 Show
Xét đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là: (x - a)² + (y - b)² = R² Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\) (đk: a² + b² – c > 0) II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒNXét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆: (∆): \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\) III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒNDạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.Cách 1: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x - a)² + (y - b)² = m. Bước 2: Xét m:
Cách 2: Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Xét m = a² + b² - c:
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trướcCách 1: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R². Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R². Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R². Cách 2: Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c. Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (C) cho trước: Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước. Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại \( M_o(x_o; y_o)\) có dạng: \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\) Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm: Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R. Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giácIII. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁCVí dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.Lời giải tham khảo: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Vì (C) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta có hệ sau: \(\left\{\begin{matrix} 4^2 + (-1)^2 – 2a.4 – 2b.(-1) + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=3\\ c=-9 \end{matrix}\right.\) ⇒ Đường tròn (C) có tâm I(4;3). Phương trình đường tròn (C) là: (x - 4)² + (y - 3)² = 16. Đường tròn (C) có tâm I(4;3) có tiếp tuyến (∆) tại điểm A(4;-1): ⇒ = (4 - 4).(x - 4) + (-1 - 3).(y +1) = 0 ⇔ y = -1 Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A: y = -1
1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Phương trình đường tròn có tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\) là : $${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$$ 2. Nhận xét Phương trình đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có thể được viết dưới dạng $${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$$ trong đó \(c = {a^2} + {b^2} - {R^2}\) \( \Rightarrow \) Điều kiện để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \((C)\) là: \({a^2} + {b^2}-c>0\). Khi đó, đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^{2}+b^{2} - c}\) 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\).Gọi \(∆\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\) Ta có \(M_0\) thuộc \(∆\) và vectơ \(\vec{IM_{0}}=({x_0} - a;{y_0} - b)\) là vectơ pháp tuyến cuả \( ∆\) Do đó \(∆\) có phương trình là: $({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0$ (1) Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) tại điểm \(M_0\) nằm trên đường tròn.
Loigiaihay.com |
