Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Quảng cáo - Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng (P) - Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q) Ví dụ: 1 Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:  A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là: - Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có 1 điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1) Phương trình mặt phẳng (Q) là: 1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0 - Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q) Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn: Vậy phương trình của d là: Chọn A. Quảng cáo Ví dụ: 2 Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết : A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy) Vậy d’ có phương trình tham số là:
Chọn C. Ví dụ: 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải + Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P). Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến => Mặt phẳng ( Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến => Phương trình (Q): - 8( x- 12) + 7( y- 9) + 11(z- 1) = 0 Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0 + Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0 Ta có hệ : => M( 0; 0; - 2)∈ d + Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; - 2) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình tham số của d’ là: Chọn B. Quảng cáo Ví dụ: 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)? A. B. C. D. Tất cả sai Hướng dẫn giải + Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được : 1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn). Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) . => Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P). Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB. => Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó. + Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto => Phương trình AB: Chọn C. Ví dụ: 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; 2; 0) và B( 0; 1; 1). Mặt phẳng (P): 3x+ y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P)? A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải + Gọi mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P). Đường thẳng AB đi qua A( -1; 2;0) và có vectơ chỉ phương Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến => Mặt phẳng ( Q) qua A( - 1; 2; 0) có vectơ pháp tuyến => Phuong trình (Q): 0( x+ 1) + 1( y- 2) + 1( z- 0) = 0 Hay y+ z - 2= 0 + Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc d thì thỏa mãn : Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho x= 0 Ta có hệ: => M( 0;-2; 4) ∈d + Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; - 2; 4) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình tham số của d’ là: Chọn A. Ví dụ: 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 1; 0;0); B( 0; 1; 0) và C( 0; 0;1). Đường thẳng A. ( 1; 2; -1) B. ( 2; - 3; - 2) C. (- 1; 3; -1) D. ( 0; - 1; 0) Hướng dẫn giải + Đường thẳng d có vecto chỉ phương + Phương trình mặt phẳng + Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) => Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B(0; 1; 0) thuộc d và nhận vecto => Phương trình mặt phẳng ( Q): 1(x- 0) + 0( y- 1) – 1( z- 0) = 0 Hay ( Q): x- z= 0 + đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó: với mỗi điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn: Đặt x= t => => Phương trình tham số của đường thẳng Δ: +cho t= - 1 ta được điểm H( -1;3; -1) thuộc đường thẳng Δ. Chọn C Ví dụ: 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( Q) nên phương trình mặt phẳng ( P) có dạng: x- 2y + z+ D= 0 Mà điểm H( 1; 1; 1) thuộc (P) nên : 1- 2. 1+ 1+ D= 0 ⇔ D= 0 Vậy phương trình (P): x- 2y + z= 0 + Đường thẳng d đi qua M(1 ;2; 0) và có vecto chỉ phương + Gọi ( R) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). => (R) qua M( 1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến => Phương trình ( R): 2( x- 1) + 3( y- 2) + 4( z- 0) = 0 hay 2x + 3y+ 4z – 8= 0 + Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và ( R). Do đó; với mỗi điểm N( x;y; z) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn: Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được x= -4 và z= 4 => I( - 4; 0; 4) thuộc Δ. Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương => Phương trình đường thẳng Δ: Chọn D. Ví dụ: 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. 3 B. 2 C.– 4 D. 5 Hướng dẫn giải + Đường thẳng d đi qua A( -2; 1; 0) có vecto chỉ phương Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến + Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng (Q) chứa A( -2; 1; 0) và nhận vecto => Phương trình ( Q): 1( x+ 2) + 1( y- 1) + 1( z-0) = 0 hay x+ y+ z+ 2 = 0 + Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình: Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0 thay vào hệ ta được x= - 2 và z= 0 => Điểm B( -2; 0; 0) thuộc Δ và Δ nhận vecto => Phương trình đường thẳng Δ: => a= 0; b= 0 và c= 3 nên a+ b+c= 3 Chọn A. Câu 1: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết: A. B. C. D. Đáp án khác
+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là: - Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có 1 điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: ( 0; 0; -1) Phương trình mặt phẳng (Q) là: 1.(x – 0) + 0.(y - 0) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 1 = 0 - Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q) Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn: Vậy phương trình của d là: Chọn B. Câu 2: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d trên (Oxz) biết : A. B. C. D.
