Mở đầu trang 22 Toán lớp 6 Tập 1 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Truyền thuyết Ấn Độ kể rằng, người phát minh ra bàn cờ vua đã chọn phần thưởng là số thóc rải trên 64 ô của bàn cờ vua như sau: ô thứ nhất để 1 hạt thóc, ô thứ hai để 2 hạt, ô thứ ba để 4 hạt, ô thứ tư để 8 hạt, …Cứ như thế, số hạt ở ô sau gấp đôi số hạt ở ô trước. Liệu nhà vua có đủ thóc để thưởng cho nhà phát minh đó hay không? Lũy thừa với số mũ tự nhiên là khái niệm hoàn toàn mới với các em học sinh lớp 6. Đây là một trong những kiến thức quan trong nên các em cần nắm vững. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tổng hợp lại các kiến thức về lũy thừa với số mũ tự nhiên và làm bài tập áp dụng để các em hiểu rõ hơn. I – Kiến thức cần nhớ 1, Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Định nghĩa: Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$: ${{a}^{n}}=\underbrace{a.a.a...a}_{n\,\,\,so\,\,\,a}\,\,\,\left( n\ne 0 \right)$ Trong đó: $a$ được gọi cơ số, $n$ được gọi là số mũ Đọc là: $a$ mũ $n$ hoặc $a$ lũy thừa $n$ hoặc lũy thừa bậc $n$ của $a$ . - Ví dụ:
Đọc là: 2 mũ 3 hoặc 2 lũy thừa 3 hoặc lũy thừa bậc 3 của 2.
Đọc là: 5 mũ 20 hoặc 5 lũy thừa 20 hoặc lũy thừa bậc 20 của 5. - Chú ý:
- Quy ước:
2, Một số công thức liên quan đến lũy thừa - Nhân hai lũy thừa cùng cơ số :
${{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$
- Chia hai lũy thừa cùng cơ số:
${{a}^{m}}:{{a}^{n}}={{a}^{m-n}}\,\,\,\left( a\ne 0,\,\,m\ge n \right)$
- Lũy thừa của lũy thừa: ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m.n}}$ - Lũy thừa của một tích: ${{\left( a.b \right)}^{m}}={{a}^{m}}.{{b}^{m}}$ 3, So sánh hai lũy thừa - So sánh hai lũy thừa cũng cơ số, khác số mũ: Nếu $m>n$ thì ${{a}^{m}}>{{a}^{n}}$ - So sánh hai lũy thừa khác cơ số, cùng số mũ: Nếu $a>b$ thì ${{a}^{m}}>{{b}^{m}}$ - Ví dụ: ${{2}^{3}}<{{3}^{3}},\,\,{{9}^{6}}>{{5}^{6}}$ II – Bài tập vận dụng Bài 1. Viết gọn các biểu thức sau: a) $4.4.4.4.4.4$ b) $2.4.8.8.8$ c) $10.100.1000.10000$ d) $x.x.x.x+x.x.x.x.x.x.x.x$ Bài giải a) $4.4.4.4.4.4={{4}^{6}}$ b) $2.4.8.8.8={{2.2}^{2}}{{.2}^{3}}{{.2}^{3}}{{.2}^{3}}={{2}^{1+2+3+3+3}}={{2}^{12}}$ c) $10.100.1000.10000={{10.10}^{2}}{{.10}^{3}}{{.10}^{4}}={{10}^{1+2+3+4}}={{10}^{10}}$ d) $x.x.x.x+x.x.x.x.x.x.x.x={{x}^{4}}+{{x}^{8}}$ Bài 2. Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa: a) ${{4}^{8}}{{.2}^{10}},\,\,\,{{9}^{12}}{{.27}^{4}}{{.81}^{3}},\,\,\,{{x}^{7}}.{{x}^{4}}.{{x}^{2}}$ b) ${{4}^{9}}:{{4}^{4}},\,\,{{2}^{10}}:{{8}^{2}},\,\,{{x}^{6}}:x\,\,\,\left( x\ne 0 \right),\,{{24}^{n}}:{{2}^{2n}}$ Bài giải: a) ${{4}^{8}}{{.2}^{10}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{8}}{{.2}^{10}}={{2}^{2.8}}{{.2}^{10}}={{2}^{16}}{{.2}^{10}}={{2}^{26}}$ ${{9}^{12}}{{.27}^{4}}{{.81}^{3}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{12}}.{{\left( {{3}^{3}} \right)}^{4}}.{{\left( {{3}^{4}} \right)}^{3}}={{3}^{24}}{{.3}^{12}}{{.3}^{12}}={{3}^{24+12+12}}={{3}^{48}}$ ${{x}^{7}}.{{x}^{4}}.{{x}^{2}}={{x}^{7+4+2}}={{x}^{13}}$ b) ${{4}^{9}}:{{4}^{4}}={{4}^{9-4}}={{4}^{5}}$ ${{2}^{10}}:{{8}^{2}}={{2}^{10}}:{{\left( {{2}^{3}} \right)}^{2}}={{2}^{10}}:{{2}^{6}}={{2}^{10-6}}={{2}^{4}}$ ${{x}^{6}}:x={{x}^{6}}:{{x}^{1}}={{x}^{6-1}}={{x}^{5}}$ ${{24}^{n}}:{{2}^{2n}}={{\left( {{2}^{3}}.3 \right)}^{n}}:{{2}^{2n}}=\left( {{2}^{3n}}{{.3}^{n}} \right):{{2}^{2n}}={{2}^{3n-2n}}{{.3}^{n}}={{2}^{n}}{{.3}^{n}}={{\left( 2.3 \right)}^{n}}={{6}^{n}}$ Bài 3. Thực hiện các phép tính sau (tính hợp lí nếu có thể) a) ${{3}^{2}}.5+{{2}^{3}}.10-81:3$ b) ${{5}^{13}}:{{5}^{10}}-{{25.2}^{2}}$ c) $84:4+{{3}^{9}}:{{3}^{7}}+{{1999}^{0}}$ d) $\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}} \right).