Tài liệu gồm 172 trang, tổng hợp lý thuyết, các dạng toán và bài tập tự luận + trắc nghiệm chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình môn Toán 12. BÀI 3. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Chuyên đề 6: Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất A- Tóm tắt kiến thức cơ bản I. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định với x D. Nếu có hằng số M sao cho: = MxfDx DxMxf )(: ,)( 00 thì M là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) Kí hiệu: M = max f(x). Nếu có hằng số m sao cho: = mxfDx Dxmxf )(: ,)( 00 thì m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x) Kí hiệu: m = min f(x) Ghi chú: Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa II. Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số 1) Dùng tính chất AA . Dấu = xãy ra 0 A . Ta có: + A 0. Dấu = xãy ra khi A = 0 + yx + x + y . Dấu = xãy ra khi xy 0 + yx x - y . Dấu = xãy ra khi x = y 2) Giả sử A, B là các hằng số, B > 0 và g(x) > 0. + Cho f(x) = A + )(xg B Khi đó: * f(x) lớn nhất g(x) nhỏ nhất * f(x) nhỏ nhất g(x) lớn nhất. + Cho f(x) = A - )(xg B . Khi đó: * f(x) lớn nhất g(x) lớn nhất * f(x) nhỏ nhất g(x) nhỏ nhất. 3) Phơng pháp luỹ thừa bậc chẵn Ta có [ ] F(x) 2n 0 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định D, n N Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) ta biến đổi sao cho: + y = M - [ ] g(x) 2n , n Z+ y M Do đó y max = M g(x) = 0 1 + y = m + [ ] h(x) 2k , k Z+ y M Do đó y min = m h(x) = 0 4) Dựa vào các bất đẳng thức đã biết + Luỹ thừa bậc chẳn: A 2k 0 với mọi k Z+, dấu = xãy ra A = 0 + Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm Với a,b 0, ta có 2 ba + ab . Dấu = xãy ra a=b + Bất đẳng thức Bunhiacốpski Với các số a,b,c,d ta có: (ac + bd) 2 (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) Dấu = xãy ra ad bc = 0 5) Dựa vào tập giá trị của hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Nếu phơng trình y = f(x) có nghiệm thuộc D a y b thì min f(x) = a và max f(x) = b B- bài tập áp dụng Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a) A = 3,7 + x 3,4 b) B = 4,83 + x - 14,2 c) C = 34 x + 5,75 + y + 17,5 Giải a) Vì x 3,4 0 với x, do đó A 3,7 với x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3,7 khi x 3,4 = 0 hay x = 4,3 b) Vì 4,83 + x 0 với x, do đó B -14,2 với x Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -14,2 khi 4,83 + x = 0 hay x = - 2,8 c) Vì 34 x 0 với x và 5,75 + y 0 với y 34 x + 5,75 + y 0 với x, y C 17,5 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17,5 khi 34 x = 0 và 5,75 + y = 0 hay x= 0,75 và y = -1,5 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) D = 5,5 - 5,12 x b) E = - x32,10 - 14 c) F = 4 - 25 x - 123 + y Giải a) Vì 5,12 x 0 với x nên D = 5,5 - 5,12 x 5,5 với x Vậy giá trị lớn nhất của D là 5,5 khi 5,12 x = 0 hay x = 0,75 b) Vì x32,10 0 với x nên E = - x32,10 - 14 = -14 - x32,10 -14 với x. Vậy giá trị lớn nhất của E là -14 khi x32,10 = 0 hay x = 3,4 c) Ta có F = 4 - 25 x - 123 + y = 4 - [ 25 x + 123 + y ] Vì 25 x + 123 + y 0 với x,y nên F 4 với x,y 2 Vậy giá trị lớn nhất của F là 4 khi 25 x + 123 + y = 0 =+ = 0123 025 y x = = 4 4,0 y x Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2002 x + 2001 x Giải Ta có M = 2002 x + 2001 x = 2002 x + x 2001 xx + 20012002 =1 (áp dụng tính chất yx + x + y ) Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi x 2002 và 2001 x cùng dấu nhĩa là 2001 x 2002 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A= (x-3) 2 + (y-1) 2 + 5 b) B = 3 x + x 2 + y 2 + 1 c) C = 100 x + (x - y) 2 +100 Giải a) Ta có (x-3) 2 0 với x (y-1) 2 0 với y (x-3) 2 + (y-1) 2 0 với x,y A = (x-3) 2 + (y-1) 2 +5 5 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi = = 0)1( 0)3( 2 2 y x = = 1 3 y x b) Ta có 3 x 0 với x; x 2 0 với x; y 2 0 với y 3 x + x 2 + y 2 0 với x, y 3 x + x 2 + y 2 + 1 1 với x, y Biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất là 1 nếu = = = 0 0 03 2 2 y x x = = = 0 0 3 y x x không tồn tại x thoả mãn. Vậy biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất. c) Ta có 100 x 0 với x; (x - y) 2 0 với x, y 100 x +(x - y) 2 0 với x, y 100 x +(x - y) 2 + 100 100 với x, y Vậy biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất là 100 khi = = 0)( 0100 2 yx x = = yx x 100 3 x = y = 100 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau: a) A = 100 (y 2 25) 4 b) B = - 125 (x 4) 2 (y - 5) 2 Giải a) Vì (y 2 25) 4 0 với y nên 100 (y 2 25) 4 100 với y Vậy giá trị lớn lớn nhất của biểu thức A là 100 khi (y 2 25) 4 = 0 y 2 25 = 0 y = 5 b) Ta có B = -125 {(x - 4) 2 + (y 5) 2 }. Vì (x - 4) 2 0 với x , (y 5) 2 0 với y nên B -125 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -125 khi = = 0)5( 0)4( 2 2 y x = = 5 4 y x Bài 6: a) Tìm các số nguyên để biểu thức A = 1 x + 2 x đạt giá trị nhỏ nhất b) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 10 - 3 5 x đạt giá trị lớn nhất c) Tìm các cặp số nguyên x, y để biểu thức C = -15 - 42 x - 93 + y đạt giá trị lớn nhất Giải a) Xét các trờng hợp sau: + Nếu x < 1 thì A = 1 x + 2 x = 3 2x. Do x < 1 vì thế A = 3 2x > 3 2 = 1 (*) + Nếu 1 x 2 thì A = x 1 + 2 x = 1 (**) + Nế x > 2 thì A = x 1 + x 2 = 2x 3 > 4 3 = 1 (***) Từ (*), (**) và (***) suy ra A có giá trị nhỏ nhất là 1 1 x 2 Vì x Z nên x = 1; 2 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi x = 1 hoặc x = 2 b) Giá trị lớn nhất của B là 10 khi và chỉ khi x = 5 c) Giá trị lớn nhất của C là -15 khi và chỉ khi x = 2; y = -3 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 + 2xy + y 2 2x + 2y + 1 Giải Ta có thể viết A = (x + y + 1) 2 + (x 2) 2 4 - 4 A min = - 4 = =++ 0)2( 0)1( 2 2 x yx = = 3 2( y x 4 Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = x 6 + 2 + x Giải Điều kiện: 6 x 0, x + 2 0 -2 x 6 Ta có y 2 = ( x 6 + 2 + x ) 2 , y > 0 Chọn a = 1, c = x 6 , b = 1 , d = 2 + x áp dụng bất đẳng thức (ac + bd) 2 (a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) Ta có y 2 (1 + 1) ( 6 x + x + 2) = 2.8 = 16 y 4 - 4 y 4 Do y > 0 nên ta có 0 y 4 Vậy y max = 4 Bài 8: Cho y = 1 4 2 + x x . Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị đó. Giải Ta có a 2 + b 2 2ab nên suy ra x 4 + 1 = (x 2 ) 2 + 1 2 2x 2 1 1 2 4 2 + x x = 2y Xét 1 2 4 2 + x x = 1 x 4 2x 2 + 1 = 0 (x 2 - 1) 2 = 0 x 2 = 1 x = 1 Do đó x = 1 thì y max = 2 1 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x 20 5x 4 + 9 Giải Ta có y = (x 20 x 4 ) 4(x 4 1) + 5 = x 4 (x 16 1) 4(x 4 1) + 5 = x 4 {(x 4 ) 4 1} 4(x 4 1) + 5 = (x 4 1)(x 16 + x 12 + x 8 + x 4 4) + 5 Với x 1 thì x 16 x 12 x 8 x 4 1 x 4 1 0 và x 16 + x 12 + x 8 + x 4 4 0 y 5 Với x < 1 thì x 16 < x 12 < x 8 < x 4 < 1 x 4 1 0 nên x 16 + x 12 + x 8 + x 4 4 nên y > 5 Do đó y min = 1 khi x = 1 c. Bài tập về nhà Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức A = 41 + xx B = xx + 8 Bài 2: Với giá trị nào nguyên của x thì biểu thức D = x x 4 14 có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó? Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 A = 5 – 3(2x – 1) 2 ; B = 3)1(2 1 2 +− x ; C = 2 8 2 2 + + x x Bµi 4: T×m gi¸ trÞ cña n ∈ N ®Ó ph©n sè 32 87 − − n n ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Híng dÉn Bµi 1: T¬ng tù bµi 4a Bµi 2: D = 1 + x − 4 10 ⇒ D max ⇔ 4 – x ®¹t gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt Bµi 3: max A = 5; max B = 3 1 ; max C = 4 6 . và 5 ,75 + y 0 với y 34 x + 5 ,75 + y 0 với x, y C 17, 5 với x,y Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 17, 5 khi 34 x = 0 và 5 ,75 + y = 0 hay x= 0 ,75 và. 3 ,7 + x 3,4 b) B = 4,83 + x - 14,2 c) C = 34 x + 5 ,75 + y + 17, 5 Giải a) Vì x 3,4 0 với x, do đó A 3 ,7 với x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 ,7 khi Xem thêm: Chuyên đề bồi dưỡng HSG lớp 7, Chuyên đề bồi dưỡng HSG lớp 7 |
