§4. Bất phương trình bậc nhất một ổn Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như thế nào ? ( :\ Định nghĩa Bất phương trình dạng ax + b 0, ax + b 0) trong đó a và b là hai sô' đã cho, a *0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào ỉà bất phương trình bậc nhất một ẩn : a) 2x -3 0 ; 5x-15>0; đ)x2>0. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình ạ) Quy tắc chuyên vế Từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc chuyển vé') để biến đổi tương đương bất phương trình : Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vê kia ta phải đổi dấu hạng tử đó. Ví dụ 1. Giải bất phương trình X - 5 < 18. Giải ; Ta có X - 5 < 18 x<18 + 5 (Chuyển vế-5 và đổi dấu thành 5) o X < 23. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x I X < 23}. Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3x > 2x + 5 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Giải : Ta có 3x > 2x + 5 3x - 2x > 5 (Chuyển vế 2x và đổi dấu thành -2x) o X > 5. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x I X > 5}. Tập nghiệm này được biểu diễn như sau : 0 5 Giải các bất phương trình sau : à) X + 12 > 21 ; b) -2x > -3x -5. Quy tắc nhãn với một số ■ Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương hoặc với số âm, ta có quy tắc nhân với một số (gọi tắt là quy tắc nhân) để biến đổi tương đương bất phương trình : Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một sô khác 0, ta phải: — Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu sô đó dương; -Đổi chiều bất phương trình nêu số đó ám. Ví dụ 3. Giải bất phương trình 0,5x < 3. Giải : Ta có 0,5x < 3 0,5x.2 < 3.2 (Nhân cả hai vế với 2) X < 6. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x I X < 6}. Ví dụ 4. Giải bất phương trình - 4 X < 3 và biểu diễn tập nghiệm trên 4 trục số. Giải: Ta có - -ịx < 3 4 1 z , .. t .. --7X.(-4) > 3.(-4) (Nhân hài vế với - 4 và đổi chiêu) 4 X > -12. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x I X > -12}. Tập nghiệm này được biểu diễn như sau : ///////////////////( 1— * —12 0 Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân) : a) 2x <24 ; b) -3x < 27. Giải thích sự tương đương : à) X + 3 -3x > 6. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2x - 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Giải: Ta có 2x - 3 < 0 2x < 3 (Chuyển -3 sang vế phải và đổi dấu) o 2x : 2 < 3 : 2 (Chia hai, vế cho 2) X < 1,5. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x I X < 1,5} và được biểu diễn trên trục số như sau : 0 1,5 Giải bất phương trình -4x -8 <0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Hướng dẫn : Làm tương tự Ví dụ 5 nhưng lưu ý khi nhân hai vế với số âm. ► Chú ý. Để cho gọn khi trình bày, ta có thể: -Không ghi câu giải thích ; - Khi có kết quá x < 1,5 (ở Ví dụ 5) thì coi là giải xong và viết đơn giản : Nghiêm của bất phương trình 2x - 3 < 0 là x < 1,5. Ví dụ 6. Giải bất phương trình - 4x + 12 < 0. Giải: Ta có - 4x + 12 12 12 : 4 3 < X. Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 3. Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b0; ax + b0 Ví dụ 7. Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7. Giải : Ta có 3x + 5 < 5x — 7 3x - 5x -2x -2x : (-2) > -12 : (-2) X > 6. ?6 Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 6. Giải bất phương trình -0,2x -0,2 > 0,4x -2, BÀI TẬP Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế): X - 5 > 3 ; b) X - 2x < -2x + 4 ; -3x>-4x + 2; d)8x + 2<7x-l. Giải các bất phương trình (theo quy tắc nhân) : 0,3 X > 0,6 ; b)-4x<12; c)-X > 4 ; d)l,5x>-9. Giải thích sự tương đương sau : x-3>lx + 3>7; b) -X - 6. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số : l,2x2x + 3. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số : b) 3x + 4 0. b) 3x - 2 19. a) 2x - 3 > 0 ; c) 4 - 3x < 0 ; Giải các bất phương trình : a) 2x - 1 > 5 ; c) 2 - 5x < 17 ; Giải các bất phương trình : a) -9 X > -6 ; 3 c) 3 - — X > 2 ; 4 -^x < 20 ; 6 d) 5 -X > 2. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào ? (Kể ba bất phựơng trình có cùng tập nghiệm). a) -± 4y//w////////////////» b) ///fM//////ll///tt/////////l/[ Đố. Kiểm .tra xem gia trị X = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không : X + 2x2 - 3x3 + 4x4 - 5 < 2x2 - 3x3 + 4x4 - 6 ; (-0,00 l)x> 0,003. LUYỆN TẬP 28. Cho bất phương trình X2 > 0. Chứng tỏ X = 2, X = -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Có phải mọi giá trị của ẩn X đều là nghiệm của bất phương trình đã cho hay không ? Tìm X sao cho : Giá trị của biểu thức 2x - 5 không âm ; Giá trị của biểu thức -3x không lớn hơn giá trị của biểu thức -7x + 5. Một người có số tiền không quá 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá : loại 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng ? 31. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trẽn trục số : 15 - 6x 29 30. a) >5 ; X -4 c) y(x - 1) < 4 o 32. Giải các bất phương trình : a) 8x + 3(x + 1) > 5x - (2x - 6) , 2 - X 3 - 2x d) —- < b) 2x(6x - 1) > (3x - 2)(4x + 3). Đố. Trong một kì thi, bạn Chiến phải thi bốn môn Vãn, Toán, Tiếng Anh và Hoá. Chiến đã thi ba môn và được kết quả như bảng sau : Môn Văn Tiếng Anh Hoá Ỡiểm 8 7 10 Kì thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điểm trung bình các môn thi là 8 trở lên và không có môn nào bị điểm dưới 6. Biết môn Văn và Toán được tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là bao nhiêu. Đố. Tìm sai lầm trong các "lời giải" sau : a) Giải bất phương trình -2x > 23. Ta có : -2x > 23 X > 23 + 2 X > 25. Vậy nghiệm của bất phương trình là X > 25. b) Giải bất phương trình -—X > 12. Ta có : Vậy nghiệm của bất phương trình là X > -28. .12 X > -28. §4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT Ẩn A. Kiến thức cần nhó ; * Bất phương trình bậc nhất mọt ấn là bát phương trình có dạng Ị ax + b 0. ax + b 0) trong đó a, b là hai số dã cho, a* 0. * Hai quy tắc biến đối bất phương trình: Khi chuyển một hạng tú' của bất phương trình từ vế này sang vế kia phai đổi dâu hạng tứ đó. Khi nhãn cả hai vế của một bất phương trình với một số khác 0, ta phủi: + Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu sô’ đó dương; + Đổi chiều bất phương trình nêu sô’ đó ám. B. Ví dụ giải toán Ví dụ 1. Giai các bất phương trình sau : 3x - 5 > 0 ; 3 4x-4<0; -5x-3 < 0; 3 5 Giải d) -2x + 6 > 4x - 2 . a) 3x - 5 > 0 3x > 5 X > . Tập nghiệm của bất phương trình là 5/ X > - 5 b) -5x-3 5x >- Tập nghiệm của bất phương trình là s = 2 3 _ 2 3 9 c) — X — — x< — . 3 5 35 10 8/2 X e Rịx > 5 ( , , 9Ì Tập nghiệm cúa bất phương trình là s = ; d) —2x + 6 > 4x — 2 6x X < . 