Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu tới các em một dạng đường tròn, đó là đường tròn nội tiếp tam giác. Cùng với đó, bài viết sẽ trình bày cho các em các dạng toán và bài tập vận dụng liên quan đến đường tròn nội tiếp tam giác. Các em hãy theo dõi bài viết này nhé! Show
1. Đường tròn nội tiếp tam giác là gì?Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác ta gọi đó là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác ta gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn. Cụ thể: Cho tam giác MNP. Gọi O là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác MNP. Đường tròn tâm O tiếp xúc với ba cạnh của tam giác MNP chính là đường tròn nội tiếp tam giác MNP, tam giác MNP là tam giác ngoại tiếp đường tròn (O).  Nhận xét: Giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đó. Chú ý: Ta có thể xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác bằng cách xác định giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong bất kỳ của tam giác. 2. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giácBán kính đường tròn nội tiếp tam giác là khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp tam giác đến một trong ba cạnh của tam giác đó. Cụ thể: Cho tam giác MNP ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến cạnh NP. Khi đó, OH chính là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MNP. 3. Tính chất đường tròn nội tiếp tam giácSau đây là một số tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác: (1) Trong một tam giác, chỉ có một và chỉ một đường tròn nội tiếp tam giác. (2) Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác chính là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác. Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính là khoảng cách từ tâm đến một trong ba cạnh của tam giác. 4. Cách vẽ đường tròn nội tiếp tam giácĐể vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ta thực hiện như sau: • Bước 1: Trong tam giác, ta kẻ ba đường phân giác các góc trong của tam giác. Ba đường này cắt nhau tại một điểm, ta xác định được tâm của đường tròn nội tiếp tam giác • Bước 2: Từ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, ta kẻ đường thẳng vuông góc xuống một trong ba cạnh của tam giác, đường thẳng này cắt cạnh của tam giác tại một điểm, đoạn thẳng nối tâm và điểm đó chính là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác. Cụ thể: Cho tam giác MNP. Gọi O là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác MNP. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến cạnh NP. Khi đó, O là tâm và OH là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MNP. 5. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác5.1. Dạng 1: Bài toán chứng minh* Phương pháp giải: Dựa vào các giả thiết đề bài đưa ra cùng với các kiến thức đã học kết hợp với phần kiến thức ở mục 1, ta vận dụng chúng để chứng minh các yêu cầu của bài toán. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho tam giác đều MNP. Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng G là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP. ĐÁP ÁN Trong một tam giác đều, các đường trung tuyến ứng với các cạnh của tam giác đều cũng chính là các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh của tam giác đó. Vì G là trọng tâm của tam giác đều MNP. Suy ra G là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác đều MNP. Do đó, điểm G là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Bài 2. Cho tam giác MNP. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác MNP. Gọi H, K, L theo thứ tự lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP, MN, MP. Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN Vì O là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác MNP. Do đó O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Khi đó các cạnh NP, MN, MP là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Mà H, K, L theo thứ tự lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP, MN, MP. Suy ra đường tròn (O) tiếp xúc với các tiếp tuyến NP, MN, MP lần lượt tại các điểm H, K, L.
Suy ra MK + PH = ML + PL hay MK + PH = MP. Vậy MP = MK + PH.
Mà PL = PM – LM và PH = PN – HN. (2) Từ (1) và (2) suy ra PM – LM = PN – HN hay PM – PN = LM – HN. Vậy PM – PN = LM – HN. Bài 3. Cho tam giác MNP. Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Biết (O) tiếp xúc với hai cạnh MN và MP lần lượt tại hai điểm H và K. Biết MH . MP = MK . MN. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác cân tại M. ĐÁP ÁN Vì (O) là đường tròn nội tiếp tam giác vuông MNP. Suy ra các cạnh MN và MP là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Mà (O) tiếp xúc với hai cạnh MN và MP lần lượt tại hai điểm H và K, áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MH = MK. (1) Theo giả thiết có: MH . MP = MK . MN. (2) Từ (1) và (2) suy ra MP = MN. Do đó tam giác MNP là tam giác cân tại M. 5.2. Dạng 2: Tính độ dài các cạnh và diện tích của tam giác ngoại tiếp đường tròn* Phương pháp giải: Dựa vào các giả thiết đề bài đưa ra cùng với các kiến thức đã học kết hợp với phần kiến thức ở mục 1, ta vận dụng chúng để tính diện tích tam giác ngoại tiếp đường tròn. Bài tập vận dụng Bài 4. Cho tam giác đều MNP. Gọi O là giao điểm của hai đường phân giác hai góc trong của tam giác đều MNP và H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP. Biết đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có bán kính bằng 2 cm. Em hãy tính độ dài các cạnh của tam giác đều MNP. ĐÁP ÁN Ta có O là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong của tam giác đều MNP. Do đó O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP, suy ra OH = 2 cm. Trong một tam giác đều, các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh của tam giác đều cũng chính là các đường trung tuyến ứng với các cạnh của tam giác đều. Vì O là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong của tam giác đều MNP. Suy ra O là trọng tâm của tam giác đều MNP hay . Do đó MH = 3OH = 6 (cm). Trong tam giác đều MNP có MH = NP. Suy ra NP = (cm). Vậy MN = MP = NP = cm. Bài 5. Cho tam giác MNP cân tại M ngoại tiếp đường tròn bán kính 3 cm. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của đường tròn nội tiếp tam giác cân MNP với hai cạnh MN và NP. Biết MH = 4 cm. Tính diện tích tam giác cân MNP. ĐÁP ÁN Gọi G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác cân MNP. Suy ra: GH vuông góc với MN và GH = 3 cm; GK vuông góc với NP và GK = 3 cm. (1) Ta có MG là tia phân giác xuất phát từ đỉnh M của tam giác cân MNP. Suy ra MG vuông góc với NP (vì tam giác MNP cân tại M). (2) Từ (1) và (2) suy ra MK vuông góc với NP hay M, G, K thẳng hàng. Xét tam giác MGH vuông tại H có: MG2 = MH2 + GH2 (định lí Pytago) \= 42 + 32 = 25 hay MG = 5 (cm). Suy MK = MG + GK = 5 + 3 = 8 (cm). Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có NH = NK. Đặt x = NH = NK (x > 0). Khi đó MN = MH + NH = 4 + x. Xét tam giác MGH vuông tại H có: MN2 = MK2 + NK2 (định lí Pytago). Suy ra (4 + x)2 = 82 + x2 hay 16 + 8x + x2 = 64 + x2. Do đó x = 6 (cm) hay NK = 6 cm. Ta có MK là đường cao của tam giác cân MNP. Do đó MK là đường trung tuyến của tam giác cân MNP, nên K là trung điểm của NP. Suy ra NP = 2NK = 2 . 6 = 12 (cm). Diện tích của tam giác cân MNP là: MK.NP = . 8 . 12 = 48 (cm2). Bài học trên đã trình bày phần kiến thức liên quan đến đường tròn nội tiếp tam giác, đồng thời tổng hợp các dạng toán và bài tập vận dụng về chuyên đề này. Mong rằng các em sẽ nắm rõ các kiến thức về đường tròn nội tiếp tam giác và vận dụng chúng để làm bài tập. |
