A. 2 B. 0 C. 4 D. 1 Lời giải: Chọn D Xét hàm số f(x) = x5 – 5x2 + 5(m – 1)x – 8 TH1: f(x) = 0 có nghiệm x0 ∊ (-∞;1) thì hàm số y = |f(x)| không thể nghịch biến trên khoảng (-∞;1). TH2: f(x) = 0 không có nghiệm x0 ∊ (-∞;1) Ta có: f’(x) = 5x4 – 10x + 5(m – 1) Khi đó y = |x5 – 5x2 + 5(m – 1)x – 8| = |f(x)| =  Nên Hàm số nghịch biến trên (-∞;1) khi và chỉ khi y’ ≤ 0 với ∀ x ∊ (-∞;1) Mà m ∊ ℤ nên m = 3 Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |2x3 – mx + 1| đồng biến trên khoảng (1; +∞)?A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 Lời giải: Chọn C Xét hàm số f(x) = 2x3 – mx + 1 TH1: f(x) = 0 có nghiệm x0 ∊ (1;+∞) thì hàm số y = |f(x)| không thể nghịch biến trên khoảng (1;+∞). TH2: f(x) = 0 không có nghiệm x0 ∊ (1;+∞) Ta có: f’(x) = 6x2 – m Khi đó y = |2x3 – mx + 1| = |f(x)| = Nên Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞) khi và chỉ khi y’ ≥ 0 với ∀ x ∊ (1;+∞) ⇒ m ∊ {1; 2; 3} Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số y = |3x4 – 4x3 – 12x2 + m| nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)?A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 Lời giải Chọn D Xét hàm số f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + m ⇒ f’(x) = 12x3 – 12x2 – 24x = 12x (x2 – x – 2) ⇒ f’(x) = 0 BBT: Nhận thấy: Hàm số y = |f(x)| nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ⇔ m – 5 > 0 ⇔ m ≥ 5. Lại do ⇒ m ∊ {5; 6; 7; 8; 9} Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Loại 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số dạng phân thức hữu tỉ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.Ví dụ 1. Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-10; 10] để hàm số đồng biến trên (1; +∞).A. S = 55 B. S = 54 C. S = 3 D. S = 5 Lời giải Chọn B. Xét hàm số với x ≠ -m – 2, có Hàm số đồng biến (1; +∞) khi xảy ra một trong hai trường hợp sau: TH1: TH2:
Vậy m ∊ (1; +∞), lại do suy ra m ∊ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Vậy S = 54 Ví dụ 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên (1;+∞)A. B. C. D. Lời giải Chọn B Đặt . ĐK: x ≠ -m Khi đó Để hàm số đồng biến trên (1;+∞) ⇔ Ta có Vậy ⅓ < m ≤ 1 Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên [3; +∞)?A. 4 B. 5 C. Vô số D. 6 Lời giải Chọn A Tập xác định: D = ℝ \{1} Xét hàm số Có Khi đó Hàm số đồng biến trên [3; +∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ [3; +∞) Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1} Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Loại 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.Ví dụ 1. Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên (0;1).A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 Lời giải Chọn A Đặt Ta có Do hàm số liên tục tại x = 0; x = 1 nên để hàm số nghịch biến trên (0;1) ta xét 2 trường hợp sau: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Do m nguyên nên m nhận các giá trị sau -3; -2; -1; 0 Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ (-5; 5) để hàm số nghịch biến trên (2; 3)?A. 2 B. 3 C. 5 D. 9 Lời giải Chọn B Xét hàm số Ta có Cho f’(x) = 0 Ta thấy f’(x) < 0, ∀ x ∊ (2; 3) nên hàm số f(x) nghịch biến trên (2; 3) Để nghịch biến trên (2; 3) thì f(3) ≥ 0 Do m ∊ (-5; 5) nên m = {-2; -3; -4} Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∊ [0; 10] để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)?A. 11 B. 10 C. 12 D. 9 Lời giải Chọn A Tập xác định D = ℝ Xét hàm số Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) TH1: f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (1;+∞) Đặt t = x – 1, t > 0 Xét Bảng biến thiên: Từ BBT ta có TH2: f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (1;+∞) Đặt t = x – 1, t > 0 Mà nên với mỗi giá trị của m luôn có giá trị của t dương đủ nhỏ để VT của (*) lớn hơn 0. Suy ra không có giá trị nào của m để TH2 thỏa mãn. Vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn là {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Loại 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f(x)| = |x3 – 3x2 +3(m2 + 5) x + (12 – 3m2) cosx| đồng biến trên (0; π)A. 3 B. 5 C. 4 D. Vô số Lời giải Chọn B Đặt h(x) = x3 – 3x2 + 3(m2 + 5) x + (12 – 3m2) cosx. Ta có h’(x) = 3x2 – 6x + 3(m2 + 5) – (12 – 3m2) sinx. ⇔ h’(x) = 3(x – 1)2 + 12(1 – sinx) + 3m2(1 + sinx) ≥ 0, ∀ x ∊ (0; π) Vậy hàm số h(x) luôn đồng biến trên (0; π). Để y = f(x) đồng biến trên (0; π). Thì h(0) ≥ 0 ⇔ (12 – 3m2) ≥ 0 ⇔ m ∊ [-2; 2] Kết luận: có 5 giá trị m nguyên thỏa mãn. Ví dụ 2. Các giá trị của tham số m để hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng là.A. B. C. m > 1 D. m ≥ 1 Lời giải Chọn B Xét hàm số f(x) = sinx – cosx + m = Khi đó y = |sinx – cosx + m| = |f(x)| = . Nên Hàm số y = |sinx – cosx + m| đồng biến trên khoảng ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ Với Nên (1) ⇔ f(x) > 0, ∀ x ∊ Ví dụ 3. Cho hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1|. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên . Tính số phần tử của S .A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Lời giải Chọn A Trên khoảng , hàm số y = sinx đồng biến Đặt t = sin x, x ∊ ⇒ t ∊ (0;1) Khi đó hàm số y = |sin3x – m.sinx + 1| đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) Xét hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 trên khoảng (0;1) có f’(t) = 3t2 – m. +) Khi m = 0 f’(t) = 3t2 > 0, ∀ t ⇒ y = f(t) = t3 + 1 đồng biến trên (0;1) và đồng thời y = f(t) = t3 + 1 cắt trục hoành tại điểm duy nhất t = -1 ⇒ y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) ⇒ m = 0 thỏa mãn +) Khi m > 0 f’(t) = 0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 đồng biến trên các khoảng và TH1: ⇔ 0 < m < 3 Hàm số y = f(t) = t3 – mt + 1 nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng ⇒ Không có giá trị của m để y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) TH2: ⇔ m ≥ 3 Để y = g(t) = |t3 – mt + 1| đồng biến trên (0;1) thì t3 – mt + 1 ≤ 0, ∀ x ∊ (0;1) ⇔ mt ≤ t3 + 1, ∀ x ∊ (0;1) ⇒ Không có giá trị của m thỏa mãn Vậy chỉ có giá trị m = 0 thỏa mãn Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để hàm số y = |cos3x – 3m2cosx| nghịch biến trên .A. 1 B. 11 C. 5 D. 6 Lời giải Chọn B Đặt t = cos x, vì x ∊ ⇒ t ∊ (0;1) Vì t =cos x là hàm số nghịch biến trên nên yêu cầu bài toán trở thành tìm m nguyên thuộc [-5;5] để hàm số y = |t3 – 3m2t| đồng biến trên (0;1). Xét f(t) = t3 – 3m2t, t ∊ (0;1) ⇒ f’(t) = 3t2 – 3m2 TH1: Nếu m = 0 ⇒ f’(t) > 0, ∀ t ∊ (0;1) ⇒ f(t) luôn đồng biến trên (0;1) Mà f (0) = 0 ⇒ y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; +∞) ⇒ y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0;1) Do đó m = 0 thỏa mãn bài toán (1) TH2: m ≠ 0 ⇒ f’(t) = 0 *) Với m > 0 , ta có BBT sau: Từ BBT suy ra hàm số y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; m) YCBT tương đương (0;1) ⊂ (0; m) ⇔ m ≥ 1 (2) *) Với m < 0 , ta có BBT sau: Từ BBT suy ra hàm số y = |f(t)| luôn đồng biến trên (0; -m) YCBT tương đương (0;1) ⊂ (0; -m) ⇔ m ≤ -1 (3) Từ (1), (2) và (3) vậy có 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Loại 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để y = |9x + 3x – m + 1| đồng biến trên đoạn [0;1]A. 1 B. 4 C. 3 D. 6 Lời giải Chọn C Đặt 3x = t ⇒ t ∊ [1;3] vì t ∊ [0;1] ⇒ t = |t2 + t – m + 1| = Để hàm số đồng biến trên đoạn t ∊ [1;3] thì Với mọi giá trị của t ∊ [1;3] thì 2t + 1 > 0 nên Để y’ ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3] thì t2 + t – m + 1 ≥ 0, ∀ t ∊ [1;3] ⇒ m – 1 ≤ t2 + t = g(t) , ∀ t ∊ [1;3] Vậy có 3 giá trị nguyên {1; 2; 3} thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương và nhỏ hơn 2020 để hàm số y = |4x + m.2x+1 + m + 2| đồng biến trên khoảng (0;1)?A. 2018 B. 2019 C. 2 D. 3 Lời giải Chọn A Xét hàm số f(x) = 4x + m.2x+1 + m + 2 (1) trên khoảng (0;1) Đặt t = 2x ⇒ t ∊ (1;2) Hàm số (1) trở thành h(t) = t2 – 2mt + m + 2 trên khoảng (1;2). Suy ra h’(t) = 2t – 2m Ta có y = |f(x)| đồng biến trên khoảng (0;1) Vì hàm số t = 2x đồng biến trên khoảng (0;1) Do đó, Vậy có 2018 số nguyên dương nhỏ hơn 2020 thỏa ycbt. Ví dụ 3. Cho hàm số (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4)?A. 234 B. Vô số C. 40 D. Không tồn tại m Lời giải Chọn C Đặt Ta có ⇒ t ∊ (e2; e3), đồng thời x và t sẽ ngược chiều biến thiên. Khi đó hàm số trở thành y = |t2 + 3t – 2m + 5| = (2) Ta có: Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (2;3) ⇔ hàm số (2) đồng biến trên khoảng (e2; e3) ∀ x ∊ (e2; e3) ⇔ t2 + 3t – 2m + 5 > 0 ∀ x ∊ (e2; e3) ∀ x ∊ (e2; e3) Có ∀ x ∊ (e2; e3) Với điều kiện m là số nguyên dương ta tìm được 40 giá trị của m. Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m ∊ (-2019; 2020), để hàm số y = |e-x2 + ex2 – m| nghịch biến trên (1;e)?A. 401 B. 0 C. 2019 D. 2016 Lời giải Chọn A Đặt f(x) = e-x2 + ex2 – m ⇒ f’(x) = -2xe-x2 + 2ex2 Ta có y = |f (x)| = Yêu cầu bài toán ⇔ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e) (*) Vì x ∊ (1;e) nên -2xe-x2 + 2ex2 = , ∀ x ∊ (1;e) Khi đó, (*) ⇔ f(x) ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e) ⇔ e-x2 + ex2 – m ≤ 0, ∀ x ∊ (1;e) ⇔ e-x2 + ex2 ≤ m, ∀ x ∊ (1;e) Ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = e-x2 + ex2 ∀ x ∊ (1;e) là e-x2 + ex2 Nên m ≥ e-x2 + ex2 ≈ 1618,18 Vậy có 401 giá trị nguyên dương m thỏa mãn. Loại 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm y = |f(x)| với f(x) là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (-100; 100) của tham số m để hàm số y = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2]?A. 101 B. 102 C. 103 D. 100 Lời giải Chọn B y = |ln3x – 4x2 + m|. Điều kiện x > 0 Xét hàm số g(x) = ln3x – 4x2 + m trên [1;e2] ⇒ g(x) nghịch biến trên [1;e2] ⇒ Hàm số y = |g(x)| = |ln3x – 4x2 + m| đồng biến trên đoạn [1;e2] ⇔ ln3 – 4 + m ≤ 0 ⇔ m ≤ 4 – ln3 Mà m nguyên thuộc khoảng (-100; 100) nên m ∊ {-99; -98;…; -1; 0; 1; 2} Vậy có 102 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2. Có bao nhiêu số nguyên m < 2020 để hàm số y = |ln(mx) – x + 2| nghịch biến trên (1;4)?A. 2018 B. 2019 C. 1 D. Vô số. Lời giải Chọn A Xét f(x) = ln(mx) – x + 2. Dễ thấy ∀ x ∊ (1;4): mx > 0 ⇔ m > 0 Khi đó Do đó f(x) luôn nghịch biến trên (1;4) Yêu cầu bài tóan tương đương với f(4) ≥ 0 ⇔ ln(4m) – 2 ≥ 0 Vậy m ∊ [2; 2019] có 2018 số nguyên thỏa mãn. Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (-2020; 2020) để hàm số y = |ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1| luôn đồng biến trên (0;10)?A. 4038 B. 2020 C. 2017 D. 2018 Lời giải Chọn C Ta xét hàm số f(x) = ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1 trên (0;10) Điều kiện hàm số có nghĩa là x2 + 2x – m > 0, ∀ x ∊ (0;10) ⇔ x2 + 2x > m, ∀ x ∊ (0;10) (1) Ta lại có x2 + 2x = x.(x + 2) > 0 với ∀ x ∊ (0;10) nên điều kiện (1) cho ta m ≤ 0 (2) Đạo hàm do m ≤ 0 và x ∊ (0;10) nên Suy ra f’(x) > 0 hàm số đồng biến trên (0;10). Từ đó để hàm số y = |ln(x2 + 2x – m) – 2mx2 – 1| = |f(x)| đồng biến trên (0;10) điều kiện đủ là f(x) ≥ 0 với ∀ x ∊ (0;10) (3) +) TH1: Xét m = 0 Khi đó f(x) = ln(x2 + 2x) – 1 có không thỏa mãn (3) +) TH2: Xét m < 0 Do hàm số f(x) đồng biến nên ta chỉ cần f(0) ≥ 0 ⇔ ln(-m) – 1 ≥ 0 ⇔ -m ≥ e ⇔ m ≤ -e Từ đó ta được: ⇔ m ∊ {-2019; -2018; -2017;…; -3} có 2017 giá trị m thỏa mãn bài toán. Ví dụ 4. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m trong đoạn [-3;3] để hàm số y = |ln(x3 + mx + 2)| đồng biến trên nửa khoảng [1;3)?A. 7 B. 4 C. 6 D. 5 Lời giải Chọn C Điều kiện xác định: x3 + mx + 2 > 0 Xét hàm số f(x) = ln(x3 + mx + 2) Ta có: Hàm số đồng biến trên nửa khoảng [1;3) Trường hợp 1: Trường hợp 2: Từ hai trường hợp trên suy ra m ≥ -2 Mà m ∊ [-3;3] ⇒ m ∊ {-2; -1; 0; 1; 2; 3} Vậy có 6 số nguyên m thỏa mãn YCBT. |