4 + 6 > 4x - 2 6x < 8 X < — . n 5 ập ng hiệm cua bất phương trình là s = <' X 6 Rj X < — ị . Ví dụ 2. Giái các bất phương trình sau : X 2-3x a) - 2 4 5x-l 3x x-3 x + c) _— + 2-1 > _— + 4 2 4 3 Gi di X 2-3x .c bất phương trình sau : — 3x 3x +1 3x + 2 -—— > 0; b) — a) — - >0o2x-2 + 3x>0c5 5x>2x> 2 4 Tập nghiệm cùa bất phương trình là S = ịxeR|x>ỹj-; 2 4 5 10(3x + l)-5(3x + 2)-4(3x+ 3) < 0 3 0 X -t-10 — 15 X — 10 — 12 X — 12 < 0 « 3x X < 4. Tập nghiệm cua bát phương trình là s = |x e R| X < 4J; 5x -1 3x X -3 X +1 —- 1——- > —-—I—-— 4 2 4 3 «3(5x-l) + 6.3x >3.(x-3) + 4.(x + l) 15x -3 +1 8x > 3x - 9 + 4x + 4 o 15x +1 8x - 3x - 4x > -9 + 4-3 26x > -8 X > —7-. 13 Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ị X e l&l X > - — ị . 5B-Để học..Toấn 8/2 Ví dụ 3. Với giá trị nào của m hất phương trình sau có nghiệm ? mx-2 m2 + m . Giải, a) Ta có mx -2 (m -1) X < 5 . m-1 - \ếu m -1 m - Nếu m-l=om = l thì bất phương trình trư thành Ox < 5, bất phương trình nghiệm đúng với mọi girt trị của X. Nếu m - 1 > 0 m > 1 thì bất phương trình có nghiệm X < m-1 5 Vậy bất phương trình luôn có nghiệm. b) Ta có 2mx - 4 > m2 + m 2mx > m2 + m + 4 . - Nếu m = 0 thì ta có bất phương trình Ox >4, bất phương trình vô nghiệm. Nếu m > 0 thì bất phương trình có nghiệm X > \ệ'u m < 0 thì bất phương trình có nghiệm X < Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 0 . 2m m2 +m + 4 zm m2 +-m + 4 c. Hướng dẫn giải các bài tạp trong sách giáo khoa Bài 19. Giải: a) X - 5 > 3 X > 5 + 3 X > 8 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = {x e ]R|x > 8}. X - 2x x-2x + 2xx<4. Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ịx e R|x <4}. -3x > -4x + 2 -3x + 4x > 2 X > 2. Tập nghiệm cua bất phương trình là s = |x e.K|x > 2 ị. cl)8x + 28x + 2-7xxx<-3. Tập nghiệm cưa bất phương trình là s - |x e Rịx < -3}. Bài 20. Bài 21. Bài 22. Bài 23. Bài 24. Giải: a) 0,3x > 0.6 0.3x.—!— > 0,6.—!— X > 2. 0,3 0,3 Tập nghiệm cua bất phương trình là s = Ịx e R|x > 2}. -4x -4x.f--) > 12.f-- |ox>-3. 4j { 4J Tập nghiệm cúa bất phương trình là s = |x e K|x > -3}. -X >4 (-x).(-l) X <-4 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = -JX e K|x < -4|. 1.5x >-9 l,5x.-!—>-9,—!- X >-6. 1.5 1,5 Tập nghiệm cứa bất phương trình là S = {xeR|x> -6j. Gicíi: a) Cùng tập nghiệm s = |x |x > 4 j . b) Cùng tập nghiệm s - Ịx|x >-2|. Giiii: a) 1,2x X X < -5 . 1.2 2x > -4 + 3 x > tW/////////////////( -1 0 3 , . '4 4 Đáp sô : a) X > — ; b)x —; d) X < 3 3 Gidi : a) 2x -1 > 5 2x > 1 + 5 2x > 6 X > 3. Tập nghiệm của bất phương trình là s = ịx £ ỊR|x > 3} . 3x - 2 3x X < 2 . Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e R|x < 2} t-j I Ch 2-5x2-17-15x>-3. Bài 25. Bài 26. Bài 27. Bài 28. Bài 29. Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e IR|x > -3}. 3-4x > 19 3-19 > 4x «-16 > 4x X <-4. Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ịx e K|x < -4}. Giải: a) X > -6 x.-| > (-6) .^ X > -9 . 3 2 2 Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e R|x > -9}. -|x20.(-|}«x>-24. Tập nghiệm của bất phương trình là s = Ịx e lR|x > -24}. 3--x>2«3-2> — X 1 > — X X < 4. 4 4 Tập nghiệm của bất phương trình là S = }xeK|x<4}. 