Chuyên đề bài toán cực trị trong oxyz năm 2024

@

Î@

J

ÄK

R

CÎH

@

@

R

Z

R

ZCHF

O

LÒHF

F

KNH

R

C

Ĕ



Hfuyh Rt Rlu(Rrƴhf RLTR `luyçh AƴƮhf Rl Ykhl - Ĕhf Hnk)R

ÐM RR

Jäk tcäh `` tr hðk `luhf lny `` tr tn Ğ olòhf fknh

Cxyz

tlƴhf tc rn olð olĀh`lc l` skhl. Olð olĀh l` skhl tlƴhf fp olk Ğhf trƴ` mt jäk tcîh `` tr trchfolòhf fknh

Cxyz

aä7 `î`l x aí jäk tcîh Ğð3 okh tl` `h bûhf3... vä ` têm aí hn! Jäkvkt häy hlm fk÷p `î` em l` skhl `ð tl tám Ğƴ` lƴhf x aí olk fp jäk tcîh `` trtrchf olòhf fknh

Cxyz

.

Yk jäk tcîh `` tr trchf olòhf fknh

Cxyz

, `l÷hf tn tlƴhf x aí tlec mt trchf lnk lƴhfsnu7

Lƴhf >7 (Ĕk s)

@luyh Ğk aƴhf `h tám

mkh

,

mnx

v mt jku tl` Ğk s vä bûhf `î`jt Ğhf tl` lc` olc sît läm s Ğ tám

mkh

,

mnx

.

Lƴhf :7 (Láhl l`)

Yk lƴhf aäm häy, tn s bhf `î` jt Ğhf tl` trchf plh trçh Ğ Ğîhlfkî.Yk `î`l fkk tlec lƴhf Ğk s s `ð ak tl aä ít `h Ğh trí tƴhf tƴhf olòhf fknh mä `htíhl tcîh hlku lƮh, bc Ğð s mt hlku tlk fknh vä b `ð snk sðt.Yk `î`l fkk tlec lƴhf Láhl l` Ğúk lk l` skhl `h `ð s tƴhf tƴhf olòhf fknh tt lƮhvä tlƴhf s `ð ak fkk hfh fh lƮh.Bû aä tlec `î`l häc tlá `î` em `h hm Ğƴ` hlhf okh tl` `Ʈ jh v jt Ğhf tl` Ğk s,olc sît läm s vä `î` jt Ğhf tl` láhl l`. Rrƴ` lt, `l÷hf tn `ūhf òh ak `î` okh tl` `Ʈjh Ğð.

\>. Mt s jt Ğhf tl` `Ʈ jh

Hlhf ot qu tráhl jäy bƴk Ğêy `î` em Ğu Ğà Ğƴ` l`  `p RL@P vä RLTR.

Ot qu > (^unh l fkn fð` vä `hl Ğk bkh trchf tnm fkî`).

Rrchf mt tnm fkî`, `hl Ğkbkh vk fð` ah lƮh tlá ah lƮh.

Rp `lí Epskach, P >6, 42/:4:4\>:6

Upacnb mntlvh.`cm

Ot qu : (^unh l fkn Ğƴhf xkçh vä Ğƴhf vuòhf fð`).

Rrchf `î` Ğƴhf xkçh vä Ğƴhfvuòhf fð` o t mt Ğkm hm hfcäk Ğƴhf tlhf Ğh Ğƴhf tlhf Ğð tlá Ğƴhf vuòhf fð` aäĞƴhf hfh hlt. Hlƴ trchf láhl v tn auòh `ð

NM

≥

NL.NM L

Ot qu 0 (Jt Ğhf tl` tnm fkî`).

Yk jn Ğkm

N, J, @

jt oá tn auòh `ð jt Ğhf tl`

NJ

+

J@

≥

N@.

Rhf quît lƮh tn `ð jt Ğhf tl` `n Ğƴhf fp ol÷`7 Yk

h

Ğkm

N

\>

, N

:

,..., N

h

tn auòh `ð

N

\>

N

:

+

N

:

N

0

+

¶¶¶

+

N

h

√

\>

N

h

≥

N

\>

N

h

.

