Trong hình học, một giao điểm là một điểm cùng thuộc về hai, hoặc nhiều hơn, đoạn thẳng, tia, hoặc đường thẳng, đường cong, mặt phẳng, hoặc các bề mặt hoặc các hình khối khác nhau. Giao điểm là điểm giao nhau của hai đường thẳng
Giống như là hai đường thẳng cắt nhau tại O.
O: Giao điểm.[1]
Tương tự, giao tuyến là đường thẳng hoặc đường cong cùng thuộc về hai, hoặc nhiều hơn, đường thẳng, đường cong, hoặc mặt phẳng, bề mặt hoặc các hình khối khác nhau.
Trong hình học Ơclít, hai đường thẳng khác nhau, có một giao điểm, hoặc không có giao điểm nào nếu chúng song song với nhau.
Việc xác định giao điểm trong hình học phẳng là một bài toán đại số tuyến tính, tìm nghiệm cho hệ phương trình tuyến tính. Trong hình học phức tạp hơn, việc xác định giao điểm, hoặc giao tuyến tương ứng với tìm nghiệm của hệ phương trình phi tuyến, có thể được thực hiện bằng phương pháp số, ví dụ dùng vòng lặp Newton. Ví dụ, việc tìm các giao điểm giữa một đường thẳng với một đường conic (đường tròn, elíp, parabôn,...), hoặc với một mặt bậc hai (mặt cầu, mặt trụ, hypeboloit,...) dẫn đến việc giải quyết hệ phương trình bậc hai.(tính chất của giao điểm
- ^ Hình học lớp 11, Nhà Xuất bản Giáo dục
Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
|
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Giao_điểm&oldid=65456252”
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thiết diện qua một điểm và song song với một đường thẳng. Phương pháp. Ngoài hai cách đã đề cập ở Bài 1 và Bài 2 ta có hai cách sau để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Cách 1. Dùng định lí 2. Cách 2. Dùng hệ quả 2. Tìm thiết diện là tìm các đoạn giao tuyến theo phương pháp tìm giao tuyến được nêu ở trên, cho đến khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD. a. Chứng minh MN // (SBC), SB // (OMN), SC // (OMN). b. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (OMN).
Thiết diện là hình gì? Ta có MN // AD (MN là đường trung bình của tam giác SAD) và AD // BC (tứ giác ABCD là hình bình hành), suy ra MN // BC. Mà BCC(SBC) nên MN //(SBC). Ta có: ON // SB (ON là đường trung bình của tam giác SBD) nên ONc(OMN). Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Từ đó có: PQ // AD, suy ra PQ // MN. Vậy MN và PQ đồng phẳng, nghĩa là (OMN) = (MNPQ). Ta có thiết diện do mp(OMN) cắt hình chóp là hình thang MNPQ (MN // PQ). Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên đoạn IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, song song với AB và CD. a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ICD). b. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì? Trong mp(ABC) ta có Ey cắt BC tại P và cắt AC tại S. Suy ra PS = (ABC). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác PQRS. Theo chứng minh trên ta có thể suy ra được: PS // AB, QR // AB nên PS.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.
Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI.
D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.
Lời giải
Xét các phương án:
+ Phương án A:
Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Do đó A đúng.
+ Phương án B:
Ta có:
Do đó B đúng
+ Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Do đó C đúng.
+ Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).
A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.
B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.
C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.
D. Đáp án khác
Quảng cáo
Lời giải
+ Ta có : S ∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)
+ Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AC và BD là O. ( bạn đọc tự vẽ hình)
- Vì
+ Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD)
Chọn A
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD)
A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD
B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD
C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD) (1)
+ Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AB và CD là I. (bạn đọc tự vẽ hình)
Vì
+ Từ (1) và (2) suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD)
Chọn B
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là:
A. AN trong đó N là trung điểm CD
B. AM trong đó M là trung điểm của AB.
C. AH trong đó H là hình chiếu của A lên BG.
D. AK trong đó K là hình chiếu của C lên BD.
Lời giải
+ Ta có: A ∈ (ABG) ∩ (ACD) (1)
+ Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm CD.
Từ (1) và (2) suy ra: NA = (ABG) ∩ (ACD)
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho điểm A không nằm trên mp(α) - chứa tam giác BCD . Lấy E; F là các điểm lần lượt nằm trên cạnh AB; AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I; thì I không là điểm chung của 2 mặt phẳng nào sau đây ?
A. (BCD) và (DEF)
B. (BCD) và (ABC)
C. (BCD) và (AEF)
D. (BCD) và (ABD)
Quảng cáo
Lời giải
+ Do I là giao điểm của EF và BC nên I ∈ BC; I ∈ (BCD). (1)
+ Hơn nữa I ∈ EF mà
Từ (1) và (2) suy ra:
Chọn D
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (MBD) và (ABN) là:
A. Đường thẳng MN
B. Đường thẳng AM
C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD)
D. Đường thẳng AH ( H là trực tâm tam giác ACD)
Lời giải
+ Ta có: B ∈ (MBD) ∩ (ABN). (1)
+ Vì M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên suy ra AN và DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi giao điểm của AN và DM là G. Khi đó: G là trọng tâm tam giác ACD
Từ (1) và ( 2) suy ra: BG = (ABN) ∩ (MBD)
Chọn C
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB// CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có mặt bên
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD)
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC)
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD
Lời giải
Chọn D
+ Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB), (SBC); (SCD) và (SAD) nên A đúng.
+ S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên B đúng.
+ S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên C đúng.
+ Giao tuyến của (SAB) và (SAD) là SA, rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD.
