Độc giả xem bài gợi ý giải môn Toán, khối D tại đây. Độc giả xem bài gợi ý giải môn Toán, khối B tại đây. Thí sinh tại Huế xem lại bài thi chiều 9/7. (Ảnh: Đại Dương - Doãn Công) *** Bài giải gợi ý trên do Tổ chuyên gia giải đề của Hệ thống đào tạo Công nghệ thông tin Quốc tế Bachkhoa-Aptech và Bachkhoa-Npower thực hiện, bao gồm: - Tiến sỹ Doãn Minh Cường - Hiệu trưởng trường phổ thông Quốc tế Phú Châu (Chuyên Tiếng Anh Đại học Điện Lực) - Thạc sỹ Trần Thị Phương Thảo - Cổng Giáo dục trực tuyến VTC - Nhà giáo Lại Văn Tý - Tổ trưởng tổ Toán Trường Phổ thông Quốc tế Phú Châu -Nhà giáo Hoàng Trọng Hảo - Toán Tuổi thơ - Cô Phạm Nguyễn Thu Trang - Giảng viên khoa Toán ĐH Sư Phạm - Thầy Nguyễn Huy Chinh - Giảng viên khoa cơ bản ĐH Điện Lực - Thầy Hoàng Việt - Nhà xuất bản Giáo dục - 1. VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số .4 2 6y x x= − − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1 6 y x= − . Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình sin 2 cos2 3sin cos 1 0.x x x x− + − − = 2. Giải phương trình 3 3 2 2 2 2 4 4 2 4 2 4x x x x x x+ + + + + − + = + (x ∈ R). Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 1 3 2 ln e dI x x x ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ x . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = 4 AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 4 21 3 1y x x x x= − + + − − + + 0 . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2. Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: | z | = 2 và z2 là số thuần ảo. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ. Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1: 3x t y t z t = +⎧ ⎪ =⎨ ⎪ =⎩ và Δ2: 2 1 2 1 2 x y− − = = z . Xác định tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 bằng 1. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 4 2 0 2log ( 2) log 0 x x y x ⎧ − + + =⎪ ⎨ y− − =⎪⎩ (x, y ∈ R). -- Hết -- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh: ................................ Thi thử Đại học www.toanpt.net
- 2. DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) • Tập xác định: R. • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 'y = − 4x3 − 2x = − 2x(2x2 + 1); 'y (x) = 0 ⇔ x = 0. 0,25 - Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0); nghịch biến trên khoảng (0; +∞). - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 6. - Giới hạn: lim x y →−∞ = lim x y →+∞ = − ∞. 0,25 - Bảng biến thiên: 0,25 • Đồ thị: 0,25 2. (1,0 điểm) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 6 x − 1, nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 6. 0,25 Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình − 4x3 − 2x = − 6 0,25 ⇔ x = 1, suy ra tọa độ tiếp điểm là (1; 4). 0,25 I (2,0 điểm) Phương trình tiếp tuyến: y = − 6(x − 1) + 4 hay y = − 6x + 10. 0,25 1. (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: 2sinxcosx − cosx − (1 − 2sin2 x) + 3sinx − 1 = 0 0,25 ⇔ (2sinx − 1)(cosx + sinx + 2) = 0 (1). 0,25 Do phương trình cosx + sinx + 2 = 0 vô nghiệm, nên: 0,25 II (2,0 điểm) (1) ⇔ sinx = 1 2 ⇔ x = 6 π + k2π hoặc x = 5 6 π + k2π ( k ∈ Z). 0,25 'y + 0 − y 6 − ∞ x −∞ 0 +∞ − ∞ y x 6 2− 2 O