Mặt phẳng (Oxz)có phương trình y= 0. Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxz) là điểm M’ (x; 0; z) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxz) Vậy d’ có phương trình tham số là d': Chọn A. Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. B. C. D. Đáp án khác
+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P). Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0; 1) và có vectơ chỉ phương Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến => Mặt phẳng ( Q) qua B( 1; 0; 1) có vectơ pháp tuyến => Phuong trình (Q): 1( x- 1) - 1( y- 0) - 4(z- 1) = 0 hay x - y - 4z + 3= 0 + Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho z= 0 Ta có hệ: => M(1/2; 7/2;0) ∈d' + Đường thẳng d’ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình tham số của d’ là: Chọn B. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(- 2; 3; 0) và B(0; 3; 1). Cho mặt phẳng ( P): x+ 2y- 2z- 4= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)? A. B. C. D. Tất cả sai
+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được : - 2+ 2.3- 2.0 - 4= 0 ( thỏa mãn). Và 0+ 2.3 – 2. 1- 4 = 0 ( thỏa mãn) . => Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P). Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB. => Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó. + Đường thẳng AB: đi qua A(- 2; 3; 0) và nhận vecto => Phương trình AB: Chọn C. Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -2; - 1; - 3) và B( 0; 1; -2). Mặt phẳng (P): x+ 2y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P)? A. B. C. D.
+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P). Đường thẳng AB đi qua B( 0; 1; - 2) và có vectơ chỉ phương Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến => Mặt phẳng ( Q) qua B( 0; 1; -2) có vectơ pháp tuyến => Phuong trình (Q): - 4( x- 0) + 3( y- 1) + 2( z+ 2) = 0 Hay - 4x + 3y+ 2z + 1= 0 + Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc d thì thỏa mãn : Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho y= 1 Ta có hệ : => M( 10; 1; 18) ∈d + Đường thẳng d’ đi qua điểm (10; 1; 18) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình tham số của d’ là: Chọn D. Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 2; 0;0); B( 0; -3; 0) và C( 0; 0;-2). Đường thẳng A. ( 1; 2; -1) B. ( 2; - 3; - 2) C. (1; 3; -1) D. ( 3; - 1; 0)
+ Đường thẳng d đi qua I (1; 0; 0) có vecto chỉ phương + Phương trình mặt phẳng + Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) => Mặt phẳng (Q) đi qua điểm I(1; 0 ;0) thuộc d và nhận vecto => Phương trình mặt phẳng ( Q): 1(x- 1) + 0( y- 0) + 1( z- 0) = 0 Hay ( Q): x+ z- 1= 0 + đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó; với mõi điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn: Đặt x= t => => Phương trình tham số của đường thẳng Δ: Vậy một vec to chỉ phương của Δ là ( 1;3; - 1) Chọn C Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. B. C. D.
+ Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( Q) nên phương trình mặt phẳng ( P) có dạng: x + y + z+ D= 0 Mà điểm O(0; 0; 0) thuộc (P) nên : 0+ 0+ 0+ D = 0 ⇔ D= 0. Vậy phương trình (P): x+ y + z= 0 + Đường thẳng d đi qua M(- 3;1; -2) và có vecto chỉ phương + Gọi ( R) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). => (R) qua M(- 3; 1; -2) và có vecto pháp tuyến => Phương trình ( R): 2( x+ 3) - 1( y- 1) - 1( z+ 2) = 0 hay 2x – y- z+ 5= 0 + Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và ( R). Do đó; với mỗi điểm N( x;y; z) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn: Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương => Phương trình đường thẳng Δ: Chọn D. Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. (3; 6; 0) B. ( 1; - 2; 0 ) C. ( 6; 0; 12) D. (0; 1; 2)
+ Đường thẳng d đi qua A( 0; - 2; - 3) có vecto chỉ phương Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến + Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng (Q) chứa A(0; -2; - 3) và nhận vecto => Phương trình ( Q): - 2( x- 0) + 1( y+ 2) + 5( z+ 3) = 0 hay – 2x + y+ 5z + 17 = 0 + Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình: => Δ nhận vecto => đường thẳng Δ cũng nhận vecto ( 3; 6; 0) làm vecto chỉ phương Chọn A.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp |
