\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'\end{array}\) Đề bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi G, G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABC. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA, BB, CC, GG lần lượt tại A1, B1, C1và G1. Chứng minh rằng: a. GG song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ b. G1là trọng tâm của tam giác A1B1C1 c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\) \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\) Lời giải chi tiết  a. Gọi I, I lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BC thì rõ ràng II' song song và bằng AA nên tứ giác AIIA là hình bình hành, do đó AI song song và bằng AI Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = AI suy ra AG song song và bằng AG Vậy tứ giác AGGA là hình bình hành Do đó, GG song song và bằng AA b. B1C1cắt II tại I1thì I1là trung điểm của B1C1 Vì G1thuộc A1I1và AA1// GG1// II1nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\) Vậy G1là trọng tâm tam giác A1B1C1 c. Xét hình bình hành AIIA. Gọi L, L lần lượt là trung điểm của AG và AG, L1là giao điểm của LL và A1I1 Khi đó L1là trung điểm của A1G1 Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có : \(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\) \(\begin{array}{l} Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\) Mặt khác: 2I1I = B1B + C1C Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\) Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)
|
