Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (-5 5)

Phương pháp giải:

Hàm số (y = a{x^4} + b{x^2} + c,,left( {a ne 0} right)) không có điểm cực đại khi và chỉ khi (left{ begin{array}{l}a > 0\b > 0end{array} right.).

Giải chi tiết:

TH1: (m = 0), hàm số trở thành (y = 2019{x^2} - 1) là parabol có bề lõm hướng lên, do đó có 1 điểm cực tiểu (thỏa mãn).

TH2: (m ne 0).

Hàm bậc bốn trùng phương (y = a{x^4} + b{x^2} + c,,left( {a ne 0} right)) không có điểm cực đại, tức là chỉ có 1 điểm cực trị thì (ab > 0), mà điểm cực trị đó lại là cực tiểu ( Rightarrow a > 0). Do đó (left{ begin{array}{l}a > 0\b > 0end{array} right.).

( Rightarrow left{ begin{array}{l}m > 0\2019 - m > 0end{array} right. Leftrightarrow 0 < m < 2019).

Kết hợp 2 TH ta có: (0 le m < 2019). Mà (m in mathbb{Z} Rightarrow m in left{ {0;1;2;...;2018} right}).

Vậy có 2019 giá trị nguyên của (m) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Tính đạo hàm.

- Để hàm số có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;3} \right]\) thì \(m \notin \left[ {1;3} \right]\).

- Chia từng trường hợp dấu của đạo hàm, trong mỗi trường hợp xác định GTLN của hàm số trên \(\left[ {1;3} \right]\) và giải bất phương trình \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y > 0\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - m - m - 6}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

Để hàm số có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {1;3} \right]\) thì \(m \notin \left[ {1;3} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 3\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 20;1} \right) \cup \left( {3;20} \right]\) (*).

TH1: \( - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\), khi đó \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x + 3}} = 1\) là hàm hằng nên không có giá trị lớn nhất.

TH2: \( - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m < - 3\), khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;3} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{m + 9}}{{3 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 9 < m < 3\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow - 9 < m < - 3\).

TH3: \( - 2m - 6 < 0 \Leftrightarrow m > - 3\), khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của chúng nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;3} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{m + 7}}{{1 - m}} > 0 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\).

Kết hợp điều kiện \( \Rightarrow - 3 < m < 1\).

Kết hợp 2 TH ta có: \(m \in \left( { - 9;1} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).

Kết hợp điều kiện (*) ta có: \(m \in \left( { - 9;1} \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}\). Mà \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có \(8\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.