ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) Show Chú ý : – Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực – Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì : x1 + x2 + x3 = -b/2a x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a x1x2x3 = -d/a
1. Nếu x = x0 là một nghiệm, ta có thể phân tích thành dạng : (x – x0)(ax2 + bx + c) = 0 Đặc biệt : – Nếu a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghiệm – Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b là nghiệm 2. Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3 pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0 II. Những dạng tổng quát 1. Phương trình 4x3 – 3x = q * Với │q│ ≤ 1 – Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q – Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα – Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3 – Kết luận phương trình có 3 nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3 Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt “ép” ẩn phụ, ta không cần chứng minh rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết luận ngay * Với │q│ > 1 : – Ta dễ dàng CM được pt không có nghiệm thuộc [-1;1] và nếu phương trình có nghiệm x0 không thuộc [-1;1] thì x0 là nghiệm duy nhất – Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 – 3x = ½ (a3 + 1/a3) bằng cách : q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 – 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a) – CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình 2. Phương trình 4x3 + 3x = q – Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM được x0 là nghiệm duy nhất – Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 – 1/a3) rồi CM x0 = ½ (a – 1/a) là nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên) 3. Phương trình x3 + px + q = 0 (Công thức Cardan – Tartaglia) – Đặt x = u – v sao cho uv = p/3 – Từ pt, ta có : (u – v)3 + 3uv(u – v) = u3 – v3 = q – Hệ phương trình uv = p/3 và u3 – v3 = q cho ta một phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ đó suy ra u,v và tìm được một nghiệm x = u + v Chú ý rằng trong lúc giải phương trình trùng phương có thể ta gặp nghiệm phức (u hoặc v) nên từ đó phương trình bậc ba còn cho thêm 2 nghiệm phức nữa (đó mới là dạng đầy đủ của công thức trên) Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q như trên cũng có thể giải được bằng PP này 4. Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = 0 Đặt X = x – A/3, pt trở thành x3 + px + q = 0 (#) Cách 1 : Giải trực tiếp theo công thức Cardan – Tartaglia Cách 2 : – Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = 0 (chọn k sao cho k3/4 = pk/3 nếu p > 0 hoặc k3/4 = -pk/3 nếu p < 0) – Phương trình được đưa về dạng 4t3 ± 3t = Q Bài viết Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước. Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trướcA. Phương pháp giảiBài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình Cách giải: - Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).f(x) - Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x - x 0). - Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - x 0). (ax2 + Bx + C) = 0 Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).(ax2 + Bx + C) Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình Giải Phương trình (1) ⇔ x3+x2-12 = 0 Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x3 + x2 – 12) chia cho (x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia: Vậy x3 + x2 – 12 = (x – 2).( x2 + 3x + 6) Xét phương trình: x – 2 = 0 ⇔ x = 2 Xét phương trình: x2 + 3x + 6 = 0 có ∆ = 32 - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (x - 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2 + TH1: phương trình (**) có nghiệm kép khác 2 ⇔ phương trình (**) có ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (**) + TH2: phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2 Thay x = 2 vào phương trình (**) ta được: Với m = -1 thì phương trình (**) trở thành: x2-x-2 = 0 Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = -1, x = 2 Suy ra m = -1 thỏa mãn Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm B. Bài tậpCâu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình Giải Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2x3 + x2 – 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia Vậy 2x3 + x2 – 13x + 6 = (x + 3).(2x2 - 5x + 2) Xét phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = -3 Xét phương trình 2x2 - 5x + 2 = 0 có ∆ = (-5)2 - 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: Đáp án là D Câu 2: Tìm m để phương trình (x - 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác x = 1 Vậy với thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt Đáp án là B Câu 3: Tìm m để phương trình (2x - 1)(x2 – mx + 3m - 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm
Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm + TH1: phương trình (**) có nghiệm kép Thay vào phương trình (**) ta được: + TH2: phương trình (**) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm Đáp án là B Câu 4: Tìm m để phương trình (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3
Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1 Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2 + x3 = -2m Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 + x3 = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2 m = -2 không thỏa mãn điều kiện nên loại Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài Đáp án là C Câu 5: Tìm m để phương trình (x + 2)(x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4
Giải Phương trình (1) Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -2 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -2 Điều này xảy ra Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2. x3 = m2 - 3m Tích các nghiệm của phương trình (1) là: Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra Đáp án đúng là B Câu 6: Biết rằng phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình (x -3)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính B + C
Giải Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 4x2 + x + 6 cho x – 3 Vậy x3 - 4x2 + x + 6 = (x - 3).(x2 - x - 2) Suy ra phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 ⇔ (x - 3).(x2 - x - 2) = 0 Vậy B = -1 và C = -2 ⇒ B + C = -1 – 2 = -3 Đáp án D Câu 7: Biết rằng phương trình x3 – 5x2 - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x - 4)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu có
Giải Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 5x2 - 2x + 24 cho x – 4 Vậy x3 - 5x2 - 2x + 24 = (x - 4).(x2 - x - 6) Suy ra phương trình x2 + Bx + C = 0 là phương trình x2 - x – 6 = 0 Phương trình này có Δ = (-1)2 - 4.(-6) = 25 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt Theo Vi-et tích các nghiệm của phương trình là Đáp án A Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.  Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
