\(\eqalign{& \Leftrightarrow {{z + 1} \over {z - 1}} = - {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr& \Rightarrow (z + 1)(\overline z - 1) = (\overline z + 1)(1 - z) \cr&\Leftrightarrow z.\overline z + \overline z - z - 1 = \overline z + 1 - z.\overline z - z\cr & \Leftrightarrow 2z\overline z = 2\cr &\Leftrightarrowz.\overline z = 1 \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
LG a Xác định phần thực của số phức \({{z + 1} \over {z - 1}}\)biết rằng |z| = 1 và z 1 Phương pháp giải: Xét\(w={{z + 1} \over {z - 1}}\). Sử dụng tính chất: \(w+ \overline w = 2a\) để suy ra phần thực của w. Lời giải chi tiết: Ta có: \(|z| = 1 \Rightarrow z.\overline z = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\) Với \(z 1\) Xét\(w={{z + 1} \over {z - 1}}\) ta có: \(\eqalign{ Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\)là số ảo nên có phần thực bằng 0. Cách khác: Giả sử z=a+bi với a2+b2=1 và a+bi 1.
Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\)là số ảo nên có phần thực bằng 0. LG b Chứng minh rằng nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\)là số ảo thì |z| = 1. Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Nếu w là số ảo thì \(w + \overline w = 0\) hay\(w =- \overline w \) Lời giải chi tiết: Xét\(w={{z + 1} \over {z - 1}}\). Nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\)là số ảo thì \(w = - \overline w \Leftrightarrow \frac{{z + 1}}{{z - 1}} = - \overline {\left( {\frac{{z + 1}}{{z - 1}}} \right)} \) \(\eqalign{ \( \Rightarrow \left| z \right|.\left| {\overline z } \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\) Vậy |z| = 1. Cách khác: Theo câu a, ta có: \(\frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}} - \frac{{2b}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}}i\) Nên (z+1)/(z-1) là số ảo thì a2+b2-1=0 <=> a2+b2=1 <=> |z| = 1 (đpcm)
|
