Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé) Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có: Hay: Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng: Ta có: . Thế vào phương trình (1) ta có: . (Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)). Từ đó: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là: Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: (*) Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình (*) ta sẽ có: Hay: (2′) Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y: Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′): Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng: Ta có: Thế vào pt (2′) ta có: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là: 4. Phương trình Bernoulli: Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng: (4) Cách giải: Nhân 2 vế của pt (4) cho . Ta có: (4′) Khi đó, ta đặt: . Ta có: Thế vào phương trình (4′) ta có: Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết! |