Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({5^{x + 1}} - \dfrac{1}{5} > 0\) Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({5^x} < 7 - 2x\) Nghiệm của bất phương trình \({e^x} + {e^{ - x}} < \dfrac{5}{2}\) là Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${7^x} \ge 10-3x$ Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09\) Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({4^x} - {5.2^x} + 4 < 0\) là:
Bất phương trình là dạng toán tương đối khó, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức. Với các bài toán trắc nghiệm tìm tập nghiệm của bất phương trình, nếu không nắm vững cách giải chúng ta sẽ rất mất thời gian. Trong trường hợp này chúng ta có thể sử dụng máy tính để hỗ trợ.
Ta hãy xét một số ví dụ dưới đây để thấy được phương pháp sử dụng máy tính để tìm tập nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 1. Tìm tập nghiệm của bất phương trình \[{4^x} < {2^{x + 1}} + 3.\] Hướng dẫn giải: \[{4^x} < {2^{x + 1}} + 3 \Leftrightarrow {4^x} – {2^{x + 1}} – 3 < 0\] Nhập máy: \[{4^x} – {2^{x + 1}} – 3\], bấm CALC Để kiểm tra đáp án A và B, ta sẽ chọn một số thuộc tập A mà không thuộc tập B hoặc ngược lại. Ví dụ ta nhập X = 4, ta được kết quả là \[221 > 0\] không thỏa bất phương trình nên số 4 không thuộc tập nghiệm. Ta loại đáp án A. Thực hiện tương tự, để kiểm tra giữa B và C, ta nhập X = \[-0\], được kết quả là \[ – 4 < 0\] thỏa bất phương trình nên số \[ -0\] thuộc tập nghiệm, ta loại đáp án B và cũng sẽ loại luôn đáp án D vì không chứa số \[-0\]. Vậy ta chọ đáp án C. Ví dụ 2. Giải bất phương trình: $${3^{\sqrt {2x} + 1}} – {3^{x + 1}} \le {x^2} – 2x$$. A. $$\left( {0; + \infty } \right)$$. B. $$\left[ {0;2} \right]$$. C. $$\left[ {2; + \infty } \right)$$. D. $$\left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}$$. Hướng dẫn giải: $${3^{\sqrt {2x} + 1}} – {3^{x + 1}} – {x^2} + 2x < 0$$ Nhập máy: $${3^{\sqrt {2x} + 1}} – {3^{x + 1}} – {x^2} + 2x$$, bấm CALC. Nhập X = 3, được kết quả là \[ – 39.75… < 0\], thỏa phương trình nên ta loại đáp án B.  Tương tự lần lượt thử với các giá trị x bằng 1 và 0, ta sẽ chọn được đáp án C. Như vậy, với thủ thuật này chúng ta có thể giải quyết nhanh chóng bài toán trắc nghiệm tìm tập nghiệm của bất phương trình. Tuy nhiên phương pháp này có hạn chế là chúng ta chỉ có thể áp dụng khi bài toán yêu cầu tìm tập nghiệm. Nếu bài toán hỏi khác đi, ví dụ như bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên… thì phương pháp này không thể sử dụng được, khi đó ta chuyển sang phương pháp khác. Ta xét ví dụ dưới đây: Ví dụ 3. Biết bất phương trình $${\log _2}x + {\log _2}(x – 2) < {\log _2}3$$ có tập nghiệm là khoảng \[\left( {a;b} \right)\]. Tính tổng \[a + b\]. A. $$2$$. B. $$3$$. C. $$6$$. D. $$5$$. Hướng dẫn giải Ta tìm được điều kiện của bất phương trình là \[x > 2.\] Nhập máy: $${\log _2}x + {\log _2}(x – 2) – {\log _2}3$$ Sử dụng chức năng SHIFT + SOLVE ta tìm được nghiệm duy nhất của phương trình là \[x = 3.\] Lập bảng xét dấu trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và ta tìm được tập nghiệm của bất phương trình là \[\left( {2;3} \right)\]. Vậy đáp án của chúng ta là D. Tải về một số bài tập trắc nghiệm bất phương trình mũ – logarit để thực hành phương pháp trên nhé. TẢI VỀ Chúc các em ôn tập tốt!
PHƯƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN *Chú ý: Nếu khoảng (a;b) và (c;d) cùng thỏa mãn mà $\left( {a,b} \right) \subset \left( {c,d} \right)$ thì (c;d) là đáp án chính xác Ví dụ minh họa D. $\left( { – \propto ; – 2} \right) \cup \left( {4; + \propto } \right)$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017) Lời giải: Nhập vế trái vào máy tính Casio
A đúng B đúng vậy A$ \cup $ B là đúng nhất và D là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}1$ ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}1$ (1) Vì cơ số $\frac{1}{2}$ thuộc $\left( {0;1} \right)$ nên (1) $ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < 1 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < {\log _3}3$ (2) Vì cơ số 3>1nên (2) $\Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < 3 \Leftrightarrow 3 – \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x – 4}}{{x – 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1 \end{array} \right.$ Xét điều kiện tồn tại $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0\\ {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0\\ {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > {\log _3}1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x – 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < – 2 \end{array} \right.$ Kết hợp đáp số $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1 \end{array} \right.$ và điều kiện $\left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < – 2 \end{array} \right.$ ta được $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < – 2 \end{array} \right.$ Bình luận :
VD2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}$ : A. $x \in \left( { – \propto ; – 2} \right) \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$ B. $x \in \left( { – \propto ; – 2} \right] \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$ C. $x \in \left( { – \propto ;{{\log }_2}5 – 2} \right) \cup \left( {2; + \propto } \right)$ D. $x \in \left( { – \propto ;lo{g_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right)$ (Chuyên Thái Bình 2017) Lời giải Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} – 4}} – {5^{x – 2}} \ge 0$ Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio
Vì nửa khoảng $\left( { – \propto ;lo{g_2}5 – 2} \right]$ chứa nửa khoảng $\left( { – \propto ; – 2} \right]$ vậy đáp án D là đáp án đúng nhất Cách tham khảo: Tự luận Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta được ${\log _2}\left( {{2^{{x^2} – 4}}} \right) \ge {\log _2}\left( {{5^{x – 2}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge \left( {x – 2} \right){\log _2}5$ $ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 – {{\log }_2}5} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 – 2 \end{array} \right.$ Vậy ta chọn đáp án D. Bình luận : • Bài toán này lại thể hiện nhược điểm của Casio là bấm máy sẽ mất tầm 1.5 phút so với 30 giây của tự luận. Các e tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào thì làm theo cách Casio • Các tự luận tác giả dùng phương pháp Logarit hóa 2 vế vì trong bài toán xuất hiện đặc điểm “ có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung” các bạn lưu ý điều này. VD3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 > 0$ : A. $S = \left( {2; + \propto } \right)$ B. S= (0;2) C. S=R D. $\left( { – \propto ;2} \right)$ (Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017) Lời giải Nhập vế trái vào máy tính Casio
Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác Cách tham khảo: Tự luận Bất phương trình $ \Leftrightarrow $ ${2.2^x} + {3.3^x} + 1 > {6^x} \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{2}{6}} \right)^x} + 3.{\left( {\frac{3}{6}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x} > 1$ $ \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x} > 1$ (1) Đặt $f\left( x \right) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}$ khi đó (1) $ \Leftrightarrow f\left( x \right) > f\left( 2 \right)$ (2) Ta có $f’\left( x \right) = 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}\ln \left( {\frac{1}{3}} \right) + 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \left( {\frac{1}{2}} \right) + {\left( {\frac{1}{6}} \right)^x}\ln \left( {\frac{1}{6}} \right) < 0$ với mọi x $ \Rightarrow $ Hàm số f(x) nghịch biến trên R Khi đó (2) $ \Leftrightarrow x < 2$ Bình luận :
Phương pháp 2: CALC theo chiều nghịch Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái $ \ge 0$ hoặc Vế trái $ \le 0$ Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . CALC NGHỊCH có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng (a;b) thì bất phương trình sai với mọi giá trị không thuộc khoảng (a;b) Ví dụ minh họa VD1. Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right) > 0$ có tập nghiệm là: A. $\left( { – \propto ; – 2} \right)$ B. $\left( {4; + \propto } \right)$ C. $\left( { – 2;1} \right) \cup \left( {1;4} \right)$ D. $\left( { – \propto ; – 2} \right) \cup \left( {4; + \propto } \right)$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ) Lời giải: Nhập vế trái vào máy tính Casio