- 3. án Điểm 2. (1,0 điểm) Điều kiện: x ≥ − 2. Phương trình đã cho tương đương với: ( )( )32 24 4 4 2 2 2 2 0xx x+ − − − = . 0,25 • 24x − 24 = 0 ⇔ x = 1. 0,25 • 2 2 2 x + − 3 4 2x − = 0 ⇔ 2 2x + = x3 − 4 (1). Nhận xét: x ≥ 3 4 . 0,25 Xét hàm số f(x) = 2 2x + − x3 + 4, trên )3 4;⎡ +∞⎣ . 'f (x) = 1 2x + − 3x2 < 0, suy ra f(x) nghịch biến trên )3 4;⎡ +∞⎣ . Ta có f(2) = 0, nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 2. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1; x = 2. 0,25 I = 1 3 2 ln d e x x x x ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ = 1 2 ln d e x x x∫ − 1 ln 3 d e x x x∫ . 0,25 • Đặt u = lnx và dv = 2xdx, ta có: du = dx x và v = x2 . 1 2 ln d e x x x∫ = ( )2 1 ln e x x − 1 d e x x∫ = e2 − 2 1 2 e x = 2 1 2 e + . 0,25 • 1 ln d e x x x∫ = ( ) 1 ln d ln e x x∫ = 2 1 1 ln 2 e x = 1 2 . 0,25 III (1,0 điểm) Vậy I = 2 2 e − 1. 0,25 • M là trung điểm SA. AH = 2 4 a , SH = 2 2 SA AH− = 14 4 a . 0,25 HC = 3 2 4 a , SC = 2 2 SH HC+ = a 2 ⇒ SC = AC. Do đó tam giác SAC cân tại C, suy ra M là trung điểm SA. 0,25 • Thể tích khối tứ diện SBCM. M là trung điểm SA ⇒ SSCM = 1 2 SSCA ⇒ VSBCM = VB.SCM = 1 2 VB.SCA = 1 2 VS.ABC 0,25 IV (1,0 điểm) ⇒ VSBCM = 1 6 SABC.SH = 3 14 48 a . 0,25 Điều kiện: − 2 ≤ x ≤ 5. Ta có (− x2 + 4x + 21) − (− x2 + 3x + 10) = x + 11 > 0, suy ra y > 0. 0,25 y2 = (x + 3)(7 − x) + (x + 2)(5 − x) − 2 ( 3)(7 )( 2)(5 )x x x x+ − + − = ( ) 2 ( 3)(5 ) ( 2)(7 )x x x x+ − − + − + 2 ≥ 2, suy ra: 0,25 y ≥ 2 ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1 3 . 0,25 V (1,0 điểm) Do đó giá trị nhỏ nhất của y là 2 . 0,25 S CD BA M H
- 4. án Điểm 1. (1,0 điểm) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: (x + 2)2 + y2 = 74. Phương trình AH: x = 3 và BC ⊥ AH, suy ra phương trình BC có dạng: y = a (a ≠ − 7, do BC không đi qua A). Do đó hoành độ B, C thỏa mãn phương trình: (x + 2)2 + a2 = 74 ⇔ x2 + 4x + a2 − 70 = 0 (1). 0,25 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi: | a | < 70 . Do C có hoành độ dương, nên B(− 2 − 2 74 a− ; a) và C(− 2 + 2 74 a− ; a). 0,25 AC ⊥ BH, suy ra: .AC BH = 0 ⇔ ( )2 74 5a− − ( )2 74 5a− + + (a + 7)(− 1 − a) = 0 ⇔ a2 + 4a − 21 = 0 0,25 ⇔ a = − 7 (loại) hoặc a = 3 (thỏa mãn). Suy ra C(− 2 + 65 ; 3). 0,25 2. (1,0 điểm) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là Pn = (1; 1; 1) và Qn = (1; − 1; 1), suy ra: ,P Qn n⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = (2; 0; −2) là vectơ pháp tuyến của (R). 0,25 Mặt phẳng (R) có phương trình dạng x − z + D = 0. 0,25 Ta có d(O,(R)) = , 2 D suy ra: 2 D = 2 ⇔ D = 2 2 hoặc D = 2 2− . 0,25 VI.a (2,0 điểm) Vậy phương trình mặt phẳng (R): x − z + 2 2 = 0 hoặc x − z − 2 2 = 0. 0,25 Gọi z = a + bi, ta có: 2 2 z a b= + và z2 = a2 − b2 + 2abi. 0,25 Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi: 2 2 2 2 2 0 a b a b ⎧ + =⎪ ⎨ − =⎪⎩ 0,25 ⇔ 2 2 1 1. a b ⎧ =⎪ ⎨ =⎪⎩ 0,25 VII.a (1,0 điểm) Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 − i; − 1 + i; − 1 − i. 0,25 1. (1,0 điểm) Gọi tọa độ H là (a; b), ta có: 2 2 2 ( 2)AH a b= + − và khoảng cách từ H đến trục hoành là | b |, suy ra: a2 + (b − 2)2 = b2 . 0,25 Do H thuộc đường tròn đường kính OA, nên: a2 + (b − 1)2 = 1. 0,25 Từ đó, ta có: 2 2 2 4 4 0 2 0. a b a b b ⎧ − + =⎪ ⎨ + − =⎪⎩ Suy ra: (2 5 2; 5 1)H − − hoặc ( 2 5 2; 5 1)H − − − . 0,25 VI.b (2,0 điểm) Vậy phương trình đường thẳng ∆ là ( 5 1) 2 5 2 0x y− − − = hoặc ( 5 1) 2 5 2 0x y− + − = . 0,25 I • A B C H O H y x A P Q R • O
- 5. án Điểm 2. (1,0 điểm) Ta có: + M ∈ ∆1, nên M(3 + t; t; t). + ∆2 đi qua A(2; 1; 0) và có vectơ chỉ phương v = (2; 1; 2). 0,25 Do đó: AM = (t + 1; t − 1; t); ,v AM⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = (2 − t; 2; t − 3). 0,25 Ta có: d(M, ∆2) = ,v AM v ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = 2 2 10 17 3 t t− + , suy ra: 2 2 10 17 3 t t− + = 1 0,25 ⇔ t2 − 5t + 4 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 4. Do đó M(4; 1; 1) hoặc M(7; 4; 4). 0,25 Điều kiện: x > 2, y > 0 (1). 0,25 Từ hệ đã cho, ta có: 2 4 2 0 2 x x y x y ⎧ − + + =⎪ ⎨ − =⎪⎩ 0,25 ⇔ 2 3 0 2 x x y x ⎧ − =⎪ ⎨ = −⎪⎩ ⇔ 0 2 x y =⎧ ⎨ = −⎩ hoặc 3 1. x y =⎧ ⎨ =⎩ 0,25 VII.b (1,0 điểm) Đối chiếu với điều kiện (1), ta có nghiệm của hệ là (x; y) = (3; 1). 0,25 - Hết - M ∆2 ∆1 d =1 H
|