\left( 1+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right).\left( {{3}^{8}}-{{81}^{2}} \right)$ Bài giải: a) ${{3}^{2}}.5+{{2}^{3}}.10-81:3$ $={{3}^{2}}.5+{{2}^{3}}.2.5-{{3}^{4}}:3$ $={{3}^{2}}.5+{{2}^{3+1}}.5-{{3}^{4-1}}$ $={{3}^{2}}.5+{{2}^{4}}.5-{{3}^{3}}$ $=\left( {{3}^{2}}.5-{{3}^{3}} \right)+{{2}^{4}}.5$ $={{3}^{2}}\left( 5-3 \right)+16.5$ $={{3}^{2}}.2+80$ $=9.2+80$ $=98$ b) ${{5}^{13}}:{{5}^{10}}-{{25.2}^{2}}$ $={{5}^{13-10}}-{{5}^{2}}{{.2}^{2}}$ $={{5}^{3}}-{{5}^{2}}{{.2}^{2}}$ $={{5}^{2}}\left( 5-2 \right)$ $=25.3$ $=75$ c) $84:4+{{3}^{9}}:{{3}^{7}}+{{1999}^{0}}$ $=21+{{3}^{9-7}}+1$ $=21+{{3}^{2}}+1$ $=21+9+1$ $=31$ d) $\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}} \right).\left( 1+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right).\left( {{3}^{8}}-{{81}^{2}} \right)$ $=\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}} \right).\left( 1+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right).\left[ {{3}^{8}}-{{\left( {{3}^{4}} \right)}^{2}} \right]$ $=\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}} \right).\left( 1+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right).\left( {{3}^{8}}-{{3}^{4.2}} \right)$ $=\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}} \right).\left( 1+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right).\left( {{3}^{8}}-{{3}^{8}} \right)$ $=\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}} \right).\left( 1+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right).0$ $=0$ Bài 4. Tìm $x$ biết: a) ${{2}^{x}}{{.16}^{2}}=1024$ b) ${{3}^{4}}{{.3}^{x}}:9={{3}^{7}}$ c) ${{\left( 2x+1 \right)}^{3}}=125$ d) ${{4}^{x}}={{19}^{6}}:\left( {{19}^{3}}{{.19}^{2}} \right)-{{3.1}^{2016}}$ Bài giải : a) ${{2}^{x}}{{.16}^{2}}=1024$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}.{{\left( {{2}^{4}} \right)}^{2}}={{2}^{10}}$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.2}^{8}}={{2}^{10}}$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{2}^{10}}:{{2}^{8}}$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{2}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=2$ b) ${{3}^{4}}{{.3}^{x}}:9={{3}^{7}}$ $\Leftrightarrow {{3}^{4}}{{.3}^{x}}:{{3}^{2}}={{3}^{7}}$ $\Leftrightarrow {{3}^{4+x-2}}={{3}^{7}}$ $\Leftrightarrow {{3}^{2+x}}={{3}^{7}}$ $\Leftrightarrow 2+x=7$ $\Leftrightarrow x=5$ c) ${{\left( 2x+1 \right)}^{3}}=125$ $\Leftrightarrow {{\left( 2x+1 \right)}^{3}}={{5}^{3}}$ $\Leftrightarrow 2x+1=5$ $\Leftrightarrow 2x=4$ $\Leftrightarrow x=2$ d) ${{4}^{x}}={{19}^{6}}:\left( {{19}^{3}}{{.19}^{2}} \right)-{{3.1}^{2016}}$ $\Leftrightarrow {{4}^{x}}={{19}^{6}}:{{19}^{5}}-3.1$ $\Leftrightarrow {{4}^{x}}=19-3$ $\Leftrightarrow {{4}^{x}}=16$ $\Leftrightarrow {{4}^{x}}={{4}^{2}}$ $\Leftrightarrow x=2$ Bài 5: So sánh a) ${{2}^{6}}$ và ${{8}^{2}}$ b) ${{2}^{6}}$ và ${{6}^{2}}$ Bài giải: a) Ta có ${{8}^{2}}={{\left( {{2}^{3}} \right)}^{2}}={{2}^{3.2}}={{2}^{6}}$ $\Rightarrow {{2}^{6}}={{8}^{2}}$ b) ${{2}^{6}}={{2}^{3.2}}={{\left( {{2}^{3}} \right)}^{2}}={{8}^{2}}>{{6}^{2}}$ $\Rightarrow {{2}^{6}}>{{6}^{2}}$ Bài 6: Cho giá trị của biểu thức $A=1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{100}}$ Bài giải $A=1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{100}}$ $\Rightarrow 2A=2\left( 1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{100}} \right)$ $\Rightarrow 2A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{101}}$ $\Rightarrow 2A-A=\left( 2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{101}} \right)-\left( 1+2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{100}} \right)$ |
