 Show A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳngĐây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT 1. Cơ sở lý thuyếtGiả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x; y). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là: d(N; Δ) = $\frac{{\left| {A{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ (1) Xem thêm: Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ Cho điểm M( xM; yN) và điểm N( xN; yN) . Khoảng cách hai điểm này là: MN = $\sqrt {{{\left( {{x_M} – {x_N}} \right)}^2} + {{\left( {{y_M} – {y_N}} \right)}^2}} $ (2) Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát. 2. Bài tập có lời giảiBài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q (2; 1) tới đường thẳng Δ. Lời giải chi tiết Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức (1): d(N; Δ) = $\frac{{\left| { – 1.2 + 3.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$ Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ: $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$ Lời giải chi tiết Ta đưa phương trình $\frac{x}{3} – \frac{y}{2} = 5$ <=> 2x – 3y = 30 <=> 2x – 3y – 30 = 0 (*) Phương trình (*) là dạng tổng quát. Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ dựa theo công thức (1). Thay số: d(P; Δ) = $\frac{{\left| {2.1 + \left( { – 3} \right).1 – 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }}$ = 8,6 Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2t + 3\\ y = 3t + 1 \end{array} \right.$ Lời giải chi tiết Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:
Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3(x – 3) – 2(y – 1) = 0 <=> 3x – 2y – 7 = 0 Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: d(P; Δ) = $\frac{{\left| {3.1 + \left( { – 2} \right).3 – 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }}$ = 2,77 B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian OxyzĐây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT: 1. Cơ sở lý thuyếtGiả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( xN; yN; zN). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ? Phương pháp
2. Bài tập có lời giảiBài tập 1. Một điểm A(1;1;1) không thuộc đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. Lời giải chi tiết Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${\vec u_\Delta }$ = (1;2;1) Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = (4; – 1; – 2). Khi này: d(A; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$ Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A(1; 1; 1). Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM? Lời giải chi tiết Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $A{M_{\min }} = d(A;\Delta ).$ Xem thêm: Công thức tích phân từng phần và 4 dạng toán liên quan Đường thẳng Δ: $\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${\vec u_\Delta }$ = (1;2;1). Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $\overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $[\overrightarrow {AB} ,\vec u]$ = (4; – 1; – 2). Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d(A; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$$\Rightarrow A{M_{\min }} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$ Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M( 1; 1; 1), N( 0 ; 1;-1) nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB Lời giải chi tiết Từ phương trình đường thẳng Δ: $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${\vec u_\Delta }$ = (1; 2; 1) Chọn điểm Q ( 2; 5; 1) ∈ Δ => $\overrightarrow {MQ} $ = (1; 4; 0) => $\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow u } \right]$ = (4; -1; – 2). Lúc đó: d(M; Δ) = $\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MQ} ,\vec u} \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$ $ \Rightarrow MP = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$ Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $\sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$ Vậy $S = \frac{1}{2}MP.PN = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.$ Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập toanhoc.org để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. Trên hình vẽ ta có \(AH=BK=h\) là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(a\) và \(b.\) 2. Tính chất của các điểm cách đều một đoạn thẳng cho trước Tính chất: Các điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng bằng \(h\) nằm trên hai đường thẳng song song với \(b\) và cách \(b\) một khoảng bằng \(h.\) 3. Đường thẳng song song cách đều Định lí: - Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. - Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều. Ví dụ: Trên hình ta có a//b//c//d thì AB=BC=CD; MN=NP=PQ. Loigiaihay.com
Quảng cáo - Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau: + Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH + Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH. - Hai công thức sau thường được dùng để tính MH: + Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì + MH là đường cao của tam giác MAB thì Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? A. 2a B. 4a C.3a D. 5a Hướng dẫn giải + Kẻ AH vuông góc với BC Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH) ⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH + Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có Chọn D Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng Quảng cáo Hướng dẫn giải + Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√3/2 + Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM Ta có: Chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có: + Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH ⇒ tam giác SAH vuông tại S. Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có: Chọn B Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a . Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD . Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: (Định lý 3 đường vuông góc) ⇒ d(A, BD) = AM, CM = a√3/2 (vì tam giác BCD đều). + AC vuông góc ( BCD) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C. ⇒Quảng cáo Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° . Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC. Hướng dẫn giải Chọn C Kẻ AH ⊥ SC, khi đó d(A; SC) = AH + Do ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠B = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ AC = a + Do SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc AC hay tam giác SAC vuông tại A. Trong tam giác vuông ta có: Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC. Hướng dẫn giải Chọn A + Kẻ OH ⊥ SC , khi đó d(O; SC) = OH + Ta có: ΔSAC ∼ ΔOHC (g.g) (g-g) nên Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng Hướng dẫn giải Chọn D + Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. + Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) + Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α nên : ∠SDO = α Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d(O, SD) = OH Ta có: BD = a√a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√2 = (a√2)/2 + Xét tam giác vuông OHD: OH = OD.sinα = (a√2/2).sinα Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB = a√3, BC = a√6. Khoảng cách từ B đến SC bằng A. a√2 B. 2a C. 2a√3 D. a√3
Chọn B + Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ SB . + Kẻ BH ⊥ SC, khi đó d(B; SC) = BH. Ta có: Trong tam giác SBC vuông tại B ta có: Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng
Gọi M là trung điểm của CD’ Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh a√2 . + Tam giác ACD’ có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao AM ⊥ CD'. d(A; CD’) = AM = AC.sin(ACM) = a√2.sin60°= (a√6)/2 Đáp án: B Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB’ bằng
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB’. Ta có: ⇒ AD ⊥ AB' Xét tam giác ADB’ vuông tại A; đường cao AH: Đáp án D Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC’ bằng nhau ? A. A’, B, C’ B. B, C, D C. B’, C’, D’ D. A, A’, D’
Dễ thấy các tam giác ABC’, C’CA, ADC’ là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau. Vậy: d(B; AC’) = d(C; AC’) = d(D; AC’) Đáp án B Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO = a√3/3. Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng
Chọn B Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao ⇒ O là tâm của tam giác ABC. + Gọi I là trung điểm cạnh BC. Tam giác ABC đều nên Kẻ OH ⊥ SA; khi đó d(O; SA) = OH Xét tam giác SAO vuông tại O: Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng
Gọi M là trung điểm của CD’ Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh a√2 Đáp án: B
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
