Giải bài tập toán lớp 12 bài 1 năm 2024

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

.png)

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

1. \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 - 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).

Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

Xét hàm số \(y = 2x^3 - 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(y' = 6{x^2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)

\(\Delta = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + m) = 1 > 0\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\)

.png)

Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( - \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).

Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)

VnDoc.com xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, với cách giải bài tập Toán 12 một cách chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh học tốt Toán lớp 12 và có kết quả cao hơn trong học tập. VnDoc.com mời các bạn học sinh và thầy cô tham khảo.

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: R

)

y' > 0 trên khoảng ) , suy ra y đồng biến trên khoảng )

y' < 0 trên các khoảng %3B%20(%7B1%20%5Cover%204%7D%3B%20%2B%20%5Cinfty%20)) suy ra y nghịch biến trên các khoảng %3B%20(%7B1%20%5Cover%204%7D%3B%20%2B%20%5Cinfty%20))

1. TXĐ: R

(%7Bx%5E2%7D%20-%201))

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng )), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và )

1. TXĐ: R

y' > 0 trên các khoảng %2C%20(3%3B%20%2B%E2%88%9E)) nên y đồng biến trên các khoảng %2C%20(3%3B%20%2B%E2%88%9E))

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

1. TXĐ: R

)

y' = 0 <=> x = 0

y' > 0 trên khoảng ) \=> y đồng biến trên khoảng )

y' < 0 trên khoảng )\=> y nghịch biến trên khoảng )

Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

1. %7D%5E2%7D%7D%7D)

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: R\ {-7}

%7D%5E2%7D%7D%7D)

y' < 0 trên các khoảng %2C%20(-7%3B%20%2B%E2%88%9E)) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

1. TXĐ: R\ {5}

%7D%5E3%7D%7D%7D)

y' < 0 trên khoảng ) nên y nghịch biến trên khoảng )

y' > 0 trên khoảng ) nên y đồng biến trên khoảng )

1. TXĐ: R\{-3; 3}

%7D%20%5Cover%20%7B%7B%7B(%7Bx%5E2%7D%20-%209)%7D%5E2%7D%7D%7D)

y' < 0 trên các khoảng %2C%20(-3%3B%203)%2C%20(3%3B%20%2B%E2%88%9E)) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

1. TXĐ: R\ {0}

%7D%20%5Cover%20%7B%7Bx%5E2%7D%7D%7D%20%3D%20%7B%7B3(%7Bx%5E2%7D%20-%204)(%7Bx%5E2%7D%20%2B%204)%7D%20%5Cover%20%7B%7Bx%5E2%7D%7D%7D)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng %2C%20(2%3B%20%2B%E2%88%9E)) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)

1. TXĐ: R \ {-1}

%7D%5E2%7D%7D%7D)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng %2C(%20-%201%20%2B%20%5Csqrt%206%20%3B%20%2B%20%5Cinfty%20))

và nghịch biến trên các khoảng %2C(%20-%201%3B%20-%201%20%2B%20%5Csqrt%206%20))

1. TXĐ: R\ {2}

%7D%5E2%7D%7D%7D%20%3E%200)

(do có ∆' = - 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng %2C(2%3B%20%2B%20%5Cinfty%20))

Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Hướng dẫn làm bài

1. TXĐ: [-5; 5]

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-5; 0) nghịch biến trên khoảng (0; 5)

1. TXĐ: )

%7D%5E2%7D%7D%7D)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng )

1. TXĐ: (-4; 4)

%5Csqrt%20%7B16%20-%20%7Bx%5E2%7D%7D%20%7D%7D)\> 0 ; ∀ x ∈ (-4; 4)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-4; 4).

1. TXĐ:%20%E2%88%AA%20(%E2%88%9A66%3B%20%2B%E2%88%9E))

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng %2C%20(3%3B%20%2B%E2%88%9E)), nghịch biến trên các khoảng %2C%20(%5Csqrt%206%20%3B%203)).

Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

1. )

1. )

Hướng dẫn làm bài

với mọi x ∈ [0; 2π]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

1. )

< 0 với )

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng )

1. Xét hàm số với x > 0.

Giải bất phương trình sau trên khoảng )

%20%3E%200%20%E2%9F%BA%20%5Ccos%20%7B1%20%5Cover%20x%7D)%20%3C%200)

⟺ %20%3C%20%7B1%20%5Cover%20x%7D%20%3C%20%7B%5Cpi%20%5Cover%202%7D(3%20%2B%204k)%20%2Ck%20%3D%200%2C%201%2C%202%20%E2%80%A6.)

⟺ %7D%7D%20%3E%20x%20%3E%20%7B2%20%5Cover%20%7B%5Cpi%20(3%20%2B%204k)%7D%7D%20%2C%20k%20%3D%200%2C%201%2C%202%20%E2%80%A6%E2%80%A6..)

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

%5Cpi%20%7D%7D%3B%7B2%20%5Cover%20%7B(4k%20%2B%201)%5Cpi%20%7D%7D)%2C(%7B2%20%5Cover%20%7B(4k%20-%201)%5Cpi%20%7D%7D%3B%7B2%20%5Cover%20%7B(4k%20-%203)%5Cpi%20%7D%7D)%2C.....%2C)%2C(%7B2%20%5Cover%20%7B3%5Cpi%20%7D%7D%3B%7B2%20%5Cover%20%5Cpi%20%7D))

Và nghịch biến trên các khoảng

%5Cpi%20%7D%7D%3B%7B2%20%5Cover%20%7B(4k%20-%201)%5Cpi%20%7D%7D)%2C(%7B2%20%5Cover%20%7B5%5Cpi%20%7D%7D%3B%7B2%20%5Cover%20%7B3%5Cpi%20%7D%7D)%2C.....%2C))

với k = 0, 1, 2 …

Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định m để hàm số sau:

1. đồng biến trên từng khoảng xác định;

1. nghịch biến trên từng khoảng xác định;

1. nghịch biến trên;

1. đồng biến trên R.

Hướng dẫn làm bài:

1. Tập xác định: D = R\{m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng %2C(m%3B%20%2B%20%5Cinfty%20)) khi và chỉ khi:

%7D%5E2%7D%7D%7D%20%3E%200%20%5CLeftrightarrow%20-%20%7Bm%5E2%7D%20%2B%204%20%3E%200)

1. Tập xác định: D = R\{m}

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng khi và chỉ khi:

%7D%5E2%7D%7D%7D%20%3C%200%20%5CLeftrightarrow%20-%20%7Bm%5E2%7D%20%2B%205m-4%20%3C%200)


1. Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

⇔

1. Tập xác định: D = R

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi:

⇔

Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất

1. %20%2B%20%7D%7D%7B%5Crm%7B2sin%20x%20%2B%206x%20%3D%200%7D%7D)

Hướng dẫn làm bài

1. Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sin x + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y( ) = 0 và ý = -3sin x + 2cos x + 6 >0, x ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

1. Đặt

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(0) = 1 – 2 = -1 < 0 ; %20%3D%204%20.)

Hàm số liên tục trên và y’(0) < 0 nên tồn tại ) sao cho %20%3D%200)

Suy ra phương trình có một nghiệm

1. Đặt y = – x3 + x2 – 3x + 2

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y’ = – x2 + 2x – 3 < 0, %20%3D%204%5Cpi%20-%203%20%3E%200%2C%20x%20%E2%88%88%20R.)

Vì a = -3 < 0 và . Suy ra y nghịch biến trên R.

Mặt khác y(-1) = 1 + 1 +3 + 2 = 7 > 0

y(1) = -1 +1 – 3 + 2 = -1 < 0

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và y(-1)y(1) < 0 cho nên tồn tại sao cho %20%3D%200)

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

1. Đặt y = x5 + x3 – 7

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên R.

Ta có: y(0) = -7 < 0 ; y(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0

Hàm số liên tục trên [0; 2] và y(0) y(2) < 0 cho nên tồn tại ) sao cho %20%3D%200)

Mặt khác %20%5Cge%200%2C%5Cforall%20x%20%5Cin%20R)

\=> Hàm số đồng biến trên )

Suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

(Đề thi đại học năm 2004)

Hướng dẫn làm bài:

Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét