\( = {\rm{ }}2{\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha )\) \(= {\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha ){\rm{ }} + {\rm{ }}sin(1{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha ){\rm{ }}\) \(= {\rm{ }}3sin\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}4si{n^3}\alpha \) \(cos3α = cos (2α + α) = cos 2α cosα - sin2α sinα\) \(= {\rm{ }}(2co{s^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}1)cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}cos\alpha \) \( = {\rm{ }}2co{s^3}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }} \) \(= {\rm{ }}4co{s^3}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}3cos\alpha \)
\(\eqalign{ & \sin \alpha \sin ({\pi \over 3} - \alpha )\sin ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr&= sin\alpha .{1 \over 2}(cos2\alpha - \cos {{2\pi } \over 3}) \cr & = {1 \over 2}\sin \alpha (1 - 2{\sin ^2}\alpha + {1 \over 2}) = {1 \over 4}\sin \alpha (3 - 4{\sin ^2}\alpha ) \cr & = {1 \over 4}\sin 3\alpha \cr & \cos \alpha \cos ({\pi \over 3} - \alpha )cos({\pi \over 3} + \alpha ) \cr&= \cos \alpha .{1 \over 2}(cos\alpha + \cos {{2\pi } \over 3}) \cr & = {1 \over 2}\cos \alpha (2{\cos ^2}\alpha - 1 - {1 \over 2}) \cr&= {1 \over 4}\cos \alpha (4{\cos ^2}\alpha - 3) = {1 \over 4}\cos 3\alpha \cr} \) Ứng dụng: \(\eqalign{ & \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} \cr&= \sin {20^0}\sin ({60^0} - {20^0})\sin ({60^0} + {20^0}) \cr & = {1 \over 4}\sin ({3.20^0}) = {1 \over 4}\sin {60^0} = {{\sqrt 3 } \over 8} \cr & \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = {1 \over 4}\cos ({3.20^0}) = {1 \over 8} \cr} \) Vậy : \(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0} = \sqrt 3 \) Bài 47 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm nghiệm lại gần đúng kết quả.
Đáp án
\(\eqalign{ & \cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0}\cr& = \cos {10^0}{\rm{[}}{1 \over 2}(cos{120^0} + \cos {20^0}){\rm{]}} \cr & = - {1 \over 4}\cos {10^0} + {1 \over 2}\cos {10^0}\cos {20^0} \cr & = - {1 \over 4}\cos {10^0} + {1 \over 4}(cos{30^0} + \cos {10^0})\cr& = {1 \over 4}\cos {30^0} = {{\sqrt 3 } \over 8} \cr & \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} = \cos {70^0}\cos {50^0}\cos {10^0} \cr&= {{\sqrt 3 } \over 8} \cr} \)
\(\eqalign{ & \sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0}\cr& = {1 \over 2}(cos{20^0} - \cos {120^0})\sin {10^0} \cr & = {1 \over 4}\sin {10^0} + {1 \over 2}\sin {10^0}\cos {20^0} \cr & = {1 \over 4}\sin {10^0} + {1 \over 4}(\sin {30^0} - \sin {10^0}) \cr&= {1 \over 4}\sin {30^0} = {1 \over 8} \cr & \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = \sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0} = {1 \over 8} \cr} \) Bài 48 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao Chứng minh rằng: \(\cos {{2\pi } \over 7} + \cos {{4\pi } \over 7} + \cos {{6\pi } \over 7} = - {1 \over 2}\) Hướng dẫn: Nhân vế trái với \({\pi \over 7}\) (hoặc \({{2\pi } \over 7}\) ) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng. \( = {\rm{ }}2{\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha )\) \(= {\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha ){\rm{ }} + {\rm{ }}sin(1{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha ){\rm{ }}\) \(= {\rm{ }}3sin\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}4si{n^3}\alpha \) \(cos3α = cos (2α + α) = cos 2α cosα – sin2α sinα\) \(= {\rm{ }}(2co{s^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}1)cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}cos\alpha \) \( = {\rm{ }}2co{s^3}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }} \) Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Chứng minh rằng: LG a \({{\sin \alpha - \sin \beta } \over {\cos \alpha - \cos \beta }} = - \sqrt 3 \) nếu \(\left\{ \matrix{ \alpha + \beta = {\pi \over 3} \hfill \cr \cos \alpha \ne \cos \beta \hfill \cr} \right.\) Phương pháp giải: Sử dụng các công thức: \(\begin{array}{l} \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ \cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2} \end{array}\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & {{\sin \alpha - \sin \beta } \over {\cos \alpha - \cos \beta }} \cr&= {{2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2}} \over { - 2\sin {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2}}} \cr & = \frac{{\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}{{\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}= - \cot {{\alpha + \beta } \over 2} \cr& = - \cot \frac{{\frac{\pi }{3}}}{2} = - \cot \frac{\pi }{6} = - \sqrt 3 \cr} \) (Do \(\alpha + \beta = {\pi \over 3}\)) Quảng cáo  LG b \({{\cos \alpha - \cos 7\alpha } \over {\sin 7\alpha - sin\alpha }} = \tan 4\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa) Lời giải chi tiết: \({{\cos \alpha - \cos 7\alpha } \over {\sin 7\alpha - sin\alpha }}\) \( = \frac{{ - 2\sin \frac{{\alpha + 7\alpha }}{2}\sin \frac{{\alpha - 7\alpha }}{2}}}{{2\cos \frac{{7\alpha + \alpha }}{2}\sin \frac{{7\alpha - \alpha }}{2}}} \) |