Đáp án A đúng B đúng vậy ta chọn hợp của 2 đáp án là đáp án D chính xác. VD2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}$. A. $x \in \left( { – \propto ; – 2} \right) \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$ B. $x \in \left( { – \propto ; – 2} \right] \cup \left( {{{\log }_2}5; + \propto } \right)$ C. $x \in \left( { – \propto ;{{\log }_2}5 – 2} \right) \cup \left( {2; + \propto } \right)$ D. $x \in \left( { – \propto ;lo{g_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right)$ (Chuyên Thái Bình 2017) Lời giải: Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} – 4}} – {5^{x – 2}} \ge 0$ Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác VD3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 > 0$: A. $S = \left( {2; + \propto } \right)$ B. $S = \left( {0;2} \right)$ C. S=R D. $\left( { – \propto ;2} \right)$ (Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017) Lời giải: Nhập vế trái vào máy tính Casio
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác BÀI TẬP TỰ LUYỆN D. $\left( { – \propto ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)$ (Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017) Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) – 1} $ là : A. $\left[ {1; + \propto } \right)$ B. $\left( {1;\frac{3}{2}} \right]$ C. $\left( {1; + \propto } \right)$ D. $\left[ {\frac{3}{2}; + \propto } \right)$ (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017) Bài 3. Nghiệm của bất phương trình ${\log _{x – 1}}\left( {{x^2} + x – 6} \right) > 1$ là: A. x > 1 B. $x > \sqrt 5 $ C. $x > 1;x \ne 2$ D. $1 < x < \sqrt 5 ,x \ne 2$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017) Bài 4. Giải bất phương trình ${\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{{x^2} – x – 9}} \le {\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{x – 1}}$: A. $x \le – 2$ B. $x \ge 4$ C. $ – 2 \le x \le 4$ D. $x \le – 2$ hoặc $x \ge 4$ (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017) Bài 5. Bất phương trình ${2^{{x^2}}}{.3^x} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên : A.1 B. Vô số C. 0 D. 2 (THPT HN Amsterdam 2017) Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${32.4^x} – {18.2^x} + 1 < 0$ là tập con của tập A. $\left( { – 5; – 2} \right)$ B. $\left( { – 4;0} \right)$ C. $\left( {1;4} \right)$ D. $\left( { – 3;1} \right)$ (Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017) LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Bất phương trình $\ln \left[ {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right) + 1} \right] > 0$ có tập nghiệm là : A. $\left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \propto } \right)$ B. $\left( {1;2} \right) \cap \left( {3; + \propto } \right)$ C. $\left( { – \propto ;1} \right) \cap \left( {2;3} \right)$ D. $\left( { – \propto ;1} \right) \cup \left( {2;3} \right)$ (Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017) Lời giải: Kiểm tra khoảng nghiệm (1;2) với cận dưới X= 1+ 0.1 và cận trên X= 2- 0.1
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ \Rightarrow $ A là đáp số chính xác Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {x – 1} \right) – 1} $ là : A. $\left[ {1; + \propto } \right)$ B. $\left( {1;\frac{3}{2}} \right]$ C. $\left( {1; + \propto } \right)$ D. $\left[ {\frac{3}{2}; + \propto } \right)$ (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017) Lời giải: Điều kiện : ${\log _{0.5}}\left( {x – 1} \right) – 1 \ge 0$ ( trong căn $ \ge 0$) Kiểm tra khoảng nghiệm $\left[ {1; + \propto } \right)$ với cận dưới X=1 và cận trên ${10^9}$
Hơn nữa $X = \frac{3}{2} + 0.1$ vi phạm $ \Rightarrow $ C và D loại luôn Bài 3. Nghiệm của bất phương trình ${\log _{x – 1}}\left( {{x^2} + x – 6} \right) > 1$ là? A. x >1 B. $x > \sqrt 5 $ C. $x > 1;x \ne 2$ D. $1 < x < \sqrt 5 ,x \ne 2$ (Chuyên Khoa học tự nhiên 2017) Lời giải: Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${\log _{x – 1}}\left( {{x^2} + x – 6} \right) – 1 > 0$ Kiểm tra khoảng nghiệm x> 1 với cận dưới X= 1+0.1 và cận trên $X = {10^9}$
Cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên A , C , D đều sai Bài 4. Giải bất phương trình ${\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{{x^2} – x – 9}} \le {\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{x – 1}}$. A. $x \le – 2$ B. $x \ge 4$ C. $ – 2 \le x \le 4$ D. $x \le – 2$ hoặc $x \ge 4$ (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017) Lời giải: Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{{x^2} – x – 9}} – {\left( {\tan \frac{\pi }{7}} \right)^{x – 1}} \le 0$ Kiểm tra khoảng nghiệm $x \le – 2$ với cận dưới X= -10 và cận trên X= -2
Tóm lại A , B đều nhận nên hợp của chúng là D là đáp số chính xác. Bài 5. Bất phương trình ${2^{{x^2}}}{.3^x} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên. A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2 (THPT HN Amsterdam 2017) (Xem đáp án ở Bài 5 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn) Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${32.4^x} – {18.2^x} + 1 < 0$ là tập con của tập? A. (-5, -2) B. (-4; 0) C. (1;4) D. (-3; 1) (Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017) (Xem đáp án ở Bài 6 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn) |
