Giải toán hình 11 cơ bản vectơ trong không gian

b.Loại ngay hai phương án A và B vì MP→ không đồng phẳng có vecto a→ và c→. Phương án đúng là C vì MP→=MN→+NP→=12(b→+c→-a→)

3. Phương án A loại vì đẳng thức MP→=12(AC→+AD→-AB→) (AC→+AD→-AB→) đúng nhưng chưa chứng tỏ được bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Phương án B loại vì đẳng thức. MP→=12(MN→+MQ)→ sai

Phương án C loại vì đẳng thức MP→=MB→+BP→ đúng nhưng không liên quan đến hai điểm N và Q.

Phương án D đúng vì đẳng thức MP→=MN→+MQ→ đúng và chứng tỏ ba vecto MP→, MN→, MQ→ đồng phẳng.

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng a.

1. Số đo góc giữa BC→ và SA→ bằng:

1. 300

2. 600

3. 900

4. 1200

2. Gọi M là điểm bất kì trên AC. Góc giữa MS→ và BD→ bằng 900 khi M:

1. Trùng với A

2. Trùng với C

3. Là trung điểm của AC

4. Bất kì vị trí nào trên AC.

Lời giải:

Đáp án: a - B, b - C

Bài 4: Cho tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, AB = 2a, CD = 2b và EF = 2c. M là một điểm bất kì.

1. MA2 + MB2 bằng:

1. 2ME2 + 2a2

2. 2MF2 + 2a2

3. 2ME2 + 2b2

4. 2MF2 + 2b2

2. MC2 + MD2 bằng:

1. 2ME2 + 2a2

2. 2MF2 + 2a2

3. 2ME2 + 2b2

4. 2MF2 + 2b2

3. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. ME2 + MF2 bằng:

1. 2MG2 + 2a2

2. 2MG2 + 2b2

3. 2MG2 + 2c2

4. 2MG2 + 2(a2 + b2 + c2)

4. MA2 + MB2 + MC2 + MD2 bằng:

1. 4MG2 + 2a2

2. 4MG2 + 2b2

3. 4MG2 + 2c2

4. 4MG2 + 2(a2 + b2 + c2)

Lời giải:

Đáp án: a - A, b - D, c - C

1. MA2 = (ME→+EA→)2 = ME2 + EA2 + 2ME→.EA→

MB2 = (ME→+EB→)2 = ME2 + EB2 + 2ME→.EB→

Suy ra: MA2 + MB2 = 2ME2 + 2a2 (do EA→+EB→=0→)

2. Tương tự MC2 + MD2 = 2MF2 + 2b2

3. Tương tự ME2 + MF2 = 2MG2 + 2c2

4. MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2ME2 + 2MF2 + 2a2 + 2b2 = 4MG2 + 2(a2 + b2 + c2)

Bài 5: Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là l. Gọi M là trung điểm của các cạnh AB. Góc giữa hai vecto OM→ và BC→ bằng:

1. 00

2. 450

3. 900

4. 1200

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC bằng a2.

1. Tích vô hướng SA→.AB→ bằng:

2. Tích vô hướng SC→.AB→ bằng:

3. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

1. 00

2. 1200

3. 600

4. 900

Lời giải:

Đáp án: a - C, b - D, c - C

Phương án A sai vì SA→.SB→ ≠ |SA→|.|SB→| = a2

Phương án B sai vì:

Phương án C đúng:

Phương án D sai vì SA→.AB→=-AS→.AB→ ≠ -|AS→ |.|AB→ | = -a2

Tam giác SAC; SAB là tam giác đều

tam giác SCB; ABC vuông cân.

Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy hai điểm P và Q lần lượt thuộc AD và BC sao cho PA→=mPD→ và QB→=mQC→, với m khác 1. Vecto MP→bằng:

1. MP→=mQC→

2. MN→=mPD→

3. MA→=mPD→

4. MN→=mQC→

Lời giải:

Đáp án: C

Phần dẫn ví dụ 1 là một câu chưa hoàn chỉnh, người làm chắc nghiệm phải lựa chọn một trong bốn phương án đưa ra để được một khẳng định đúng.

Có thể loại các phương án A, B và D vì các cặp ba vecto

(MP→, MB→, QC→), (MP→, MN→, PD→) và (MP→, MN→, QC→) đều không đồng phẳng.

Phương án C đúng vì : MP→=MA→+AP→=MA→-mPD→

Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

1. Vecto MN→ cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto đồng phẳng?

1. MA→ và MQ→

2. MD→ và MQ→

3. AC→ và AD→

4. MP→ và CD→

2. Vecto AC→ cùng với hai vecto nào sau đây là ba vecto không đồng phẳng?

1. AB→ và AD→

2. MN→ và AD→

3. QM→ và BD→

4. QP→ và CD→

Lời giải

Đáp án: a - C, b - A

1. Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN// AC và MN = 12AC (1)

Tương tự: QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và QP=12AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MNPQ là hình bình hành ( có các cạnh đối song song và bằng nhau

⇒ MN→=QP→ (3)

Lại có: QP→ = 12AC→+AD→ (4)

Từ (3); (4) ⇒ MN→=12AC→+0.AD→

Do đó, 3 vecto MN→; AC→; AD→ đồng phẳng

2. Phương án A là đúng.

B sai vì MN→=12AC nên 3 vecto MN→; AC→; AD→ đồng phẳng

C sai vì QM→=-12BD→ nên 3 vecto QM→; BD→; AC→ đồng phẳng

D sai vì QP→=12AC→ nên 3 vecto QP→; AC→; CD→ đồng phẳng

Bài 9: Cho ba vecto a→; b→; c→. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

1. Một trong ba vecto đó bằng 0→

2. Có hai trong ba vecto đó cùng phương.

3. Có một vecto không cùng hướng với hai vecto còn lại

4. Có hai trong ba vecto đó cùng hướng.

Lời giải:

Đáp án: C

Nếu hai trong ba vecto đó cùng hướng thì ba vecto đồng phẳng; nếu hai trong ba vecto đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

Bài 10: Ba vecto a→; b→; c→ không đồng phẳng nếu?

1. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng một mặt phẳng.

2. Ba đường thẳng chứa chúng cùng thuộc một mặt phẳng.

3. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng song song với một mặt phẳng.

4. Ba đường thẳng chứa chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Lời giải:

Đáp án: C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm và các điểm M, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD, AC, BD.

1. Những vecto khác 0→ bằng nhau là:

MN→; CI→; QP→

MI→; IQ→; QM→

MQ→; NP→; 12(CB→-CD→)

MQ→, NP→, 12(CD→-CB)→

2. AB→+AC→+AD→ bằng:

1. 4AG→

2. 2AG→

3. AG→

4. 12AG→

Lời giải:

a.MQ→=NP→=12BD→=12(CD→-CB→);

2. AB→+AC→+AD→=2AN→+AD→=4AG→

Bài 2 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA', BB', CC', DD' lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

Lời giải:

Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:

Lời giải:

Bài 6 Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Lời giải:

Bài 7 Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :

Lời giải:

1. Lấy điểm G sao cho AG→=AB→+AC→

⇒ G là đỉnh còn lại của hình bình hành ABGC.

Khi đó AE→=AG→+AD→

⇒ E là đỉnh còn lại của hình bình hành AGED.

Hay E là đường chéo của hình hộp có ba cạnh lần lượt là AB; AC; AD.

⇒ F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGF

Hay F là điểm đối xứng với E qua G.

Bài 8 Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CMR: DA→+DB→+DC→=3DG→

Lời giải

Bài 9 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Lời giải:

Bài 10 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA'→=a→; AB→=b→; AC→=c→ . Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ B'C→, BC'→ qua các vectơ a→; b→; c→

Lời giải:

Bài 11 Cho tam giác ABC. Lấy một điểm S ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS→=-2MA→ và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB→=-12NC→. Chứng minh ba vector AB, MN, SC đồng phẳng