Định thức, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là det(A). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ lệ xích cho thể tích khi A được coi là một biến đổi tuyến tính. Định thức được sử dụng để giải (và biện luận) các hệ phương trình đại số tuyến tính. Show Định thức chỉ được xác định trong các ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận bằng 0, ma trận này được gọi là ma trận suy biến, nếu định thức bằng 1, ma trận này được gọi là ma trận đơn môđula. Quảng Cáo Mục lục
Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tínhKhái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn. Hệ này có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0. Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn: Quảng Cáo { a . x + b . y = e , Quảng Cáo c . x + d . y = f , {displaystyle {begin{cases}a.x+b.y=e,c.x+d.y=f,end{cases}}} có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông: A = [ a b c d ] {displaystyle A={begin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix}}} định thức của nó là: det(A)=ad–bc. Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất x = e d − b f a d − b c ; y = a f − c e a d − b c {displaystyle x={frac {ed-bf}{ad-bc}};;;y={frac {af-ce}{ad-bc}}} . Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào. Nếu e = f = 0, hệ trên là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của hệ bằng không. Định thức của ma trận vuông cấp nCho ma trận vuông cấp n: A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ⋯ a 2 , n a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ⋯ a 3 , n ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 a n , 3 ⋯ a n , n ] {displaystyle A={begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&cdots &a_{1,n}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&cdots &a_{2,n}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&cdots &a_{3,n}cdot &cdot &cdot &cdots &cdot a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&cdots &a_{n,n}end{bmatrix}}} Định nghĩa định thứcĐịnh nghĩa của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của hoán vị. Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,…,n ta có:(Công thức Leibniz)[1] det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {displaystyle det(A)=sum _{sigma in S_{n}}operatorname {sgn}(sigma )prod _{i=1}^{n}a_{i,sigma (i)}} Định thức của một ma trận vuông còn được viết như sau d e t A = | a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 ⋯ a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 ⋯ a 2 , n a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 ⋯ a 3 , n ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 a n , 3 ⋯ a n , n | {displaystyle detA={begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&cdots &a_{1,n}a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&cdots &a_{2,n}a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&cdots &a_{3,n}cdot &cdot &cdot &cdots &cdot a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&cdots &a_{n,n}end{vmatrix}}} Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có: det [ a ] = a {displaystyle det {begin{bmatrix}aend{bmatrix}}=a} det [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] = | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 − a 12 a 21 {displaystyle det {begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{bmatrix}}={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}a_{21}&a_{22}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} det [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 11 a 23 a 32 {displaystyle det {begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{bmatrix}}={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}}{displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}} Các định thức được dùng để kiểm tra các ma trận có ma trận nghịch đảo không (các ma trận khả nghịch khi và chỉ khi chúng là các ma trận có định thức khác 0) và để biểu diễn nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính qua định lý Cramer. chúng được dùng để tìm các vectơ riêng của ma trận A {displaystyle A} qua đa thức đặc trưng p ( x ) = det ( x I − A ) {displaystyle p(x)=det(xI-A),} Trong đó, I là ma trận đơn vị (identity matrix) có cùng kích thước với A. Người ta còn xem định thức như là hàm xác định trên lên các bộ n {displaystyle n} vectơ trong không gian R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , toạ độ của n vectơ này tạo thành n cột (hoặc n dòng) của một ma trận vuông. Khi đó, dấu của định thức của một cơ sở có thể được dùng để định nghĩa khái niệm hướng của các cơ sở trong không gian Euclide. Nếu định thức của một cơ sở là dương thì ta nói các vectơ này tạo thành một cơ sở thuận chiều, và nếu định thức của chúng là âm thì nó tạo thành cơ sở ngược chiều. Các định thức còn được dùng để tính thể tích trong giải tích vectơ: Giá trị tuyệt đối của định thức của các vectơ trên trường số thực thì bằng với thể tích của hình hộp tạo ra bởi các vectơ đó. Như là một hệ quả, nếu một ánh xạ tuyến tính f : R n → R n {displaystyle f:mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} ^{n}} được đặc trưng bởi ma trận A {displaystyle A} , và S {displaystyle S} là tập con đo được bất kì của R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , thì thể tích của f ( S ) {displaystyle f(S)} được cho bởi | det ( A ) | × volumes ( S ) {displaystyle left|det(A)right|times operatorname {volumes} (S)} . Một cách tổng quát hơn, nếu ánh xạ tuyến tính f : R n → R m {displaystyle f:mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} ^{m}} đặc trưng bởi một ma trận A {displaystyle A} m x n, và S {displaystyle S} là tập con bất kì đo được nào của R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , thì thể tích n-chiều của f ( S ) {displaystyle f(S)} được tính bởi det ( A ⊤ A ) × volume ( S ) {displaystyle {sqrt {det(A^{top }A)}}times operatorname {volume} (S)} . Bằng cách tính thể tích của tứ diện có 4 đỉnh, chúng có thể được dùng để nhận diện (xác định) các đường ghềnh Thể tích của tứ diện bất kì, cho bởi các đỉnh a, b, c, và d, là (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|. Ví dụTìm định thức của ma trận: A = [ − 2 2 − 3 − 1 1 3 2 − 1 ] {displaystyle A={begin{bmatrix}-2&2&-3-1&1&32&0&-1end{bmatrix}}} Cách 1: Sử dụng công thức Leibniz det ( A ) {displaystyle det(A),} = {displaystyle =,} ( − 2 ) ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 0 {displaystyle (-2)cdot 1cdot (-1)+2cdot 3cdot 2+(-3)cdot (-1)cdot 0} − 2 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) − ⋅ 3 ⋅ ( − 2 ) − ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 2 {displaystyle -2cdot 1cdot (-3)-0cdot 3cdot (-2)-(-1)cdot (-1)cdot 2} = {displaystyle =,} 2 + 12 + + 6 − 2 = 18 {displaystyle 2+12+0+6-2=18,} Cách 2: Sử dụng công thức Laplace để khai triển định thức theo một hàng hoặc một cột. Cách tốt nhất là chọn hàng, hoặc cột nào có nhiều phần tử bằng 0, vì như vậy, giá trị định thức của phần tử đó sẽ bằng 0 ( A i , j × C i , j = × C i , j = {displaystyle A_{i,j}times C_{i,j} = 0times C_{i,j} = 0} ) vì thế ta sẽ khai triển theo cột thứ 2. det ( A ) {displaystyle det(A),} = {displaystyle =,} ( − 1 ) 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ det [ − 1 3 2 − 1 ] + ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ det [ − 2 − 3 2 − 1 ] {displaystyle (-1)^{1+2}cdot 2cdot det {begin{bmatrix}-1&32&-1end{bmatrix}}+(-1)^{2+2}cdot 1cdot det {begin{bmatrix}-2&-32&-1end{bmatrix}}} = {displaystyle =,} ( − 2 ) ⋅ ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 3 ) + 1 ⋅ ( ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ ( − 3 ) ) {displaystyle (-2)cdot ((-1)cdot (-1)-2cdot 3)+1cdot ((-2)cdot (-1)-2cdot (-3))} = {displaystyle =,} ( − 2 ) ( − 5 ) + 8 = 18. {displaystyle (-2)(-5)+8=18.,} Cách 3: Sử dụng phép khử Gauss, bằng việc áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi các cột, hoặc hàng thành dạng đơn giản, như chứa phần tử bằng 0, sau đó tính định thức theo hàng, cột đó. [ 2 − 3 1 3 2 − 1 ] {displaystyle {begin{bmatrix}0&2&-3&1&32&0&-1end{bmatrix}}} và định thức sẽ được tính nhanh khi khai triển theo cột đầu tiên: det ( A ) {displaystyle det(A),} = {displaystyle =,} ( − 1 ) 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ det [ 2 − 3 1 3 ] {displaystyle (-1)^{1+3}cdot 2cdot det {begin{bmatrix}2&-31&3end{bmatrix}}} = {displaystyle =,} 2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ ( − 3 ) ) = 2 ⋅ 9 = 18. {displaystyle 2cdot (2cdot 3-1cdot (-3))=2cdot 9=18.,} …== Các tính chất và phép biến đổi trên các hàng và các cột của định thức == Cho ma trận A vuông cấp n:
Định thức và các phép toán trên ma trận
Từ đó det ( r I n ) = r n {displaystyle det(rI_{n})=r^{n},} và det ( r A ) = det ( r I n ⋅ A ) = r n det ( A ) {displaystyle det(rA)=det(rI_{n}cdot A)=r^{n}det(A),} với mọi ma trận n {displaystyle n} – n {displaystyle n} A {displaystyle A} và mọi số r {displaystyle r} .
det ( A − 1 ) = det ( A ) − 1 {displaystyle det(A^{-1})=det(A)^{-1},}
det ( A ⊤ ) = det ( A ) {displaystyle det(A^{top })=det(A),} . Tham khảoThư mục
Bạn thấy bài viết thế nào? |