Ot qu 2 (Jt Ğhf tl` fkn truhf jáhl `hf vä truhf jáhl hlêh).

Yk lnk s olòhf êm

x, y

tn auòh `ð

x

+

y

:

≥

:

∗

xy.

Ĕhf tl` xy rn olk vä `l olk

x

\=

y

.

Ot qu 5 (Jt Ğhf tl` v tí`l vò lƴhf `n lnk vë`tƮ).

Yk lnk vë`tƮ

n,  j

tn auòh `ð

|

n

¶

 j

n

 j

|

.

Ĕhf tl` xy rn olk

n

\=

o j, o

∌

Z

.

:. Mt s jäk tcîh tlƴhf fp

Tlh häy s fkk tlku mt s jäk tcîh tlƴhf fp vä `î`l fkk `î` jäk tcîh Ğð.

Jäk tcîh >.

@lc Ğkm

N

` Ğhl vä Ğkm

M

bk Ğhf trçh láhl

(

L

)

(

(

L

)

aä Ğƴhf tlhf, mt plhf). Rám fkî tr hl hlt `n

NM

.

NL M

Rp `lí Epskach, P >6, 42/:4:4\>:<

Upacnb mntlvh.`cm

Ak fkk

.

Fk

L

aä láhl `lku vuòhf fð` `n

N

açh láhl

(

L

)

. Olk Ğð, trchf tnm fkî`

NLM

vuòhf tk

M

, tn `ð

NM

≥

NL.

Ĕhf tl` xy rn olk

M

≮

L.

Bc Ğð

NM

hl hlt olk

M

aä láhl `lku `n

N

açh

(

L

)

.

Jäk tcîh :.

@lc Ğkm

N

vä mt `u

(

P

)

`ð têm

K

, jîh oíhl

Z

.

M

aä Ğkm bk Ğhf trçh

(

P

)

. Rámfkî tr hl hlt vä fkî tr ah hlt `n

NM

.

NM M

:

M

\>

K

Ak fkk

.

\ët

N

hm hfcäk mt `u

(

P

)

. Fk

M

\>

,

M

:

ah aƴt aä fknc Ğkm `n Ğƴhf tlhf

NK

vk mt `u

(

P

)

(

NM

\>

1 NM

:

) vä

(

ξ

)

aä mt plhf Ğk qun

M

vä Ğƴhf tlhf

NK

. Olk Ğð

(

ξ

)

`t

(

P

)

tlec mt Ğƴhf trúh ah

(

@

)

. Rn `ð



M

\>

MM

:

\= ;4

◩

, hçh



NMM

:

vä



NM

\>

M

aä `î` fð`tû, hçh trchf `î` tnm fkî`

NMM

\>

vä

NMM

:

tn `ð

NK

√

Z

\=

NM

\>

≢

NM

≢

NM

:

\=

NK

+

Z.

RƴƮhf t vk

N

hm trchf mt `u tn `ð

Z

√

NK

≢

NM

≢

Z

+

NK.

Yy

mkh

NM

\=

|

NK

√

Z

|

,

mnx

NM

\=

Z

+

NK.

Jäk tcîh 0.

@lc mt plhf

(

T

)

vä lnk Ğkm plêh jkt

N, J

. Rám Ğkm

M

tlu`

(

T

)

snc `lc\>.

MN

+

MJ

hl hlt. :.

|

MN

√

MJ

|

ah hlt.

Ak fkk

.

\>. Rn xët `î` trƴhf lp snu

•

RL >7

Hu

N

vä

J

hm v lnk plín sc vk

(

T

)

. Olk Ğð

NM

+

JM

≥

NJ.

Ĕhf tl` xy rn olk

M

aä fknc Ğkm `n

NJ

vk

(

T

)

.

Rp `lí Epskach, P >6, 42/:4:4\>:;

Upacnb mntlvh.`cm