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I và J là hai điểm trên cạnh BC; BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng:
A. KM B. AK C. MF D. KF
Lời giải
Chọn D.
+ Do K là giao điểm của IJ và CD nên: K ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (1)
+ Ta có F là giao điểm của ME và AH
Mà AH ⊂ (ACD), ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (2)
Từ (1) và (2) có (MIJ) ∩ (ACD) = KF
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ) là:
A. AK với K là giao điểm IJ và BC
B. AH với H là giao điểm IJ và AB
C. AG với G là giao điểm IJ và AD
D. AF với F là giao điểm IJ và CD
Lời giải
Chọn D.
+ A là điểm chung thứ nhất của (ABCD) và (AIJ)
+ IJ và CD cắt nhau tại F, còn IJ không cắt BC; AD; AB
Nên F là điểm chung thứ hai của (ABCD) và (AIJ)
Vậy giao tuyến của (ABCD) và (AIJ) là AF
Câu 1: Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm E; F lần lượt trên đoạn SA; SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC . Tìm giao tuyến của mp(EFG) và mp(SBC)
A. FM trong đó M là giao điểm của AB và EG.
B. FN trong đó N là giao điểm của AB và EF.
C. FT trong đó T là giao điểm của EG và SB.
D. Đáp án khác
+ Trong mp(SAB); gọi H là giao điểm của EF và AB.
+ Trong mp(ABC); gọi HG cắt AC; BC lần lượt tại I và J.
+ Ta có:
Và
Từ (1) và (2) suy ra: JF = (EFG) ∩ (SBC)
Chọn D
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là:
A. SD
B. SO
C. SG (G là trung điểm của AB)
D. SF (F là trung điểm của MD)
+ Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SAC) (1)
+ Trong mặt phẳng (ABCD) có:
AM = NC = 1/2 AD và AM // NC
⇒ Tứ giác AM CN là hình bình hành.
Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN (tính chất hình bình hành)
+ Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra: SO = (SAC) ∩ (SMN)
Chọn B
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB; gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tứ giác IJCD là hình thang
B. Giao tuyến của (SAB) và (IBC) là IB.
C. Giao tuyến của (SBD) và (JCD) là JD.
D. Giao tuyến của (IAC) và (JBD) là AO.
+ Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ // AB
Mà AB // CD ( vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒ IJ // CD
⇒ Tứ giác IJCD là hình thang. Do đó A đúng.
+ Ta có:
I ∈ (SAB) ∩ (IBC) Và B ∈ (SAB) ∩ (IBC)
⇒ IB = ( SAB) ∩ (IBC)
Do đó B đúng
+ Ta có:
J ∈ (SBD) ∩ (JBD) Và D ∈ (SBD) ∩ (JBD)
⇒ JD = (SBD) ∩ (JBD)
Do đó C đúng
+ Trong mặt phẳng (IJCD) , gọi M là giao điểm của IC và JD
Khi đó: giao tuyến của (IAC) và (JBD) là MO
Do đó D sai
Chọn D
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD // BC). Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là:
A. SI (I là giao điểm của AC và BM)
B. SJ (J là giao điểm của AM và BD)
C. SO (O là giao điểm của AC và BD)
D. SP (P là giao điểm của AB và CD)
+ Ta có:
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAC) (1)
+ Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra: SI = (SBM) ∩ (SAC)
Chọn A
Câu 5: Cho 4 điểm A; B; C; D không đồng phẳng. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD) là
A. IK B. BC C. AK D. DK
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK
Chọn A
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình thang (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB; lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).
A. SI
B. AE với E là giao điểm của DM và SI
C. DM
D. DE với E là giao điểm của DM và SI
+ Ta có: A ∈ (ADM) ∩ (SAC) (1)
+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi E là giao điểm của SI và DM .
Ta có:
E ∈ SI ⊂ (SAC) nên E ∈ (SAC)
E ∈ DM ⊂ (ADM) nên E ∈ (ADM)
Do đó E ∈ (ADM) ∩ (SAC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EA = (ADM) ∩ (SAC)
Chọn B
Câu 7: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J là 2 điểm lần lượt trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H; K lần lượt là giao điểm của IJ với CD; MH và AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (IJM):
A. KI B. KJ C. MI D. MH
+ Trong mặt phẳng (BCD); ta có IJ cắt CD tại H nên H ∈ (ACD)
+ 3 điểm H; I và J thẳng hàng suy ra bốn điểm M; I; J; H đồng phẳng
⇒ Trong mặt phẳng (IJH), MH cắt IJ tại H và MH ⊂ (IJM) (1)
+ Mặt khác:
Từ (1) và (2) suy ra: MH = (ACD) ∩ (IJM)
Chọn D
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = (ACD) ∩ (ABG)
B. A; J; M thẳng hàng
C. J là trung điểm AM
D DJ = (ACD) ∩ (BDJ)
Chọn C
vậy A đúng
+ ba điểm A; J và M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (ACD) và (ABG) nên A; J; M thẳng hàng, vậy B đúng.
+ Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD; AD//BC. Gọi I là giao điểm của AB và CD, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng (SAB) tại J . Khẳng định nào sau đây sai?
A. S, I; J thẳng hàng
B. DM ⊂ mp(SCI)
C. JM ⊂ mp(SAB)
D. SI = (SAB) ∩ (SCD)
Chọn C
+ Ba điểm S; I và J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp (SAB) và (SCD) nên A đúng
Khi đó; giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SI
⇒ D đúng
+ M ∈ SC ⇒ M ∈ (SCI) nên DM ⊂ mp(SCI), vậy B đúng
+ M ∉ (SAB) nên JM ⊄ mp(SAB). Vậy C sai
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song.jsp