5-—X > 2 5-2 > - X 3 > - X c=> X < 9. '3 3 Tập nghiệm của bất phương trình là s = }x e R|x < 9}. Gidi: a) X < 12; 2x < 24; X - 5 < 7. b) X > 8; 3x > 24; 2x - 1 > 15. Hướng dẫn : Rút gọn bất phương trình đưa về dạng đơn giản rồi kiểm tra. a) Có; b) Không. Hướng dẫn : Tập nghiệm của bất phương trình này là s = Ị X I X * 0}. Giải : a) 2x - 5 > 0 2x > 5 X > Ậ. / 2 Giá trị của X cần tìm là s = 5' X X > — > 2J b) -3x -3x + 7x4xx< — 4 X 5 X < — 4 Giá trị của X cấn tìm là Bài 30. Bài 31. Bài 32. Bài 33. Bài 34. Giúi : Gọi sô' tờ giấy bạc loại 5000 đồng là X ỉx e N ) thì sò tờ giấy bạc loại 2000 đồng là 15 - X. Theo bài ta có bất phương trình: 2000(15-x) + 5000x <70000 2(15-x) + 5x 30-2x + 5x < 70 3x X < —— a 13.3. 5 Vậy sô' tờ giấy bạc loại 5000 đồng có thế là một trong các sô' sau: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13. Đớ/J> .sơ ; a) X -4; c) X <-5; d)x<-l. Giúi: a) 8x + 3(x +1) > 5x ~(2x -6) 8x + 3x + 3 > 5x -2x + 6 8x + 3x-5x + 2x > 6-3 8x > 3 o X > -. 8 Tập nghiệm của bất phương trình là b) 2x(6x-l) > (3x-2)(4x+ 3) o 12x2 -2x > 12x2 +9x-8x -6 12x2 -2x-12x2 -9x + 8x >-6 «- -3x > -6 X < 2. Tập nghiệm của bất phương trình là s = |x e K| X < 2|. Hướng ílần : Gọi điếm thi môn Toán là X, ta có bất phương trình : (2x +2.8 + 7 + 10) : 6 > 8. Đá]) số: X > 7,5. Giiii: a) Sai tại bước -2x > 23 23 + 2 (nhầm -2 là hạng tử), b) Sai tại bước đầu tiên, nhân với sô' âm mà không đổi chiều bất đẳng thức. D. Bài tập luyện thêm 1. Giai các bát phương trình sau: a)-2x + 70; c) — X + — > — 3: ■ n s 6 5 Giai các bất phương trình sau: d) 5x - 3 > -2x + 7 . 3x-l x + 5 5' 7 . -2x + 5 l-5x x-7 ' n 4 3 8 , X - 2 X — 3 X — 4 X - 5 d) — —— 3 3 / y 2 3 4 5 3. Tun m dế hai bất phương trình sau có đúng một nghiệm chung : 2 2 X - 3 > — và 4-m + 3x<0. 4* Tun m dê’ bất phương trình mx-5<3+x-m có nghiệm thoả mãn X <2. Hương đản - Đáp sô 1. a) -2x + 7x>ị. 2 a) <0; -2x + 5 x-3 2x + l 2x—2 c) — 2_ Tập nghiệm cua bất phương trình là s = X e s! X > — b) 4x + 6 > 0 4x > -6 X > - —. 2 xelR |x>--[ V 1 2; 5 2, 102 c) -—X + — > -3 -25x + 12 > -90 -25x > -102 X < . AS 25 ình là s = |x e s| X < ị 1 6 5 Tập nghiệm cua bất phương trình là d) 5x-3 >-2x + 7 5x + 2x > ' > 10 X > 10 7(3x -l)-5(x + 5) 21x -7-5x -25 < 0 16x X < 2. Tập nghiệm cứa bất phương trình là s = {x e R| X < 2); -2x + 5 l-5x x-7 -——— + — —— > 0 3 8 6(-2x + 5)+ 8(l-5x)-3(x-7) > 0 -12x+ 30 + 8-40x-3x+ 21 >0« -55x >-59» X <ĩ|. 55 Tập nghiệm cứa bất phương trình là s = |x e R| X < ; _■ -2x + 5 x-3 - 2x + l 2x-2 — „ 5 7 9 105(-2x + 5)-63(x-3)>45(2x + l)-35(2x-2) o -21 Ox + 525 - 63x + 189 > 90x + 45 - 70x + 70 -210x-63x-90x + 70x >-525-189 + 45 + 70 599 o-293x >-599 <» X < 777. 293 f 599 Tập nghiệm của bất phương trình là s = -Lx e R| X < x-2x-3x-4 X - 5 — + ——-< — 3 4 5 •o30(x-2)+20(x-3)<15(x-4)-12(x-5) 120 4?' 30x-60 +20x-60 < 15x-60-12x + 60 o 30x + 20x-15x + 12x 47x < 120 » X < Tập nghiệm của bất phương trình là s 47 120 , 2 „11 .11 Tacó 2x-3>4»2x>ụ« x> —. 3 6 m — 4 - m + 3x X < _ - . J Do dó hai bất phương trình có đúng một nghiệm chung khi m - 4 11 _ . _ _ 19 ——2 = — ^ 2(m-4) = 11 o 2m =19«m = ^. 3 6 2 Ta có mx -5 (m-l)x < 8-m . Nếu m -1 = 0 m = 1 thì ta có bất phương trình Ox < 7 , bất phương trình nghiệm dứng với mọi X nên luôn dứng với X < 2. Ị-Ị Nếu m > 1 thì ta có X < -—— dơ dó bất phương trình luôn có nghiệm m -1 thơa mãn X < 2 . 8 1TÌ Nếu m-—-2- do đó bất phương trình có nghiệm m-1 X 8 - m > 2m - 2 m < -2-'Suy ra m < 1. m -1 3 Vậy với mọi m bất phương trình mx-5<3 + x-m có nghiệm thoả mãn X < 2 . |
