóVí dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Chứng minh bằng phương pháp phản chứngCó thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông. Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếpVí dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại HChứng minh rằng:
Cách giải a) Ta có: (widehat{BEC}=widehat{BFC}=90^{circ}) Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BECF nội tiếp. b) Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét tam giác BHF và CHE có: (widehat{EBF}=widehat{ECF}) (2 góc nội tiếp cùng chắn) (widehat{FHB}=widehat{EHC}) (đối đỉnh) Suy ra (bigtriangleup BHF sim bigtriangleup CHE) (g.g) (frac{BC}{CH}=frac{HF}{HE}) hay (HB.HE=HC.HF (1)) Chứng minh tương tự ta có: (HA.HD=HB.HE (2)) Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF Ví dụ 2: Chứng minh bốn điểm E, F,O, D cùng nằm trên một đường trònCách giải Ví dụ 3: Cho tam giác (ABC(AB=AC)) nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AG, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp. b) AF.AC = AH.AG Cách giải Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại (A(AB<AC)) nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính r. Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh: a) Tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này. b) Hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc nhau. Cách giải: a) Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn:
b) Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:
Tính IK để kết luận 2 đường tròn (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A. Trên đây là những kiến thức về chủ đề cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cũng như các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp. Hy vọng bạn sẽ tìm thấy những kiến thức hữu ích. Chúc bạn luôn học tốt!. Tác giả: |
